Dekadischer Logarithmus (Basis 10)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie groß ist $\log 10\,000$ ?
1. a)1000
2. b)10000
3. c)3
4. d)4
Lösung: 4
$10\,000 = 10^4$ , also ist $\log 10\,000 = 4$ . Der Logarithmus zählt die Nullen (Faktoren 10), nicht alle Ziffern.
2.
Wie groß ist $\log 1\,000\,000$ ?
Lösung: 6
$1\,000\,000 = 10^6$ (sechs Nullen), also ist $\log 1\,000\,000 = 6$ .
3.
Wie groß ist $\log 0{,}01$ ?
1. a)-2
2. b)2
3. c)0,01
4. d)-0,01
Lösung: -2
$0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$ , also ist $\log 0{,}01 = -2$ . Zahlen zwischen 0 und 1 haben negative Logarithmen.
4.
Wie groß ist $\log 1$ ?
Lösung: 0
$10^0 = 1$ , also ist $\log 1 = 0$ . Verwechsle das nicht mit $\log 0$ , den es nicht gibt.
5.
Bestimme $\log 0{,}001$ .
Lösung: -3
1. $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}$ . Schreibe $1\,000 = 10^n$ . Wie groß ist $n$ ? 3
2. Also ist $0{,}001 = 10^k$ . Wie groß ist $k$ ? -3
3. Wie groß ist $\log 0{,}001$ ? -3
6.
Bestimme $\log 0{,}1$ und beginne mit $\log 10$ .
Lösung: -1
1. Wie groß ist $\log 10$ ? 1
2. Schreibe $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$ als $10^n$ . Wie groß ist $n$ ? -1
3. Wie groß ist $\log 0{,}1$ ? -1
7.
Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt $\log 50$ ?
1. a)2 und 3
2. b)0 und 1
3. c)5 und 6
4. d)1 und 2
Lösung: 1 und 2
$10 < 50 < 100$ , also $\log 10 < \log 50 < \log 100$ , das heißt $1 < \log 50 < 2$ . Der Taschenrechner liefert $\log 50 \approx 1{,}699$ .
8.
Schätze $\log 700$ zwischen zwei ganzen Zahlen ab und bestimme den Wert dann mit dem Taschenrechner auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: 2.845
1. $700$ liegt zwischen $100$ und $1\,000$ . Wie groß ist $\log 100$ ? 2
2. Wie groß ist $\log 1\,000$ ? 3
3. Tippe log(700) in den Taschenrechner. Wie groß ist $\log 700$ auf 3 Nachkommastellen? 2.845
9.
Benutze den Taschenrechner: Wie groß ist $\log 250$ , auf 2 Nachkommastellen gerundet?
Lösung: 2.40
$\log 250 = 2{,}39794\ldots \approx 2{,}40$ . Der Wert liegt wie erwartet zwischen $\log 100 = 2$ und $\log 1\,000 = 3$ .
10.
Eine positive Zahl $x$ hat $\log x = 3$ . Bestimme $x$ .
Lösung: 1000
1. Schreibe $\log x = 3$ als $b^3 = x$ . Wie groß ist die Basis $b$ ? 10
2. Wie groß ist $x = 10^3$ ? 1000
3. Probe: Wie groß ist $\log 1\,000$ ? 3
11.
Welcher Wert liegt am nächsten an $\log 2\,000$ ?
1. a)0,301
2. b)4,301
3. c)3,301
4. d)2,301
Lösung: 3,301
$1\,000 < 2\,000 < 10\,000$ , also $3 < \log 2\,000 < 4$ . Nur $3{,}301$ liegt in diesem Bereich, und der Taschenrechner bestätigt $\log 2\,000 \approx 3{,}301$ .
12.
Schätze $\log 0{,}05$ zwischen zwei ganzen Zahlen ab und bestimme den Wert dann mit dem Taschenrechner auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: -1.301
1. $0{,}05$ liegt zwischen $0{,}01$ und $0{,}1$ . Wie groß ist $\log 0{,}01$ ? -2
2. Wie groß ist $\log 0{,}1$ ? -1
3. Tippe log(0,05) in den Taschenrechner. Wie groß ist $\log 0{,}05$ auf 3 Nachkommastellen? -1.301
13.
Eine positive Zahl $x$ hat $\log x = -2$ . Wie groß ist $x$ ? Schreibe das Ergebnis als Dezimalzahl.
Lösung: 0.01
$\log x = -2$ bedeutet $x = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ .
14.
Schreibe $62\,000$ in wissenschaftlicher Schreibweise, bestimme den ganzzahligen Teil von $\log 62\,000$ und dann $\log 62\,000$ auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: 4.792
1. $62\,000 = 6{,}2 \cdot 10^n$ . Wie groß ist $n$ ? 4
2. Also gilt $4 \le \log 62\,000 < k$ . Welche ganze Zahl ist $k$ ? 5
3. Tippe log(62000) in den Taschenrechner. Wie groß ist $\log 62\,000$ auf 3 Nachkommastellen? 4.792
15.
Eine ganze Zahl $N$ hat $\log N \approx 5{,}3$ . Wie viele Stellen hat $N$ ?
1. a)5
2. b)53
3. c)3
4. d)6
Lösung: 6
$5 \le 5{,}3 < 6$ , also $10^5 \le N < 10^6$ , das heißt $100\,000 \le N < 1\,000\,000$ . Diese Zahlen haben 6 Stellen ( $N \approx 10^{5{,}3} \approx 199\,526$ ).
16.
Eine positive Zahl $x$ hat $\log x = 2{,}5$ . Bestimme $x$ , auf eine ganze Zahl gerundet.
Lösung: 316
1. $x = 10^{2{,}5}$ liegt zwischen $10^2$ und $10^3$ . Wie groß ist $10^2$ ? 100
2. Wie groß ist $10^3$ ? 1000
3. Tippe 10^2,5 in den Taschenrechner. Wie groß ist $x$ , auf eine ganze Zahl gerundet? 316
17.
Eine ganze Zahl $N$ hat $\log N \approx 7{,}48$ . Wie viele Stellen hat $N$ ?
Lösung: 8
$7 \le 7{,}48 < 8$ , also $10^7 \le N < 10^8$ : $N$ liegt zwischen $10\,000\,000$ und $99\,999\,999$ und hat 8 Stellen. Allgemein ist die Stellenzahl der ganzzahlige Teil des Logarithmus plus 1.
18.
Bestimme mit dekadischen Logarithmen, wie viel Mal größer $100\,000$ ist als $100$ .
Lösung: 1000
1. Wie groß ist $\log 100\,000$ ? 5
2. Wie groß ist $\log 100$ ? 2
3. Um wie viel unterscheiden sich die beiden Logarithmen? 3
4. Ein Unterschied von 3 bedeutet einen Faktor $10^3$ . Wie viel Mal größer ist $100\,000$ ? 1000