Leitfaden für Lehrer: Uneigentliche Grenzwerte

Lerne, was es bedeutet, wenn eine Funktion in der Nähe einer Stelle über alle Grenzen wächst, wie du das Vorzeichen mit dem Nenner bestimmst und wie so senkrechte Asymptoten entstehen.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Grenzwerte. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Schreibweisen $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ und $-\infty$ für einseitige und beidseitige Grenzwerte deuten
Mit einer Vorzeichenuntersuchung von Zähler und Nenner entscheiden, ob ein Grenzwert $\infty$ oder $-\infty$ ist
Entscheiden, ob ein beidseitiger uneigentlicher Grenzwert als $\pm\infty$ geschrieben werden kann oder nicht existiert
Senkrechte Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen finden und von Lücken unterscheiden
Erklären, warum ein Grenzwert $\infty$ kein Grenzwert ist, der als Zahl existiert

Voraussetzungen

• Die Lektionen „Grenzwertschreibweise“ und „Einseitige Grenzwerte“
• Die Lektionen „Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen“ und „Grenzwerte durch direktes Einsetzen“
• Quadratische Terme faktorisieren
• Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren negativer Zahlen

Diskussionsstarter

1. Ist „der Grenzwert ist unendlich“ dasselbe wie „der Grenzwert existiert“? Warum oder warum nicht?
2. Warum dürfen wir nicht $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$ schreiben, während $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ richtig ist?
3. Sowohl $\frac{x-2}{x-2}$ als auch $\frac{1}{x-2}$ haben bei $x = 2$ den Nenner null. Warum hat nur eine der beiden eine senkrechte Asymptote?
4. Fällt dir eine Größe aus dem Alltag ein, die über alle Grenzen wächst, wenn man sich einem bestimmten Wert nähert?

Häufige Missverständnisse

Ein uneigentlicher Grenzwert bedeutet, dass der Grenzwert existiert und eine sehr große Zahl ist

Abhilfe: Zeige eine Wertetabelle für $\frac{1}{(x-2)^2}$ : Egal welche Schranke jemand nennt (eine Million, eine Milliarde), finde ein $x$ nahe bei $2$ , das sie übertrifft. Folgere, dass keine Zahl passt, der Grenzwert also als Zahl nicht existiert.

Jede Nullstelle des Nenners ergibt eine senkrechte Asymptote

Abhilfe: Zeichne $\frac{x^2-4}{x-2}$ neben $\frac{1}{x-2}$ . Das erste ist die Gerade $y = x + 2$ mit einer Lücke bei $x = 2$ ; nur das zweite explodiert. Mach das Prüfen des Zählers zu einem festen Schritt.

Wenn eine Seite gegen $\infty$ geht, ist der beidseitige Grenzwert $\infty$

Abhilfe: Nutze den Graphen von $\frac{1}{x-2}$ und lass die Lernenden jeden Ast bis $x = 2$ verfolgen. Besteh darauf, dass zuerst beide einseitigen Grenzwerte notiert werden.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit Wertetabellen (1,9; 1,99; 2,01; 2,1), bevor du mit Vorzeichen argumentierst
• Gib eine Vorlage für die Vorzeichentabelle mit Feldern für Zähler, Nenner und Quotient
• Verwende zuerst nur Nenner der Form $x - a$ und $(x - a)^2$

Für Schüler auf Niveau:

• Senkrechte Asymptoten und einseitige Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen mit faktorisierbarem Nenner bestimmen
• Jede Nullstelle des Nenners als Asymptote oder Lücke einordnen
• Den Graphen in der Nähe jeder Asymptote aus den einseitigen Grenzwerten skizzieren

Für fortgeschrittene Schüler:

• Uneigentliche Grenzwerte nicht rationaler Funktionen untersuchen, etwa $\ln x$ für $x \to 0^+$ und $\tan x$ in der Nähe von $\frac{\pi}{2}$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ mit der Definition beweisen: Zu jedem $M > 0$ ein $\delta > 0$ finden
• Eine gebrochenrationale Funktion mit vorgegebenen Asymptoten, Lücken und einseitigem Verhalten konstruieren

Standardausrichtung

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Graphen gebrochenrationaler Funktionen zeichnen, Nullstellen und Asymptoten bei geeigneter Faktorisierung bestimmen und das Verhalten im Unendlichen zeigen
AP Calculus LIM-2.D (AP.CALC.LIM-2.D)
Das Verhalten von Funktionen mit Grenzwerten deuten, an denen Unendlich beteiligt ist

