Leitfaden für Lehrer: Aufgaben zur Halbwertszeit

Lerne, mit der Halbwertszeit zu berechnen, wie viel von einem Stoff übrig ist, wie viel Zeit vergangen ist und wie lang eine Halbwertszeit ist.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Exponentialfunktionen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Formel $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ nutzen, um die übrige Menge zu berechnen
Den übrigen Anteil und Prozentsatz eines Stoffes nach einer Anzahl von Halbwertszeiten bestimmen
Die vergangene Zeit bestimmen, wenn der übrige Anteil eine Potenz von $\frac{1}{2}$ ist
Die Halbwertszeit eines Stoffes aus zwei Messwerten bestimmen
Die Halbwertszeit auf C-14-Datierung, Medikamente und Iod-131 anwenden

Voraussetzungen

• Einführung in Exponentialfunktionen: die Form $f(x) = a \cdot b^x$
• Exponentielles Wachstum: Multiplizieren mit einem festen Faktor in gleichen Zeitabschnitten
• Zweierpotenzen und Potenzen von Brüchen, zum Beispiel $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$
• Brüche in Dezimalzahlen und Prozente umwandeln

Diskussionsstarter

1. Wenn ein Medikament eine Halbwertszeit von 6 Stunden hat, warum soll man es dann nicht alle 12 Stunden in doppelter Dosis nehmen?
2. Erreicht eine radioaktive Probe jemals genau null? Warum oder warum nicht?
3. Warum kann man mit Kohlenstoff-14 einen 10000 Jahre alten Knochen datieren, aber kein 10 Millionen Jahre altes Dinosaurierfossil?
4. Wie ähnelt das Halbieren pro Halbwertszeit dem Verdoppeln pro Verdopplungszeit?

Häufige Missverständnisse

Nach zwei Halbwertszeiten ist die ganze Probe weg

Abhilfe: Erstelle gemeinsam mit der Klasse eine Halbierungstabelle: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Frage, was nach der zweiten Halbwertszeit übrig ist. Zeige mit der Münzsimulation, dass immer einige Münzen übrig bleiben.

Der Exponent in der Formel ist die Zeit $t$

Abhilfe: Frage: Wie oft wurde die Menge in 12 Stunden halbiert, wenn die Halbwertszeit 4 Stunden beträgt? Die Lernenden zählen 3 Halbierungen, und das zeigt, dass der Exponent $\frac{t}{T}$ ist.

Ein übriger Anteil von $\frac{1}{16}$ bedeutet 16 Halbwertszeiten

Abhilfe: Schreibe $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ auf und nummeriere sie von 1 bis 4. Die Stelle in der Liste, nicht der Nenner, ist die Anzahl der Halbwertszeiten.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Vor der Formel mit Halbierungstabellen arbeiten (Zeit, Anzahl der Halbwertszeiten, Menge)
• Bei ganzen Anzahlen von Halbwertszeiten und Anfangsmengen bleiben, die Zweierpotenzen sind
• Mit der Folgen-Visualisierung jede Halbierung als Balken sehen

Für Schüler auf Niveau:

• Die vergangene Zeit aus dem übrigen Anteil bestimmen
• Die Halbwertszeit aus zwei Messwerten bestimmen
• Zwischen übrigem Anteil, übrigem Prozentsatz und zerfallenem Prozentsatz umrechnen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Mit dem Taschenrechner nicht ganzzahlige Anzahlen von Halbwertszeiten berechnen
• Den Zerfallsfaktor pro Zeiteinheit aufschreiben, zum Beispiel $\left(\frac{1}{2}\right)^{1/8}$ pro Tag bei Iod-131
• Wiederholte Medikamentendosen modellieren und die Menge direkt vor der dritten Dosis bestimmen

Standardausrichtung

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Situationen erkennen, in denen eine Größe pro Zeiteinheit um einen festen Prozentsatz wächst oder abnimmt
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Lineare und exponentielle Funktionen, einschließlich arithmetischer und geometrischer Folgen, aus einem Graphen, einer Beschreibung oder zwei Wertepaaren aufstellen
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Die Parameter einer linearen oder exponentiellen Funktion im Sachzusammenhang deuten
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Potenzgesetze nutzen, um Terme von Exponentialfunktionen zu deuten

Lektionsressourcen

visualHalbierungsfolge
Geometrische Folge ab 64 mit dem Quotienten 0,5, die zeigt, wie die Balken pro Halbwertszeit um die Hälfte schrumpfen
activityMünzzerfall-Simulation
Die Lernenden werfen 100 Münzen, entfernen pro Runde alle mit Kopf und notieren, wie viele übrig sind. Dann vergleichen sie mit 100 mal einhalb pro Runde
worksheetHalbwertszeit-Detektiv
Aufgaben zu C-14-Datierung, Medikamentendosen und Iod-131 mit ganzen Anzahlen von Halbwertszeiten

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Halbwertszeit

T

eines Stoffes ist die Zeit, in der die Hälfte davon verschwindet (zerfällt, abgebaut wird oder den Körper verlässt). Nach jeder Halbwertszeit wird die Menge mit

\frac{1}{2}

multipliziert.

