Leitfaden für Lehrer: Graphen von Logarithmusfunktionen

Lerne, Logarithmusfunktionen zu zeichnen: markante Punkte, Definitionsmenge, Wertemenge, senkrechte Asymptote, Spiegelbild der Exponentialfunktion und Verschiebungen.

Lektion präsentierenSchülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$y = \log_b x$ für $b > 1$ und $0 < b < 1$ mithilfe der markanten Punkte zeichnen
Definitionsmenge, Wertemenge, senkrechte Asymptote und Achsenschnittpunkte einer Logarithmusfunktion angeben
Den Graphen von $y = \log_b x$ als Spiegelbild von $y = b^x$ an $y = x$ erklären
Verschiebungen und Spiegelungen von $y = \log_b x$ zeichnen, zum Beispiel $y = -\log_3(x + 2)$
Die Gleichung $y = \log_b(x - h) + k$ aus einer Asymptote und zwei Punkten bestimmen

Voraussetzungen

• Definition des Logarithmus: $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Graphen von Exponentialfunktionen $y = b^x$
• Verschieben und Spiegeln von Funktionsgraphen
• Dekadischer Logarithmus (Basis 10) und Natürlicher Logarithmus (ln)

Diskussionsstarter

1. Warum kann der Graph von $y = \log_2 x$ die $y$ -Achse nie erreichen, obwohl er ihr sehr nahe kommt?
2. Für große x wirkt die Kurve fast flach. Hört sie jemals auf zu steigen? Wie könntest du einen Freund davon überzeugen?
3. Was passiert mit den Punkten $(1, 0)$ und $(b, 1)$ , wenn du $h$ und $k$ änderst?
4. Warum wird bei der Spiegelung an $y = x$ aus einer waagerechten Asymptote eine senkrechte?

Häufige Missverständnisse

$y = \log_b(x - h)$ verschiebt den Graphen nach links, wenn $h$ positiv ist

Abhilfe: Lass die Lernenden $x - h = 1$ lösen, um zu sehen, wo der Graph $y = 0$ erreicht: Für $h = 3$ ist das $x = 4$ , drei Einheiten rechts von $(1, 0)$ .

Der Logarithmusgraph hat eine waagerechte Asymptote, weil er flach aussieht

Abhilfe: Erstelle eine Wertetabelle mit $x = 2, 4, 8, \dots, 1024$ für $y = \log_2 x$ : Die y-Werte $1, 2, 3, \dots, 10$ wachsen jedes Mal um $1$ weiter.

Eine Basis zwischen 0 und 1 ergibt keinen Logarithmus oder ist nicht definiert

Abhilfe: Berechne mit der Definition $\log_{1/2} 4 = -2$ und $\log_{1/2} \frac{1}{2} = 1$ und trage die Punkte ein: Die Kurve ist ein fallendes Spiegelbild von $y = \log_2 x$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit $y = \log_2 x$ und einer Tabelle aus Zweierpotenzen beginnen
• Die drei markanten Punkte $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(b, 1)$ als feste Routine für jeden Graphen nutzen
• Immer nur eine Eigenschaft verschieben: zuerst $k$ , dann $h$

Für Schüler auf Niveau:

• Funktionen wie $y = \log_3(x + 2) - 1$ zeichnen und Definitionsmenge und Asymptote angeben
• $y = \log_2 x$ und $y = \log_{1/2} x$ im Funktionsplotter vergleichen
• Die Gleichung eines Logarithmusgraphen aus Asymptote und zwei Punkten bestimmen

Für fortgeschrittene Schüler:

• $y = \log_2(6 - 2x)$ zeichnen und erklären, warum die Definitionsmenge $x < 3$ ist
• $y = a \log_b x$ für verschiedene $a$ untersuchen und mit einem Wechsel der Basis vergleichen
• Beweisen, dass $y = \log_{1/b} x$ das Spiegelbild von $y = \log_b x$ an der $x$ -Achse ist