Lektionsressourcen

visualGraph von 1/(x - 2) und 1/(x - 2)²
Wechsle zwischen den beiden Graphen und vergleiche die Wertetabellen auf beiden Seiten der Asymptote $x = 2$
activityVorzeichentabellen-Staffel
Teams tragen das Vorzeichen von Zähler, Nenner und Quotient auf jeder Seite jeder Nullstelle des Nenners ein und skizzieren dann den Graphen
worksheetAsymptote oder Lücke?
Zehn gebrochenrationale Funktionen: Ordne jede Nullstelle des Nenners ein und gib die einseitigen Grenzwerte an

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein uneigentlicher Grenzwert beschreibt eine Funktion, deren Werte über alle Grenzen wachsen, wenn

x

gegen eine Zahl

a

strebt.

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

bedeutet: Wenn

x

sich

a

(von beiden Seiten) nähert, wird

f(x)

größer als jede Zahl, die du nennen kannst. Genauso bedeutet

\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

, dass

f(x)

kleiner wird als jede Zahl, die du nennen kannst.

Einseitige Versionen funktionieren genauso:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty

betrachtet nur

x < a

, und

\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty

betrachtet nur

x > a

Wichtig:

\infty

ist keine Zahl. Die Schreibweise

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

sagt dir, *wie* der Grenzwert als reelle Zahl nicht existiert: Die Werte wachsen in positiver Richtung über alle Grenzen. Der Grenzwert existiert nicht als Zahl.

Senkrechte Asymptote: Die Gerade

x = a

ist eine senkrechte Asymptote von

f

, wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte bei

a

gleich

\infty

oder

-\infty

ist. Bei einer gebrochenrationalen Funktion

\frac{p(x)}{q(x)}

passiert das dort, wo

q(a) = 0

, aber

p(a) \neq 0

ist (eine Polstelle).

Vorzeichenuntersuchung: Wenn der Zähler gegen eine Zahl ungleich null strebt und der Nenner gegen

0

, wächst der Quotient über alle Grenzen. Sein Vorzeichen ergibt sich aus den Vorzeichen der beiden Teile:

positiv geteilt durch eine kleine positive Zahl: $\infty$
positiv geteilt durch eine kleine negative Zahl: $-\infty$
negativ geteilt durch eine kleine positive Zahl: $-\infty$
negativ geteilt durch eine kleine negative Zahl: $\infty$

Lösungsbeispiele

Bestimme $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$ .

Versuche direktes Einsetzen

$\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$ : Der Zähler ist $1$ , der Nenner ist $0$ → Keine Zahl: genauer hinschauen

Wertetabelle von links

$x = 1{,}9$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ → Die Werte wachsen über alle Grenzen

Wertetabelle von rechts

$x = 2{,}1$ : $100$ ; $x = 2{,}01$ : $10000$ → Die Werte wachsen über alle Grenzen

Nutze das Vorzeichen

$(x-2)^2$ ist ein Quadrat, also auf beiden Seiten von $2$ positiv → Beide einseitigen Grenzwerte sind $\infty$

Antwort: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$ . Beide Seiten wachsen in dieselbe Richtung, deshalb schreiben wir für den beidseitigen Grenzwert $\infty$ , und $x = 2$ ist eine senkrechte Asymptote.

Häufige Fehler

Sagen: „Der Grenzwert existiert und ist $\infty$ “

Warum es falsch ist: $\infty$ ist keine reelle Zahl. Die Schreibweise $= \infty$ beschreibt nur, wie die Funktion wächst; als Zahl existiert der Grenzwert nicht.

Richtig: Sag „ $f(x)$ wächst über alle Grenzen für $x \to a$ “ oder „der Grenzwert ist $\infty$ “, und denk daran: Ein Grenzwert $\infty$ ist kein existierender Grenzwert.

Schreiben: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Warum es falsch ist: Von links gehen die Werte gegen $-\infty$ , von rechts gegen $\infty$ . Einen beidseitigen Grenzwert darfst du nur dann als $\infty$ schreiben, wenn beide Seiten gegen $\infty$ gehen.

Richtig: Gib beide einseitigen Grenzwerte an ( $-\infty$ und $\infty$ ) und sag, dass der beidseitige Grenzwert nicht existiert.

