Uneigentliche Grenzwerte

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Bestimme $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $1$
4. d) $\infty$
Lösung: $\infty$
Für $x = \pm 0{,}1$ erhalten wir $\frac{1}{0{,}01} = 100$ , für $x = \pm 0{,}01$ erhalten wir $10000$ . Die Werte wachsen auf beiden Seiten über alle Grenzen, also ist $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ .
2.
Die Funktion $f(x) = \frac{7}{x-6}$ hat eine senkrechte Asymptote $x = a$ . Wie groß ist $a$ ?
Lösung: 6
$x - 6 = 0$ ergibt $x = 6$ , und der Zähler ist $7 \neq 0$ . Die Funktion explodiert also in der Nähe von $x = 6$ , und $a = 6$ .
3.
Bestimme $\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x-5}$ .
Lösung: $\infty$
1. Was ist $x - 5$ für $x = 5{,}01$ ? 0.01
2. Was ist $\frac{1}{x-5}$ für $x = 5{,}01$ ? 100
3. Wie lautet der rechtsseitige Grenzwert? $\infty$
4.
Wo liegt die senkrechte Asymptote von $f(x) = \frac{3}{x+5}$ ?
1. a) $x = 5$
2. b) $y = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -5$
Lösung: $x = -5$
Der Nenner $x + 5$ ist bei $x = -5$ gleich $0$ , und der Zähler $3$ ist nie $0$ . Also ist $x = -5$ die senkrechte Asymptote. ( $y = 0$ ist eine waagerechte Asymptote.)
5.
Berechne für $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ den Wert $f(2{,}01)$ .
Lösung: 10000
$(0{,}01)^2 = 0{,}0001$ und $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ . Ganz nah bei $x = 2$ ist die Funktion schon riesig, ein Zeichen für den uneigentlichen Grenzwert dort.
6.
Bestimme $\lim_{x \to 0} \frac{3}{x^2}$ .
Lösung: $\infty$
1. Was ist $x^2$ für $x = 0{,}1$ (und auch für $x = -0{,}1$ )? 0.01
2. Was ist $\frac{3}{x^2}$ für $x = 0{,}1$ und $x = -0{,}1$ ? 300
3. Wie lautet der Grenzwert? $\infty$
7.
Bestimme die senkrechte Asymptote von $g(x) = \frac{x+4}{x-1}$ .
Lösung: $x = 1$
1. Für welches $x$ ist der Nenner $0$ ? 1
2. Welchen Wert hat der Zähler an dieser Stelle? 5
3. Welche Gerade ist die senkrechte Asymptote? $x = 1$
8.
Bestimme $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$ .
1. a) $-\infty$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d) $2$
Lösung: $-\infty$
Für $x < 4$ ist der Nenner $x - 4$ eine kleine negative Zahl (zum Beispiel $3{,}99 - 4 = -0{,}01$ ), und der Zähler $2$ ist positiv. Positiv durch klein negativ ergibt $\frac{2}{-0{,}01} = -200$ und noch weniger, also ist der Grenzwert $-\infty$ .
9.
Berechne für $f(x) = \frac{1}{x-2}$ den Wert $f(1{,}999)$ .
Lösung: -1000
$\frac{1}{-0{,}001} = -1000$ . Knapp links von $x = 2$ sind die Werte groß und negativ, passend zu $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$ .
10.
Bestimme $\lim_{x \to 1^-} \frac{x+3}{x-1}$ .
Lösung: $-\infty$
1. Wogegen strebt der Zähler $x + 3$ für $x \to 1$ ? 4
2. Was ist der Nenner $x - 1$ für $x = 0{,}99$ ? -0.01
3. Was ist $\frac{x+3}{x-1}$ für $x = 0{,}99$ ? -399
4. Wie lautet der linksseitige Grenzwert? $-\infty$
11.
Was gilt für $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1}$ ?
