Graphen von Logarithmusfunktionen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist die Definitionsmenge von $y = \log_3 x$ ?
1. a) $x > 3$
2. b) $x \geq 0$
3. c) $x > 0$
4. d) $x < 0$
Lösung: $x > 0$
$3^y$ ist immer positiv, also muss $x = 3^y$ positiv sein. Die Definitionsmenge ist $x > 0$ ; $x = 0$ gehört nicht dazu, weil $\log_3 0$ nicht existiert.
2.
Der Punkt $(8, y)$ liegt auf dem Graphen von $y = \log_2 x$ . Wie groß ist $y$ ?
Lösung: 3
$2^3 = 8$ , also $\log_2 8 = 3$ , und der Punkt ist $(8, 3)$ .
3.
Vervollständige die Wertetabelle von $y = \log_3 x$ für $x = \frac{1}{3}, 1, 3, 9$ .
Lösung: -1, 0, 1, 2
1. Wie groß ist $y$ bei $x = \frac{1}{3}$ ? -1
2. Wie groß ist $y$ bei $x = 1$ ? 0
3. Wie groß ist $y$ bei $x = 3$ ? 1
4. Wie groß ist $y$ bei $x = 9$ ? 2
4.
Welche senkrechte Asymptote hat $y = \log_2(x + 4)$ ?
1. a) $x = -4$
2. b) $x = 4$
3. c) $y = 0$
4. d) $y = -4$
Lösung: $x = -4$
Das Argument $x + 4$ ist bei $x = -4$ gleich $0$ . Der Graph von $y = \log_2 x$ wird um 4 Einheiten nach links verschoben, also ist die Asymptote $x = -4$ .
5.
Bei welchem $x$ schneidet der Graph von $y = \log_5 x$ die $x$ -Achse?
Lösung: 1
$\log_5 x = 0$ bedeutet $x = 5^0 = 1$ . Jeder Graph $y = \log_b x$ schneidet die $x$ -Achse in $(1, 0)$ .
6.
Der Punkt $(2, 9)$ liegt auf $y = 3^x$ . Bestimme den passenden Punkt auf $y = \log_3 x$ .
Lösung: (9, 2)
1. Welche x-Koordinate hat der gespiegelte Punkt? 9
2. Welche y-Koordinate hat der gespiegelte Punkt? 2
3. Probe: Was ist $\log_3 9$ ? 2
7.
Welche Funktion hat einen fallenden Graphen?
1. a) $y = \ln x$
2. b) $y = \log_5 x$
3. c) $y = \log_{10} x$
4. d) $y = \log_{1/3} x$
Lösung: $y = \log_{1/3} x$
$\log_{1/3} x$ hat die Basis $\frac{1}{3}$ , die zwischen 0 und 1 liegt, also ist der Graph fallend. Die Basen $5$ , $10$ und $e$ sind größer als 1, diese Graphen sind steigend.
8.
Der Graph von $y = \log_3(x - 7) + 2$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
Lösung: 7
Das Argument $x - 7$ ist bei $x = 7$ gleich $0$ , also ist die Asymptote $x = 7$ . Das $+2$ verschiebt den Graphen nur nach oben und ändert die Asymptote nicht.
9.
Zeichne $y = \log_2(x - 5)$ : Bestimme die Asymptote und zwei markante Punkte.
Lösung: $x = 5$ ; $(6, 0)$ , $(7, 1)$
1. Die Asymptote ist $x = ?$ 5
2. Für welches $x$ ist $y = 0$ ? 6
3. Für welches $x$ ist $y = 1$ ? 7
10.
Um wie viel ändert sich $y$ auf dem Graphen von $y = \log_{1/2} x$ , wenn $x$ von $\frac{1}{2}$ bis $4$ läuft?
Lösung: -3
1. Was ist $\log_{1/2} \frac{1}{2}$ ? 1
2. Was ist $\log_{1/2} 4$ ? -2
3. Wie groß ist die Änderung von $y$ (Ende minus Anfang)? -3
11.