Standardausrichtung

HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Exponential- und Logarithmusfunktionen zeichnen und dabei Achsenschnittpunkte und Verhalten im Unendlichen zeigen
HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Die Wirkung auf den Graphen erkennen, wenn f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) ersetzt wird
HSF.BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Die Umkehrbeziehung zwischen Potenzen und Logarithmen verstehen

Lektionsressourcen

visualLogarithmus-Explorer
Schieberegler für $b$ , $h$ und $k$ bewegen Kurve, Asymptote und die beiden markanten Punkte live
activityFalten an y = x
Die Lernenden zeichnen $y = 2^x$ auf Transparentpapier, falten entlang $y = x$ und pausen den Logarithmusgraphen durch
worksheetAsymptote, Definitionsmenge, Punkte
Zehn verschobene Logarithmusfunktionen: Asymptote, Definitionsmenge und zwei markante Punkte bestimmen, dann skizzieren

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Logarithmusfunktion hat die Form

f(x) = \log_b x

mit der Basis

b > 0

und

b \neq 1

. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

y = b^x

y = \log_b x

bedeutet

b^y = x

Markante Punkte (sie folgen direkt aus der Definition):

$\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , weil $b^{-1} = \frac{1}{b}$
$(1, 0)$ , weil $b^0 = 1$
$(b, 1)$ , weil $b^1 = b$

**Eigenschaften des Graphen von

y = \log_b x

:**

Definitionsmenge: $x > 0$ (man kann nur von einer positiven Zahl den Logarithmus bilden)
Wertemenge: alle reellen Zahlen
Senkrechte Asymptote: die Gerade $x = 0$ (die $y$ -Achse); der Graph kommt ihr immer näher, berührt sie aber nie
Nullstelle: $(1, 0)$ ; es gibt keinen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse
Für $b > 1$ ist der Graph steigend, für $0 < b < 1$ ist er fallend

Der Graph von

y = \log_b x

ist das Spiegelbild des Graphen von

y = b^x

an der Geraden

y = x

: Jeder Punkt

(p, q)

von

y = b^x

wird zum Punkt

(q, p)

Transformationen:

y = \log_b(x - h) + k

verschiebt den Graphen um $h$ Einheiten nach rechts (nach links, wenn $h < 0$ ) und um $k$ Einheiten nach oben (nach unten, wenn $k < 0$ )
senkrechte Asymptote $x = h$ , Definitionsmenge $x > h$ , markante Punkte $(1 + h, k)$ und $(b + h, 1 + k)$
$y = -\log_b x$ spiegelt den Graphen an der $x$ -Achse; $y = \log_b(-x)$ spiegelt ihn an der $y$ -Achse (Definitionsmenge $x < 0$ )

Bewege im interaktiven Graphen die Schieberegler

b

h

und

k

und beobachte, wie sich die Asymptote und die beiden markanten Punkte verschieben.

Lösungsbeispiele

Zeichne $y = \log_2 x$ und gib Definitionsmenge, Wertemenge und Asymptote an.

Wähle x-Werte, die Zweierpotenzen sind

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ , weil $\log_2$ einer Zweierpotenz leicht zu bestimmen ist → Sechs bequeme x-Werte

Berechne jeden y-Wert

$\log_2 \frac{1}{4} = -2$ , $\log_2 \frac{1}{2} = -1$ , $\log_2 1 = 0$ , $\log_2 2 = 1$ , $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$ → $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Trage die Punkte ein und zeichne die Asymptote

Trage $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$ , $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ , $(8, 3)$ ein und zeichne die gestrichelte Gerade $x = 0$ → Punkte und Asymptote $x = 0$

Verbinde sie mit einer glatten Kurve

Die Kurve fällt nahe der $y$ -Achse steil ab, ohne sie zu berühren, und steigt nach rechts langsam an → Steigende Kurve durch $(1, 0)$

Antwort: Definitionsmenge $x > 0$ , Wertemenge alle reellen Zahlen, senkrechte Asymptote $x = 0$ , Nullstelle $(1, 0)$ .