1. a) $\infty$
2. b) $-\infty$
3. c)Er existiert nicht
4. d) $1$
Lösung: Er existiert nicht
Links von $1$ : $\frac{1}{0{,}9 - 1} = -10$ , die Werte gehen gegen $-\infty$ . Rechts von $1$ : $\frac{1}{1{,}1 - 1} = 10$ , die Werte gehen gegen $\infty$ . Die Seiten stimmen nicht überein, also existiert der beidseitige Grenzwert nicht und kann weder als $\infty$ noch als $-\infty$ geschrieben werden.
12.
Bestimme die einseitigen Grenzwerte und den beidseitigen Grenzwert von $f(x) = \frac{x}{x-1}$ an der Stelle $x = 1$ .
Lösung: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty,\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty$
1. Was ist $f(0{,}9)$ ? -9
2. Was ist $f(1{,}1)$ ? 11
3. Was ist $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? $-\infty$
4. Was ist $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? $\infty$
5. Was ist $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? existiert nicht
13.
Wie viele senkrechte Asymptoten hat $f(x) = \frac{x+1}{x^2-4x+3}$ ?
Lösung: 2
$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ , also ist der Nenner bei $x = 1$ und $x = 3$ gleich $0$ . Der Zähler ist dort $2$ bzw. $4$ , beide ungleich $0$ . Es gibt also $2$ senkrechte Asymptoten: $x = 1$ und $x = 3$ .
14.
Bestimme $\lim_{x \to -2} \frac{x-3}{(x+2)^2}$ .
Lösung: $-\infty$
1. Wogegen strebt der Zähler $x - 3$ für $x \to -2$ ? -5
2. Was ist $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ für $x = -1{,}9$ ? -490
3. Was ist $\frac{x-3}{(x+2)^2}$ für $x = -2{,}1$ ? -510
4. Wie lautet der Grenzwert? $-\infty$
15.
Welche Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei $x = 3$ ?
1. a) $\frac{1}{x+3}$
2. b) $\frac{x-3}{x^2-9}$
3. c) $\frac{x+3}{x-3}$
4. d) $\frac{x^2-9}{x-3}$
Lösung: $\frac{x+3}{x-3}$
$\frac{x+3}{x-3}$ : Nenner $0$ bei $x = 3$ , Zähler $6 \neq 0$ , also explodiert die Funktion dort. $\frac{x-3}{x^2-9} = \frac{1}{x+3}$ hat bei $x = 3$ eine Lücke (ihre Asymptote ist $x = -3$ ), $\frac{x^2-9}{x-3} = x + 3$ hat bei $x = 3$ nur eine Lücke, und $\frac{1}{x+3}$ hat ihre Asymptote bei $x = -3$ .
16.
Die Funktion $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$ hat genau eine senkrechte Asymptote $x = a$ . Wie groß ist $a$ ?
Lösung: -3
$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}$ . Bei $x = 1$ sind beide $0$ : Nach dem Kürzen gilt $\frac{x+1}{x+3} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , also eine Lücke. Bei $x = -3$ ist der Zähler $9 - 1 = 8 \neq 0$ , also $a = -3$ .
17.
Untersuche $f(x) = \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}$ an den Nullstellen des Nenners.
Lösung: $x = 3$
1. Was ist die kleinere Nullstelle des Nenners? 2
2. Was ist die größere Nullstelle des Nenners? 3
3. An der kleineren Nullstelle ist auch der Zähler $0$ . Kürze den gemeinsamen Faktor: Was ist $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? -4
4. Bei welchem $x$ liegt die senkrechte Asymptote? 3
5. Was ist $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ ? $\infty$
18.
Bestimme $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2+1}{4-x^2}$ .
Lösung: $-\infty$
1. Wogegen strebt der Zähler $x^2 + 1$ für $x \to 2$ ? 5
2. Was ist der Nenner $4 - x^2$ bei $x = 2$ ? 0
3. Was ist $4 - x^2$ für $x = 2{,}01$ ? -0.0401
4. Wie lautet der rechtsseitige Grenzwert? $-\infty$