Jede Nullstelle des Nenners für eine senkrechte Asymptote halten

Warum es falsch ist: Ist dort auch der Zähler $0$ , hat der Ausdruck die Form $\frac{0}{0}$ und lässt sich vielleicht kürzen. Dann kann der Grenzwert eine Zahl sein, und der Graph hat nur eine Lücke.

Richtig: Prüfe zuerst den Zähler: Nenner $0$ und Zähler nicht $0$ bedeutet senkrechte Asymptote; beide $0$ bedeutet kürzen und neu prüfen.

Das Vorzeichen nur aus dem Nenner bestimmen

Warum es falsch ist: Ein negativer Zähler dreht das Ergebnis um: $\frac{-5}{\text{klein positiv}}$ geht gegen $-\infty$ , nicht gegen $\infty$ .

Richtig: Bestimme das Vorzeichen des Zählers und das des Nenners auf der betrachteten Seite und kombiniere sie wie beim Dividieren.

Warum es wichtig ist

Uneigentliche Grenzwerte beschreiben Situationen, in denen eine Größe explodiert, wenn man sich einem kritischen Wert nähert:

Physik: Die Kraft zwischen zwei Ladungen, $F = \frac{k}{r^2}$ , wächst über alle Grenzen, wenn der Abstand $r$ gegen $0$ strebt
Optik: Wenn ein Gegenstand nahe am Brennpunkt einer Linse steht, rückt das Bild unendlich weit weg
Umwelttechnik: Kosten oder Zeit, um die letzten Prozent eines Schadstoffs zu entfernen, wachsen oft über alle Grenzen, wenn man sich 100 % nähert
Funktionsgraphen: Uneigentliche Grenzwerte zeigen dir genau, wo die senkrechten Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion liegen und in welche Richtung der Graph auf jeder Seite läuft

In der Analysis brauchst du uneigentliche Grenzwerte, um Graphen zu skizzieren, Unstetigkeitsstellen zu beschreiben und mit uneigentlichen Integralen zu arbeiten.

Anwendungen im echten Leben

Elektrische Kraft bei kleinen Abständen

Die Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen ist umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Deshalb wächst sie über alle Grenzen, wenn der Abstand gegen null schrumpft.

Beispiel:

Mit $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (in Newton, $r$ in Metern) wird die Kraft viermal so groß, wenn du den Abstand halbierst, und $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$ .

1Probiere es selbst

Zwei geladene Teilchen stoßen sich mit der Kraft $F(r) = \frac{100}{r^2}$ Newton ab, wobei $r$ der Abstand in Metern ist.

Wie groß ist die Kraft in Newton bei einem Abstand von $r = 0{,}1$ Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $F(0{,}1)$ :

Die letzten Verunreinigungen entfernen

Wasseraufbereitung wird immer schwieriger, je näher man an vollständige Reinheit kommt. Modelle für den Aufwand haben oft eine senkrechte Asymptote bei 100 %.

Beispiel:

Wenn das Herausfiltern von $p$ Prozent der Verunreinigungen $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ Minuten dauert, dann ist $T(50) = 50$ Minuten, aber $T(90) = 450$ Minuten.

2Probiere es selbst

Ein Filter braucht $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ Minuten, um $p$ Prozent der Verunreinigungen aus einem Wassertank zu entfernen.

Wogegen strebt $T(p)$ für $p \to 100^-$ ?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Wähle den Wert von $\lim_{p \to 100^-} T(p)$ :

Bilder einer Linse

Bei einer Linse mit Brennweite $f$ ist die Bildweite $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Wenn der Gegenstand auf den Brennpunkt zuwandert, rückt das Bild unendlich weit weg.

Beispiel:

Für $f = 10$ cm: Ein Gegenstand bei $d_o = 20$ cm ergibt ein Bild bei $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, und $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$ .

3Probiere es selbst

Eine Lupe hat die Brennweite $10$ cm, die Bildweite ist also $d_i = \frac{10 \, d_o}{d_o - 10}$ cm.

