Grenzwerte am Graphen ablesen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Der Graph von $f$ ist eine Gerade, die durch einen offenen Kreis bei $(3, 4)$ verläuft. Außerdem gibt es einen ausgefüllten Punkt bei $(3, 1)$ . Wie groß ist $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?
1. a)1
2. b)3
3. c)4
4. d)existiert nicht
Lösung: 4
Beide Seiten der Geraden streben zum offenen Kreis auf Höhe $4$ , also $\lim_{x \to 3} f(x) = 4$ . Der ausgefüllte Punkt bei $(3, 1)$ liefert nur $f(3) = 1$ .
2.
Der Graph von $g$ ist die Parabel $y = x^2$ mit einem offenen Kreis bei $(2, 4)$ und einem ausgefüllten Punkt bei $(2, 0)$ . Wie groß ist $\lim_{x \to 2} g(x)$ ?
Lösung: 4
In der Nähe von $x = 2$ strebt die Parabel von beiden Seiten gegen $2^2 = 4$ , die Höhe des offenen Kreises. Also ist $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$ .
3.
Der Graph von $f$ ist die Gerade $y = x + 2$ mit einem offenen Kreis bei $(1, 3)$ und einem ausgefüllten Punkt bei $(1, 6)$ . Bestimme $\lim_{x \to 1} f(x)$ und vergleiche ihn mit $f(1)$ .
Lösung: 3
1. Gegen welche Höhe strebt die Gerade links von $x = 1$ ? 3
2. Gegen welche Höhe strebt die Gerade rechts von $x = 1$ ? 3
3. Wie groß ist $f(1)$ (der ausgefüllte Punkt)? 6
4. Wie groß ist also $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 3
4.
Der Graph von $f$ ist eine Gerade durch einen offenen Kreis bei $(3, 4)$ , dazu kommt ein ausgefüllter Punkt bei $(3, 1)$ . Wie groß ist $f(3)$ ?
1. a)4
2. b)1
3. c)3
4. d)existiert nicht
Lösung: 1
Der offene Kreis bei $(3, 4)$ gehört nicht zum Graphen. Der ausgefüllte Punkt bei $(3, 1)$ schon, also $f(3) = 1$ , auch wenn der Grenzwert bei $3$ gleich $4$ ist.
5.
Der Graph von $g$ ist die Parabel $y = x^2$ mit einem offenen Kreis bei $(2, 4)$ und einem ausgefüllten Punkt bei $(2, 0)$ . Wie groß ist $g(2)$ ?
Lösung: 0
Der ausgefüllte Punkt $(2, 0)$ ist der Punkt des Graphen bei $x = 2$ , also $g(2) = 0$ . Der offene Kreis zeigt nur, wohin die Parabel strebt.
6.
Der Graph von $f$ ist die Gerade $y = 4 - x$ , ohne Lücken oder zusätzliche Punkte gezeichnet. Bestimme $\lim_{x \to 1} f(x)$ und prüfe, ob er gleich $f(1)$ ist.
Lösung: 3
1. Gegen welche Höhe strebt die Gerade links von $x = 1$ ? 3
2. Gegen welche Höhe strebt sie rechts von $x = 1$ ? 3
3. Wie groß ist $f(1)$ ? 3
4. Ist der Grenzwert gleich $f(1)$ ? ja
7.
Für $x < 2$ verläuft der Graph von $f$ entlang $y = x$ und endet in einem offenen Kreis bei $(2, 2)$ . Für $x \ge 2$ verläuft er entlang $y = 5 - x$ und beginnt mit einem ausgefüllten Punkt bei $(2, 3)$ . Wie groß ist $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)5
3. c)3
4. d)existiert nicht
Lösung: existiert nicht
Von links strebt der Graph gegen $2$ , von rechts gegen $5 - 2 = 3$ . Die Seiten stimmen nicht überein, also existiert der Grenzwert nicht, obwohl $f(2) = 3$ ist.
8.
Der Graph von $h$ ist die Gerade durch $(0, -1)$ und $(4, 7)$ , mit einem offenen Kreis bei $x = 2$ und dort keinem ausgefüllten Punkt. Wie groß ist $\lim_{x \to 2} h(x)$ ?
