Leitfaden für Lehrer: Dekadischer Logarithmus (Basis 10)

Lerne den dekadischen Logarithmus log x zur Basis 10 kennen: exakte Werte für Zehnerpotenzen, Abschätzen zwischen ganzen Zahlen und Rechnen mit dem Taschenrechner.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$\log x$ als Logarithmus zur Basis 10 lesen
$\log(10^n) = n$ für Zehnerpotenzen von $0{,}001$ bis $1\,000\,000$ ohne Taschenrechner bestimmen
Den Logarithmus jeder positiven Zahl zwischen zwei ganzen Zahlen abschätzen
Die Taste LOG des Taschenrechners benutzen und das Ergebnis mit einer Abschätzung prüfen
Den ganzzahligen Teil von $\log x$ mit der wissenschaftlichen Schreibweise und Größenordnungen verbinden

Voraussetzungen

• Einführung in Logarithmen und Definition des Logarithmus: $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Zehnerpotenzen, auch mit negativen Exponenten ( $10^{-2} = 0{,}01$ )
• Wissenschaftliche Schreibweise ( $3\,000 = 3 \cdot 10^3$ )

Diskussionsstarter

1. Warum wurden wohl gerade die Logarithmen zur Basis 10 zuerst in Tafeln gedruckt und in Taschenrechner eingebaut?
2. Wenn $\log x$ um 1 steigt, was passiert dann mit $x$ ? Und wenn er um 2 steigt?
3. $50$ liegt ungefähr in der Mitte zwischen $10$ und $100$ . Warum ist $\log 50$ nicht $1{,}5$ ?
4. Wie könntest du die Anzahl der Stellen einer großen ganzen Zahl aus ihrem Logarithmus erraten?
5. Wo in den Naturwissenschaften oder im Alltag hast du eine Skala gesehen, bei der jeder Schritt das Zehnfache bedeutet?

Häufige Missverständnisse

Der Logarithmus einer Zahl zwischen 10 und 100 wächst gleichmäßig, also ist $\log 50 = 1{,}5$

Abhilfe: Zeige den Zahlenstrahl mit logarithmischer Skala: Gleiche Schritte bedeuten Multiplizieren mit 10. Berechne $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ mit dem Taschenrechner, die Mitte der Skala ist also 31,6 und nicht 55.

Logarithmen von Dezimalzahlen sind nicht definiert, oder $\log 0{,}01 = 2$

Abhilfe: Setze das Muster der Tabelle rückwärts fort: $\log 100 = 2$ , $\log 10 = 1$ , $\log 1 = 0$ , $\log 0{,}1 = ?$ . Jede Division durch 10 zieht 1 ab, also folgen $-1$ und $-2$ .

$\log 0 = 0$

Abhilfe: Stelle $\log 1 = 0$ (weil $10^0 = 1$ ) der Gleichung $10^n = 0$ gegenüber, die keine Lösung hat. Lass die Lernenden log(0) in den Taschenrechner tippen und die Fehlermeldung erklären.

Der Logarithmus ist die Anzahl der Ziffern

Abhilfe: Vergleiche $\log 10 = 1$ (2 Ziffern) und $\log 999 \approx 2{,}9996$ (3 Ziffern). Eine ganze Zahl mit $d$ Stellen hat einen Logarithmus zwischen $d - 1$ und $d$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit einer zweizeiligen Tabelle aus Zehnerpotenzen und ihren Logarithmen beginnen und sie von $10^{-3}$ bis $10^6$ ausfüllen lassen
• Zuerst nur ganzzahlige Logarithmen verwenden, dann eine Abschätzung wie $1 < \log 50 < 2$ hinzunehmen
• Vor dem Aufschreiben des Logarithmus Nullen und Nachkommastellen mit einer Stellenwerttafel zählen lassen

Für Schüler auf Niveau:

• Logarithmen zwischen ganzen Zahlen abschätzen und mit dem Taschenrechner prüfen
• Die Größenordnung von Größen in wissenschaftlicher Schreibweise bestimmen
• Mit $10^{\log x} = x$ vom Logarithmus zur Zahl zurückrechnen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Begründen, warum eine ganze Zahl mit $d$ Stellen einen Logarithmus zwischen $d - 1$ und $d$ hat
• $\log 2$ , $\log 20$ und $\log 200$ mit dem Taschenrechner vergleichen und das Muster beschreiben (erklärt in der Lektion Produktregel für Logarithmen)
• Recherchieren, wie man vor den Taschenrechnern mit Logarithmentafeln große Zahlen multipliziert hat