Der Graph von $y = \log_4 x$ ist das Spiegelbild welches Graphen an der Geraden $y = x$ ?
1. a) $y = 4x$
2. b) $y = 4^x$
3. c) $y = x^4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$
Lösung: $y = 4^x$
$y = \log_4 x$ bedeutet $4^y = x$ , also ist es die Umkehrfunktion von $y = 4^x$ . Umkehrfunktionen sind Spiegelbilder voneinander an $y = x$ .
12.
Wie groß ist $y$ auf dem Graphen von $y = \log_2(x + 1) - 3$ bei $x = 7$ ?
Lösung: 0
$y = \log_2 8 - 3 = 3 - 3 = 0$ . Also ist $(7, 0)$ der Schnittpunkt dieses Graphen mit der $x$ -Achse.
13.
Der Graph von $y = \log_2 x$ wird zu $y = \log_2(x + 3) - 4$ verschoben. Wohin wandern die markanten Punkte $(1, 0)$ und $(2, 1)$ ?
Lösung: $(-2, -4)$ , $(-1, -3)$
1. Neue x-Koordinate von $(1, 0)$ ? -2
2. Neue y-Koordinate von $(1, 0)$ ? -4
3. Neue x-Koordinate von $(2, 1)$ ? -1
4. Neue y-Koordinate von $(2, 1)$ ? -3
14.
Welche Funktion hat die senkrechte Asymptote $x = 2$ und geht durch $(3, -1)$ ?
1. a) $y = \log_2(x - 2) + 1$
2. b) $y = \log_2(x - 2) - 1$
3. c) $y = \log_2(x + 2) - 1$
4. d) $y = \log_2(x - 1) - 1$
Lösung: $y = \log_2(x - 2) - 1$
Die Asymptote $x = 2$ verlangt das Argument $x - 2$ , es bleiben $\log_2(x - 2) - 1$ und $\log_2(x - 2) + 1$ . Bei $x = 3$ : $\log_2 1 - 1 = -1$ , aber $\log_2 1 + 1 = 1$ . Die Lösung ist $y = \log_2(x - 2) - 1$ .
15.
Bestimme den Schnittpunkt von $y = \log_3(x - 1) - 2$ mit der $x$ -Achse. Gib den Wert von $x$ ein.
Lösung: 10
$\log_3(x - 1) = 2$ bedeutet $x - 1 = 3^2 = 9$ , also $x = 10$ . Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse ist $(10, 0)$ .
16.
Zeichne $y = -\log_3(x + 2)$ : Bestimme die Asymptote, den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse und zwei weitere Punkte.
Lösung: $x = -2$ ; $(-1, 0)$ , $(7, -2)$ , $\left(-\frac{5}{3}, 1\right)$
1. Die Asymptote ist $x = ?$ -2
2. Bei welchem $x$ ist $y = 0$ ? -1
3. Wie groß ist $y$ bei $x = 7$ ? -2
4. Wie groß ist $y$ bei $x = -\frac{5}{3}$ ? 1
17.
Ein Graph $y = \log_b(x - h) + k$ hat die Asymptote $x = 1$ und geht durch $(2, 3)$ und $(6, 4)$ . Bestimme $h$ , $k$ und $b$ .
Lösung: $y = \log_5(x - 1) + 3$
1. Wie groß ist $h$ ? 1
2. Wie groß ist $k$ ? 3
3. Wie groß ist $b$ ? 5
18.
Untersuche $y = \log_2(6 - 2x)$ : Bestimme die Asymptote, einen Punkt und den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.
Lösung: $x = 3$ ; $(1, 2)$ , $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$
1. Löse $6 - 2x = 0$ . Die Asymptote ist $x = ?$ 3
2. Wie groß ist $y$ bei $x = 1$ ? 2
3. Bei welchem $x$ ist $y = 0$ ? (Gib eine Dezimalzahl ein.) 2.5