Ist

N_0

die Anfangsmenge, dann ist die Menge nach der Zeit

t

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

Dabei gilt:

$N_0$ = Anfangswert (bei $t = 0$ )
$T$ = Halbwertszeit (gleiche Zeiteinheit wie $t$ )
$\frac{t}{T}$ = die Anzahl der Halbwertszeiten, die vergangen sind

Nach

n

ganzen Halbwertszeiten ist noch

\frac{N_0}{2^n}

übrig:

Halbwertszeiten	0	1	2	3	4	5
Anteil übrig	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$
Prozent übrig	$100\,\%$	$50\,\%$	$25\,\%$	$12{,}5\,\%$	$6{,}25\,\%$	$3{,}125\,\%$

Das ist exponentielle Abnahme mit dem Zerfallsfaktor

\frac{1}{2}

pro Halbwertszeit: Die Menge wird immer kleiner, erreicht aber nie genau null.

Lösungsbeispiele

Eine Laborprobe enthält $80$ mg eines Stoffes mit einer Halbwertszeit von $4$ Stunden. Wie viel ist nach $12$ Stunden übrig?

Bestimme die Anzahl der Halbwertszeiten

$\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ → 3 Halbwertszeiten

Stelle die Formel auf

$N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ → Formel aufgestellt

Berechne die Potenz

$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ → $\frac{1}{8}$ der Probe ist übrig

Multipliziere

$80 \times \frac{1}{8} = 10$ (oder dreimal halbieren: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ) → $10$ mg

Antwort: Nach 12 Stunden sind noch 10 mg des Stoffes übrig.

Häufige Fehler

Für jede Stunde (jeden Tag, jedes Jahr) halbieren statt einmal pro Halbwertszeit

Warum es falsch ist: Bei einer Halbwertszeit von 4 Stunden rechnen manche nach 12 Stunden $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ . Die Menge halbiert sich aber nur alle 4 Stunden, nicht jede Stunde.

Richtig: Der Exponent ist die Anzahl der Halbwertszeiten $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ , also ist das Ergebnis $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$ .

Pro Halbwertszeit die Hälfte der ANFANGSmenge abziehen

Warum es falsch ist: Wer $100 \to 50 \to 0$ rechnet, behandelt den Zerfall wie eine lineare Abnahme. Jede Halbwertszeit nimmt die Hälfte dessen weg, was JETZT noch da ist, nicht die Hälfte der Anfangsmenge.

Richtig: Halbiere jedes Mal die aktuelle Menge: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Eine Probe erreicht nie genau null.

Den Nenner als Anzahl der Halbwertszeiten nehmen

Warum es falsch ist: Wenn $\frac{1}{8}$ übrig ist, sagen manche, es seien 8 Halbwertszeiten vergangen. Nach 8 Halbwertszeiten wäre aber nur $\frac{1}{256}$ übrig.

Richtig: Schreibe den Nenner als Potenz von 2: $8 = 2^3$ , also sind 3 Halbwertszeiten vergangen.

Übrigen Anteil und zerfallenen Anteil verwechseln

Warum es falsch ist: Nach 3 Halbwertszeiten ist $\frac{1}{8}$ übrig, also sind $\frac{7}{8}$ zerfallen. Die Frage kann nach beidem fragen.

Richtig: Lies die Frage genau: zerfallener Anteil $= 1 -$ übriger Anteil. Nach 3 Halbwertszeiten: $12{,}5\,\%$ übrig, $87{,}5\,\%$ zerfallen.

Warum es wichtig ist

Mit der Halbwertszeit messen Wissenschaftler, Ärzte und Ingenieure, wie schnell etwas verschwindet:

Archäologie: Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von $5730$ Jahren, deshalb verrät der Rest in Knochen und Holz ihr Alter
Medizin: Die Halbwertszeit eines Medikaments sagt Ärzten, wann die nächste Dosis fällig ist
Krankenhaus: Iod-131, das bei Schilddrüsenerkrankungen eingesetzt wird, hat eine Halbwertszeit von $8$ Tagen. Daran sieht das Personal, wann ein Patient sicher nach Hause darf
Energie und Sicherheit: Atommüll muss gelagert werden, bis genug Halbwertszeiten vergangen sind

Die gute Nachricht: Wenn die Zeit eine ganze Zahl von Halbwertszeiten ist, löst du solche Aufgaben einfach durch Halbieren, ganz ohne fortgeschrittene Werkzeuge.

Anwendungen im echten Leben

Radiokarbonmethode (C-14-Datierung)

Lebewesen nehmen Kohlenstoff-14 auf. Nach dem Tod zerfällt er mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren, deshalb verrät der übrige Anteil das Alter von Knochen, Holz und Holzkohle.

Beispiel:

Ein Stück Holz mit $\frac{1}{4}$ seines ursprünglichen Kohlenstoffs-14 ist $2 \times 5730 = 11460$ Jahre alt.

1Probiere es selbst

Holzkohle aus einer alten Feuerstelle enthält $\frac{1}{16}$ ihres ursprünglichen Kohlenstoffs-14. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt $5730$ Jahre.