Standardausrichtung

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Die Lösung einer Exponentialgleichung als Logarithmus zur Basis 2, 10 oder e ausdrücken und den Logarithmus mit Technologie berechnen
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen als Umkehrung verstehen
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Zahlen als einstellige Zahl mal ganzzahlige Zehnerpotenz nutzen, um sehr große oder sehr kleine Größen abzuschätzen

Lektionsressourcen

visualZahlenstrahl mit logarithmischer Skala
Zehnerpotenzen von 0,001 bis 1 000 000 in gleichen Abständen, sodass jeder Schritt den Logarithmus um 1 erhöht
visualSäulendiagramm von log x
Vergleicht die Logarithmen von 0,01, 0,1, 1, 5, 10, 50, 100 und 1000, auch die negativen
activityErst schätzen, dann LOG drücken
Zu zweit schreiben die Lernenden die zwei ganzen Zahlen um einen Logarithmus auf, prüfen mit dem Taschenrechner und bekommen einen Punkt, wenn die Schätzung stimmt
worksheetJagd nach Größenordnungen
Echte Größen finden (Zellgröße, Entfernungen, Einwohnerzahlen) und nach dem ganzzahligen Teil ihres Logarithmus ordnen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Der dekadische Logarithmus (auch Zehnerlogarithmus) ist der Logarithmus zur Basis 10. Er wird so oft gebraucht, dass man die Basis weglässt:

\log x = \log_{10} x

(In manchen Büchern steht dafür auch

\lg x

; wir schreiben immer

\log x

\log x

beantwortet die Frage: **"10 hoch wie viel ergibt

x

?"**

\log x = n \iff 10^n = x

Zehnerpotenzen haben ganzzahlige Logarithmen:

$x$	$0{,}001$	$0{,}01$	$0{,}1$	$1$	$10$	$100$	$1\,000$	$1\,000\,000$
$\log x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$

Also gilt

\log(10^n) = n

für jeden Exponenten

n

Zahlen zwischen zwei Zehnerpotenzen haben einen Logarithmus zwischen zwei ganzen Zahlen. Wegen

10 < 50 < 100

wissen wir

1 < \log 50 < 2

. Der Taschenrechner (Taste LOG) liefert

\log 50 \approx 1{,}699

Das Argument (der Numerus) muss positiv sein:

\log 0

und

\log(-5)

gibt es nicht.

Lösungsbeispiele

Bestimme $\log 100\,000$ und $\log 1$ ohne Taschenrechner.

Stelle die Frage für 100 000

10 hoch wie viel ergibt $100\,000$ ? → $10^n = 100\,000$

Zähle die Nullen

$100\,000$ ist eine 1 mit 5 Nullen, also $100\,000 = 10^5$ → $\log 100\,000 = 5$

Stelle die Frage für 1

Jede Zahl ungleich null hoch 0 ergibt 1: $10^0 = 1$ → $\log 1 = 0$

Antwort: $\log 100\,000 = 5$ und $\log 1 = 0$

Häufige Fehler

Zu denken, $\log 50 = 1{,}5$ , weil 50 ungefähr in der Mitte zwischen 10 und 100 liegt

Warum es falsch ist: Eine logarithmische Skala ist nicht gleichmäßig. Jeder Schritt um 1 im Logarithmus multipliziert die Zahl mit 10, deshalb liegt die Mitte zwischen 10 und 100 bei $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ .

Richtig: $\log 50 \approx 1{,}699$ . Schätze zuerst die zwei ganzen Zahlen ab ( $1 < \log 50 < 2$ ) und benutze dann den Taschenrechner.

$\log 0{,}01 = 2$ schreiben oder sagen, dass es den Logarithmus einer Dezimalzahl nicht gibt

Warum es falsch ist: $0{,}01 = 10^{-2}$ , der Exponent ist also negativ. Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 1 gibt es, sie sind nur negativ.