Wie groß ist die Bildweite in cm, wenn der Gegenstand bei $d_o = 11$ cm steht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $d_i$ für $d_o = 11$ :

Wichtige Erkenntnisse

1 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ bedeutet, dass $f(x)$ über alle Grenzen wächst, wenn $x$ gegen $a$ strebt; $-\infty$ bedeutet, dass es unter alle Grenzen fällt
2 $\infty$ ist keine Zahl: Ein Grenzwert $\infty$ oder $-\infty$ existiert nicht als reelle Zahl
3Strebt der Zähler gegen eine Zahl ungleich null und der Nenner gegen $0$ , ist der Grenzwert uneigentlich; die Vorzeichenuntersuchung entscheidet zwischen $\infty$ und $-\infty$
4Prüfe jede Seite einzeln: Gehen linke und rechte Seite in verschiedene Richtungen, existiert der beidseitige Grenzwert nicht und wird nicht als $\infty$ geschrieben
5 $x = a$ ist eine senkrechte Asymptote, wenn mindestens ein einseitiger Grenzwert bei $a$ gleich $\infty$ oder $-\infty$ ist
6Eine Nullstelle des Nenners, an der auch der Zähler $0$ ist, kann eine Lücke statt einer Asymptote sein: erst kürzen

Häufig gestellte Fragen

Wenn der Grenzwert $\infty$ ist, existiert der Grenzwert dann?

Nein. Ein Grenzwert existiert nur, wenn er eine reelle Zahl ist. Die Schreibweise

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

ist eine genauere Art zu sagen: „Der Grenzwert existiert nicht, weil die Werte in positiver Richtung über alle Grenzen wachsen.“

Was ist der Unterschied zwischen einem uneigentlichen Grenzwert und einem Grenzwert im Unendlichen?

Beim uneigentlichen Grenzwert strebt

x

gegen eine Zahl, und

f(x)

explodiert:

\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty

. Beim Grenzwert im Unendlichen wächst

x

selbst über alle Grenzen:

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

. Das erste liefert senkrechte Asymptoten, das zweite waagerechte.

Kann ein Graph eine senkrechte Asymptote schneiden?

Nein. An einer senkrechten Asymptote

x = a

explodieren die Funktionswerte in der Nähe von

a

, und

f(a)

selbst ist meistens nicht definiert. (Waagerechte Asymptoten sind anders: Die kann ein Graph schneiden.)

Warum gibt eine gerade Potenz im Nenner auf beiden Seiten dasselbe Vorzeichen?

Ein Quadrat (oder jede gerade Potenz) ist nie negativ. In der Nähe von

a

ist

(x-a)^2

auf beiden Seiten eine kleine positive Zahl, also hängt das Vorzeichen des Quotienten nur vom Zähler ab.

Glossar

Uneigentlicher Grenzwert: Ein Grenzwert, bei dem $f(x)$ für $x \to a$ über alle Grenzen wächst oder unter alle Grenzen fällt, geschrieben $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ oder $-\infty$
Senkrechte Asymptote: Eine senkrechte Gerade $x = a$ , der sich der Graph nähert, während seine Werte auf mindestens einer Seite gegen $\infty$ oder $-\infty$ gehen
Vorzeichenuntersuchung: Bestimmen, ob Zähler und Nenner in der Nähe von $a$ positiv oder negativ sind, um zwischen $\infty$ und $-\infty$ zu entscheiden
Wächst über alle Grenzen: Wird größer als jede Zahl, die man nennen kann; das bedeutet $\to \infty$
Existiert nicht: Der Grenzwert ist keine reelle Zahl, zum Beispiel weil die Werte explodieren oder die beiden Seiten nicht übereinstimmen

Formelkarte

Test auf uneigentlichen Grenzwert

\lim_{x \to a^{\pm}} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty \text{ falls } p(a) \neq 0,\ q(a) = 0

Zähler ungleich null über einem Nenner, der gegen $0$ strebt: Jeder einseitige Grenzwert ist $\infty$ oder $-\infty$, die Vorzeichen entscheiden; beidseitig gilt das nur, wenn beide Seiten übereinstimmen

Ungerade Potenz

\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty, \quad \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = \infty

Die beiden Seiten gehen in entgegengesetzte Richtungen, also existiert der beidseitige Grenzwert nicht

Gerade Potenz

\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^2} = \infty

Ein Quadrat ist auf beiden Seiten positiv, also gehen beide Seiten gegen $\infty$

Senkrechte Asymptote

x = a \text{ falls } \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ oder } \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ gleich } \pm\infty

Ein uneigentlicher einseitiger Grenzwert genügt

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Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

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Die letzten Verunreinigungen entfernen

Bilder einer Linse

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Test auf uneigentlichen Grenzwert

Ungerade Potenz

Gerade Potenz

Senkrechte Asymptote

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