Wie alt ist die Holzkohle?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme die Anzahl der Halbwertszeiten und multipliziere dann mit $5730$ :

Medikamente im Blut

Ärzte nutzen die Halbwertszeit eines Medikaments, um festzulegen, wann die nächste Dosis kommt, damit die Menge im Körper sicher und wirksam bleibt.

Beispiel:

Von einer Dosis von $400$ mg mit einer Halbwertszeit von $6$ Stunden sind nach $12$ Stunden noch $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg übrig.

2Probiere es selbst

Ein Patient nimmt $600$ mg eines Medikaments mit einer Halbwertszeit von $4$ Stunden.

Wie viel mg sind nach $16$ Stunden noch übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: $600 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/4}$

Behandlung mit Iod-131

Iod-131 wird bei Schilddrüsenerkrankungen eingesetzt. Seine Halbwertszeit von 8 Tagen zeigt dem Krankenhaus, wie schnell die Strahlung sinkt und wann Reste sicher gelagert oder entsorgt werden können.

Beispiel:

Aus $100$ mg Iod-131 werden nach $16$ Tagen $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg.

3Probiere es selbst

Ein Krankenhaus lagert $160$ mg Iod-131 (Halbwertszeit $8$ Tage).

Wie viel mg sind nach $24$ Tagen noch übrig?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: $160 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Wichtige Erkenntnisse

1Die Halbwertszeit $T$ ist die Zeit, in der die Hälfte eines Stoffes verschwindet
2Die übrige Menge ist $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ , wobei $\frac{t}{T}$ die Anzahl der Halbwertszeiten ist
3Nach $n$ Halbwertszeiten ist der Anteil $\frac{1}{2^n}$ übrig: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$
4Für die vergangene Zeit schreibst du den übrigen Anteil als $\frac{1}{2^n}$ und multiplizierst $n$ mit der Halbwertszeit
5Für die Halbwertszeit zählst du, wie oft sich die Menge in den Daten halbiert, und teilst die Zeit durch diese Zahl
6Jede Halbwertszeit nimmt die Hälfte des aktuellen Rests weg, deshalb erreicht die Menge nie genau null

Häufig gestellte Fragen

Verschwindet ein Stoff irgendwann ganz?

Mathematisch nicht:

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

ist nie null. In der Praxis ist nach etwa 10 Halbwertszeiten weniger als

0{,}1\,\%

übrig (

\frac{1}{1024}

), und das gilt meist als verschwunden.

Warum ist der Exponent $\frac{t}{T}$ und nicht einfach $t$ ?

Der Faktor

\frac{1}{2}

wirkt einmal pro Halbwertszeit, nicht einmal pro Zeiteinheit. Wenn du die Zeit

t

durch die Halbwertszeit

T

teilst, zählst du, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind.

Was ist, wenn die Zeit keine ganze Zahl von Halbwertszeiten ist?

Die Formel funktioniert trotzdem, zum Beispiel

400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}

. Nutze einen Taschenrechner (tippe 400 × 0.5^1.5) oder einen gegebenen Wert wie

\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536

. Eine unbekannte Zeit in so einem Fall zu bestimmen, braucht Logarithmen, die in einer späteren Lektion kommen.

Wie hängt die Halbwertszeit mit der Abnahmerate bei exponentieller Abnahme zusammen?

In der Lektion Exponentielle Abnahme wird eine Menge pro Zeiteinheit mit

b = 1 - r

multipliziert. Die Halbwertszeit nutzt dieselbe Idee, wählt die Zeiteinheit aber so, dass der Faktor genau

\frac{1}{2}

ist. Das macht das Kopfrechnen viel leichter.

Glossar

Halbwertszeit: Die Zeit $T$ , in der die Hälfte eines Stoffes zerfällt oder verschwindet
Anfangswert: Die Menge $N_0$ zu Beginn, bei $t = 0$
Anzahl der Halbwertszeiten: Der Quotient $\frac{t}{T}$ : wie oft die Menge halbiert wurde
Radioaktiver Zerfall: Der Vorgang, bei dem instabile Atome sich in andere Atome umwandeln, wobei in jedem gleich langen Zeitraum ein fester Anteil verloren geht
Radiokarbonmethode: Ein Verfahren, das das Alter von einst lebendem Material aus dem übrigen Anteil von Kohlenstoff-14 bestimmt (Halbwertszeit $5730$ Jahre)

Formelkarte

Formel für die Halbwertszeit

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = Anfangswert, $T$ = Halbwertszeit, $t$ = vergangene Zeit (gleiche Einheit wie $T$).

Nach n Halbwertszeiten

N = \frac{N_0}{2^n}, \quad n = \frac{t}{T}

Teile für jede Halbwertszeit einmal durch 2. Die vergangene Zeit ist $t = n \cdot T$.

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Radiokarbonmethode (C-14-Datierung)

Medikamente im Blut

Behandlung mit Iod-131

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Formel für die Halbwertszeit

Nach n Halbwertszeiten

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