Richtig: $\log 0{,}01 = -2$ , $\log 0{,}1 = -1$ , $\log 0{,}001 = -3$ .

$\log 0 = 0$ oder $\log(-100) = -2$ schreiben

Warum es falsch ist: $10^n$ ist für jeden Exponenten $n$ positiv. Keine Zehnerpotenz ist 0 oder eine negative Zahl.

Richtig: $\log 0$ und $\log(-100)$ sind nicht definiert, der Taschenrechner zeigt einen Fehler. Merke: $\log 1 = 0$ , nicht $\log 0$ .

Alle Ziffern zählen: $\log 1\,000 = 4$

Warum es falsch ist: $1\,000$ hat 4 Ziffern, aber nur 3 Nullen. Der Logarithmus zählt die Faktoren 10, nicht die Ziffern.

Richtig: $\log 1\,000 = 3$ , weil $10^3 = 1\,000$ . Eine ganze Zahl mit $d$ Stellen hat einen Logarithmus zwischen $d - 1$ und $d$ .

Warum es wichtig ist

Unser Zahlensystem beruht auf der 10. Darum zeigt dir der dekadische Logarithmus auf einen Blick, wie groß eine Zahl ist:

Größenordnungen: Der ganzzahlige Teil von $\log x$ ist der Exponent von $x$ in wissenschaftlicher Schreibweise. $\log(3\,000) \approx 3{,}477$ und $3\,000 = 3 \cdot 10^3$ .
Chemie: Der pH-Wert einer Lösung ist $-\log$ der Konzentration der Wasserstoffionen.
Schall: Dezibel verwenden $10 \log$ eines Intensitätsverhältnisses.
Erdbeben und Sterne: Die Richterskala und die Helligkeitsskalen der Sterne beruhen auf Logarithmen zur Basis 10.
Diagramme in den Naturwissenschaften: Logarithmische Skalen bringen $1$ , $10$ , $100$ und $1\,000\,000$ auf eine gut lesbare Achse.

Wenn du die Logarithmen der Zehnerpotenzen auswendig kennst, kannst du jedes Ergebnis des Taschenrechners in Sekunden überprüfen.

Anwendungen im echten Leben

Größenordnungen

In den Naturwissenschaften vergleicht man riesige und winzige Größen über ihre Größenordnung: den ganzzahligen Teil ihres dekadischen Logarithmus.

Beispiel:

Ein menschliches Haar ist etwa $0{,}0001$ m dick, und $\log 0{,}0001 = -4$ . Die Erde ist etwa $10\,000\,000$ m breit, und $\log 10\,000\,000 = 7$ . Der Unterschied von 11 Größenordnungen bedeutet: Die Erde ist etwa $10^{11}$ -mal breiter.

1Probiere es selbst

Die Weltbevölkerung beträgt etwa $8\,000\,000\,000$ Menschen.

Welche Größenordnung hat sie, also welchen ganzzahligen Teil hat $\log 8\,000\,000\,000$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe den ganzzahligen Teil des Logarithmus:

pH-Wert in der Chemie

Der pH-Wert einer Lösung ist $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen in mol/L ist. Ein kleinerer pH-Wert bedeutet: saurer.

Beispiel:

Reines Wasser hat $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$ , also $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutral).

2Probiere es selbst

Eine Probe Orangensaft hat $[H^+] = 0{,}0001$ mol/L.

Welchen pH-Wert hat sie?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $-\log 0{,}0001$ :

Dezibel und Schall

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, wobei $\dfrac{I}{I_0}$ angibt, wie viel stärker ein Geräusch ist als das leiseste, das wir hören können.

Beispiel:

Flüstern ist etwa $100$ -mal so stark wie die Hörschwelle: $L = 10 \log 100 = 10 \cdot 2 = 20$ dB.

3Probiere es selbst

Ein normales Gespräch ist etwa $1\,000\,000$ -mal so intensiv wie die Hörschwelle.