Häufige Fehler

$y = \log_2(x - 3)$ um drei Einheiten nach links verschieben

Warum es falsch ist: Das Minuszeichen sieht nach einer Verschiebung nach links aus, aber das Argument $x - 3$ muss positiv sein, also $x > 3$ : Der ganze Graph liegt rechts von $x = 3$ .

Richtig: $y = \log_b(x - h)$ verschiebt den Graphen um $h$ Einheiten nach rechts. $y = \log_2(x - 3)$ hat die Asymptote $x = 3$ .

Den Graphen die $y$ -Achse berühren oder schneiden lassen

Warum es falsch ist: $\log_b 0$ und der Logarithmus einer negativen Zahl existieren nicht, weil $b^y$ immer positiv ist.

Richtig: Der Graph von $y = \log_b x$ kommt $x = 0$ immer näher, erreicht die Gerade aber nie. Die Definitionsmenge ist $x > 0$ .

Glauben, dass der Graph irgendwann auf einer festen Höhe bleibt

Warum es falsch ist: Die Kurve steigt langsam und wirkt deshalb flach, hört aber nie auf zu steigen: $\log_2 1024 = 10$ und $\log_2 1048576 = 20$ .

Richtig: Ein Logarithmusgraph hat keine waagerechte Asymptote. Die Wertemenge sind alle reellen Zahlen.

Nach einer waagerechten Verschiebung die Definitionsmenge $x > 0$ beibehalten

Warum es falsch ist: Die Definitionsmenge ergibt sich aus dem Argument, nicht aus $x$ allein.

Richtig: Bei $y = \log_3(x + 5)$ muss das Argument $x + 5$ positiv sein, also ist die Definitionsmenge $x > -5$ .

Warum es wichtig ist

Graphen von Logarithmusfunktionen zeigen, wie eine Größe wächst, wenn jeder neue Schritt ein Vielfaches an Eingabe braucht:

Schall: Ein Schallpegelmesser zeigt $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ Dezibel; verzehnfacht sich die Intensität, kommen nur $10$ dB dazu, deshalb ist die Kurve so flach.
Chemie: $\text{pH} = -\log[H^+]$ ist ein gespiegelter Logarithmusgraph: Mehr Wasserstoffionen ergeben einen kleineren pH-Wert.
Informatik: Die binäre Suche braucht für $n$ Einträge etwa $\log_2 n$ Schritte; verdoppelt man die Liste, kommt nur ein Schritt dazu.
Erdbeben: Der Wert auf der Richterskala steigt um $1$ , wenn sich die Amplitude verzehnfacht.

Wer solche Graphen lesen will, muss drei Dinge auf einen Blick erkennen: wo die Asymptote liegt, welche Werte erlaubt sind (Definitionsmenge) und wie schnell die Kurve steigt. Diese Lektion baut auf „Definition des Logarithmus“ auf und bereitet dich auf „Logarithmusgleichungen lösen“ vor.

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel

Ein Schallpegelmesser zeigt $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ Dezibel an, wobei $\frac{I}{I_0}$ angibt, wie viel Mal stärker der Schall ist als der leiseste hörbare Schall. Der Graph ist eine gestreckte Logarithmuskurve: bei großen Intensitäten sehr flach.

Beispiel:

Ein Schall, der $100$ -mal stärker ist als $I_0$ , ergibt $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Ein nochmals $10$ -mal stärkerer Schall ergibt nur $30$ dB.

1Probiere es selbst

In einer ruhigen Bibliothek ist der Schall $1000$ -mal stärker als der leiseste hörbare Schall, also $\frac{I}{I_0} = 1000$ .

Wie groß ist der Schallpegel $L$ in Dezibel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $L = 10 \log(1000)$ :

Binäre Suche in der Informatik

Die binäre Suche findet einen Namen in einer sortierten Liste, indem sie die Liste immer wieder halbiert. Bei $n$ Namen braucht sie etwa $\log_2 n$ Halbierungen, also ist der Graph der Schrittzahl der Graph von $y = \log_2 x$.