Lösung: 3
Die Steigung ist $\frac{8}{4} = 2$ und die Gerade schneidet die $y$ -Achse bei $-1$ , also $y = 2x - 1$ . Beide Seiten streben gegen $2 \cdot 2 - 1 = 3$ , also $\lim_{x \to 2} h(x) = 3$ , obwohl $h(2)$ nicht definiert ist.
9.
Für $x < 2$ ist der Graph von $f$ die Gerade $y = x$ , die in einem offenen Kreis bei $(2, 2)$ endet. Für $x \ge 2$ ist er die Gerade $y = x + 3$ , beginnend mit einem ausgefüllten Punkt bei $(2, 5)$ . Existiert $\lim_{x \to 2} f(x)$ , und wie groß ist $f(2)$ ?
Lösung: 5
1. Gegen welche Höhe strebt der Graph links von $x = 2$ ? 2
2. Gegen welche Höhe strebt der Graph rechts von $x = 2$ ? 5
3. Stimmen die beiden Seiten überein, sodass $\lim_{x \to 2} f(x)$ existiert? nein
4. Wie groß ist $f(2)$ ? 5
10.
Welche Aussage über $\lim_{x \to a} f(x)$ ist immer wahr?
1. a)Wenn $f(a)$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert bei $a$ nicht
2. b)Liegt bei $x = a$ ein ausgefüllter Punkt, ist der Grenzwert gleich seiner Höhe
3. c)Der Grenzwert bei $a$ hängt nur von den Werten von $f$ in der Nähe von $a$ ab, nicht von $f(a)$
4. d)Der Grenzwert bei $a$ ist immer gleich $f(a)$
Lösung: Der Grenzwert bei $a$ hängt nur von den Werten von $f$ in der Nähe von $a$ ab, nicht von $f(a)$
Der Grenzwert betrachtet nur die Werte von $f$ in der Nähe von $a$ . Eine Lücke ( $f(a)$ nicht definiert) verhindert keinen Grenzwert, ein verschobener Punkt macht den Grenzwert verschieden von $f(a)$ , und bei einem Sprung gibt es einen ausgefüllten Punkt, aber keinen Grenzwert.
11.
In der Nähe von $x = -2$ strebt der Graph von $f$ von beiden Seiten zu einem offenen Kreis bei $(-2, 3)$ , und es gibt einen ausgefüllten Punkt bei $(-2, -1)$ . Berechne $\lim_{x \to -2} f(x) + f(-2)$ .
Lösung: 2
$\lim_{x \to -2} f(x) = 3$ (die Höhe, gegen die die Kurve strebt) und $f(-2) = -1$ (der ausgefüllte Punkt), also ist die Summe $3 + (-1) = 2$ .
12.
Der Graph von $g$ : Für $x \le -1$ ist er $y = x + 3$ und endet in einem ausgefüllten Punkt bei $(-1, 2)$ ; für $-1 < x < 2$ ist er $y = (x - 1)^2$ und beginnt mit einem offenen Kreis bei $(-1, 4)$ ; für $x > 2$ ist er $y = 3 - x$ . Bei $x = 2$ gibt es einen offenen Kreis bei $(2, 1)$ und keinen ausgefüllten Punkt. Lies die Grenzwerte am Graphen ab.
Lösung: 1
1. Wie groß ist $\lim_{x \to 0} g(x)$ ? 1
2. Wie groß ist $\lim_{x \to 2} g(x)$ ? 1
3. Ist $g(2)$ definiert? nein
4. Gegen welche Höhe strebt der Graph rechts von $x = -1$ ? 4
13.
Der Graph von $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ sieht aus wie die Gerade $y = x - 1$ mit einer Lücke. Bestimme mit dem Graphen $\lim_{x \to -1} f(x)$ .
Lösung: -2
1. Bei welchem $x$ liegt die Lücke (wo $f$ nicht definiert ist)? -1
2. Welche Höhe hat die Gerade $y = x - 1$ an dieser Stelle? -2
3. Gibt es bei $x = -1$ einen ausgefüllten Punkt? nein
4. Wie groß ist also $\lim_{x \to -1} f(x)$ ? -2
14.