Wie groß ist sein Schallpegel in Dezibel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $10 \log 1\,000\,000$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Der dekadische Logarithmus hat die Basis 10: $\log x = \log_{10} x$ , und $\log x = n$ bedeutet $10^n = x$
2Zehnerpotenzen haben ganzzahlige Logarithmen: $\log(10^n) = n$ , zum Beispiel $\log 1\,000 = 3$ und $\log 0{,}01 = -2$
3 $\log 1 = 0$ und $\log 10 = 1$ ; Zahlen zwischen 0 und 1 haben negative Logarithmen
4Zum Abschätzen von $\log x$ suchst du die Zehnerpotenzen um $x$ : aus $10 < 50 < 100$ folgt $1 < \log 50 < 2$
5Der ganzzahlige Teil von $\log x$ ist die Größenordnung, der Exponent von $x$ in wissenschaftlicher Schreibweise
6Mit der Taste LOG erhältst du genaue Dezimalwerte ( $\log 50 \approx 1{,}699$ ); $\log 0$ und Logarithmen negativer Zahlen gibt es nicht

Häufig gestellte Fragen

Warum heißt der Logarithmus zur Basis 10 dekadisch?

Dekadisch kommt vom griechischen Wort für zehn. Unser Zahlensystem beruht auf der 10, darum standen jahrhundertelang Logarithmen zur Basis 10 in den Logarithmentafeln, und heute hat jeder wissenschaftliche Taschenrechner die Taste LOG. Weil sie so oft gebraucht werden, lässt man die Basis weg:

\log x

bedeutet

\log_{10} x

Wie findet der Taschenrechner $\log 50$ ?

Er sucht mit einem schnellen Näherungsverfahren den Exponenten

n

mit

10^n = 50

. Du kannst sein Ergebnis prüfen:

10^{1{,}699} \approx 50

. Die Abschätzung

1 < \log 50 < 2

zeigt dir, ob du die richtigen Tasten gedrückt hast.

Warum sind Logarithmen von Dezimalzahlen wie $0{,}01$ negativ?

Zahlen zwischen 0 und 1 erreichst du mit negativen Exponenten:

0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}

. Also ist

\log 0{,}01 = -2

. Nur das Argument muss positiv sein, der Logarithmus selbst kann jede reelle Zahl sein.

Ist $\log$ auf meinem Taschenrechner dasselbe wie $\ln$ ?

Nein. LOG rechnet zur Basis 10, LN zu einer anderen Basis, der Zahl

e \approx 2{,}718

. Zum Beispiel ist

\log 100 = 2

, aber

\ln 100 \approx 4{,}605

. Diese Taste behandelt die Lektion Natürlicher Logarithmus (ln).

Glossar

Dekadischer Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis 10, geschrieben $\log x$ : der Exponent $n$ mit $10^n = x$
Basis: Die Zahl, die potenziert wird; beim dekadischen Logarithmus ist sie 10
Argument (Numerus): Die Zahl, deren Logarithmus du bestimmst, das $x$ in $\log x$ ; sie muss positiv sein
Zehnerpotenz: Eine Zahl der Form $10^n$ , zum Beispiel $1\,000 = 10^3$ oder $0{,}01 = 10^{-2}$
Größenordnung: Der ganzzahlige Teil von $\log x$ , also der Exponent von $x$ in wissenschaftlicher Schreibweise
Wissenschaftliche Schreibweise: Eine Zahl als $a \cdot 10^n$ mit $1 \le a < 10$ schreiben, zum Beispiel $3\,000 = 3 \cdot 10^3$

Formelkarte

Dekadischer Logarithmus

\log x = n \iff 10^n = x

Die Basis 10 wird nicht geschrieben

Logarithmus einer Zehnerpotenz

\log(10^n) = n

Zum Beispiel $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Besondere Werte

\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Weil $10^0 = 1$ und $10^1 = 10$

Abschätzen

10^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

Die Zehnerpotenzen um $x$ liefern den ganzzahligen Teil

Zurück zur Zahl

10^{\log x} = x

Zum Beispiel $10^{1{,}699} \approx 50$

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Leitfaden für Lehrer: Dekadischer Logarithmus (Basis 10)

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Größenordnungen

pH-Wert in der Chemie

Dezibel und Schall

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Dekadischer Logarithmus

Logarithmus einer Zehnerpotenz

Besondere Werte

Abschätzen

Zurück zur Zahl

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Definition des Logarithmus

Natürlicher Logarithmus (ln)

Graphen von Logarithmusfunktionen