Der Graph von $f$ hat drei besondere Stellen. Bei $x = 1$ endet der linke Teil auf Höhe $2$ und der rechte Teil beginnt auf Höhe $-1$ . Bei $x = 3$ strebt die Kurve von beiden Seiten zu einem offenen Kreis bei $(3, 4)$ , ohne ausgefüllten Punkt. Bei $x = 5$ strebt die Kurve von beiden Seiten gegen $(5, 0)$ , aber der ausgefüllte Punkt liegt bei $(5, 3)$ . Für welches $a$ existiert $\lim_{x \to a} f(x)$ nicht?
1. a) $a = 0$
2. b) $a = 5$
3. c) $a = 3$
4. d) $a = 1$
Lösung: $a = 1$
Bei $x = 1$ streben die Seiten gegen $2$ und $-1$ : ein Sprung, also kein Grenzwert. Bei $x = 3$ ist der Grenzwert $4$ (eine Lücke) und bei $x = 5$ ist er $0$ (der Punkt auf Höhe $3$ spielt keine Rolle). Bei $x = 0$ passiert nichts Besonderes.
15.
Der Graph von $f$ verläuft für $x < 2$ entlang $y = 3x + k$ und für $x > 2$ entlang $y = x^2$ , mit offenen Kreisen an beiden Enden bei $x = 2$ . Für welchen Wert von $k$ existiert $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
Lösung: -2
Die linke Seite strebt gegen $3 \cdot 2 + k = 6 + k$ , die rechte gegen $2^2 = 4$ . Der Grenzwert existiert, wenn $6 + k = 4$ , also $k = -2$ .
16.
Der Graph von $q$ : Für $x < 2$ ist er $y = x^2$ und endet in einem offenen Kreis bei $(2, 4)$ ; bei $(2, 1)$ liegt ein ausgefüllter Punkt; für $2 < x < 5$ ist er $y = 6 - x$ , zwischen offenen Kreisen bei $(2, 4)$ und $(5, 1)$ ; für $x \ge 5$ ist er $y = x - 2$ und beginnt mit einem ausgefüllten Punkt bei $(5, 3)$ . Bestimme $\lim_{x \to 2} q(x)$ und $q(2)$ , und entscheide, ob $\lim_{x \to 5} q(x)$ existiert.
Lösung: 4
1. Wie groß ist $\lim_{x \to 2} q(x)$ ? 4
2. Wie groß ist $q(2)$ ? 1
3. Gegen welche Höhe strebt der Graph links von $x = 5$ ? 1
4. Gegen welche Höhe strebt der Graph rechts von $x = 5$ ? 3
5. Existiert $\lim_{x \to 5} q(x)$ ? nein
17.
Für $x < 3$ ist der Graph von $f$ die Gerade $y = ax$ , für $x > 3$ ist er $y = 12 - x$ , und bei $(3, 0)$ liegt ein ausgefüllter Punkt. Bestimme den Wert von $a$ , für den $\lim_{x \to 3} f(x)$ existiert.
Lösung: 3
1. Gegen welche Höhe strebt der Graph rechts von $x = 3$ ? 9
2. Die linke Seite strebt gegen $3a$ . Für welches $a$ ist $3a$ gleich dieser Höhe? 3
3. Wie groß ist mit diesem $a$ der Grenzwert $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 9
4. Wie groß ist $f(3)$ ? 0
18.
Der Graph von $f$ : Für $x \le 0$ ist er $y = -x$ und endet in einem ausgefüllten Punkt bei $(0, 0)$ ; für $0 < x < 4$ ist er $y = x + 2$ , zwischen offenen Kreisen bei $(0, 2)$ und $(4, 6)$ ; bei $(4, 1)$ liegt ein ausgefüllter Punkt; für $x > 4$ ist er $y = 10 - x$ und beginnt mit einem offenen Kreis bei $(4, 6)$ . Berechne $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ .
Lösung: 10
1. Wie groß ist $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? 6
2. Wie groß ist $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? 4
3. Wie groß ist $f(0)$ ? 0
4. Existiert $\lim_{x \to 0} f(x)$ ? (Er gehört nicht zur Summe.) nein
5. Wie groß ist die Summe $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ ? 10