Beispiel:

Eine Liste mit $8$ Namen braucht $\log_2 8 = 3$ Halbierungen: $8 \to 4 \to 2 \to 1$ .

2Probiere es selbst

Eine sortierte Kontaktliste hat $1024$ Namen. Jeder Schritt der binären Suche halbiert die Liste.

Wie viele Halbierungen braucht man, bis nur noch ein Name übrig ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\log_2(1024)$ :

Der pH-Wert in der Chemie

Den Säuregrad misst man mit $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen ist. Das Minuszeichen spiegelt den Logarithmusgraphen an der $x$-Achse, deshalb sinkt der pH-Wert, wenn die Konzentration steigt.

Beispiel:

Zitronensaft hat $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$ , also $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$ .

3Probiere es selbst

Eine Regenwasserprobe hat $[H^+] = 0{,}0001$ .

Welchen pH-Wert hat sie?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\text{pH} = -\log(0{,}0001)$ :

Wichtige Erkenntnisse

1 $y = \log_b x$ ist die Umkehrfunktion von $y = b^x$ : Ihr Graph ist das Spiegelbild von $y = b^x$ an der Geraden $y = x$
2Markante Punkte von $y = \log_b x$ : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ und $(b, 1)$
3Definitionsmenge $x > 0$ , Wertemenge alle reellen Zahlen, senkrechte Asymptote $x = 0$ , kein Schnittpunkt mit der $y$ -Achse
4Für $b > 1$ ist der Graph steigend, für $0 < b < 1$ fallend
5 $y = \log_b(x - h) + k$ verschiebt den Graphen um $h$ nach rechts und $k$ nach oben: Asymptote $x = h$ , Definitionsmenge $x > h$
6Ein Minuszeichen vor dem Logarithmus spiegelt den Graphen an der $x$ -Achse; $\log_b(-x)$ spiegelt ihn an der $y$ -Achse

Häufig gestellte Fragen

Warum berührt der Graph nie die $y$ -Achse?

Auf der

y

-Achse gilt

x = 0

, und

\log_b 0

würde

b^y = 0

verlangen. Eine positive Basis hoch irgendeine Zahl ist immer positiv, also passt kein

y

. Nahe

x = 0

werden die Werte (für

b > 1

) sehr große negative Zahlen, deshalb taucht die Kurve entlang der Asymptote nach unten ab.

Hat der Logarithmusgraph wie der Exponentialgraph eine waagerechte Asymptote?

Nein. Der Exponentialgraph hat die waagerechte Asymptote

y = 0

; nach der Spiegelung an

y = x

wird daraus die senkrechte Asymptote

x = 0

. Der Logarithmusgraph steigt (für

b > 1

) immer weiter, nur sehr langsam.

Wie sehen die Graphen von $\log x$ und $\ln x$ aus?

Beide haben eine Basis größer als 1 (

10

und

e \approx 2{,}718

), also sind beide steigend, gehen durch

(1, 0)

und haben die Asymptote

x = 0

\ln x

geht durch

(e, 1)

und

\log x

durch

(10, 1)

, deshalb steigt

\ln x

schneller.

Wie erkenne ich, ob ein Logarithmusgraph steigt oder fällt?

Schau auf die Basis. Ist

b > 1

, steigt der Graph; ist

0 < b < 1

, fällt er. Auch ein Minuszeichen davor, wie bei

y = -\log_2 x

, macht aus einem steigenden einen fallenden Graphen.

Glossar

Logarithmusfunktion: Eine Funktion $f(x) = \log_b x$ mit $b > 0$ , $b \neq 1$ ; sie liefert den Exponenten, mit dem man $b$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten
Senkrechte Asymptote: Eine senkrechte Gerade $x = h$ , der sich der Graph immer weiter nähert, ohne sie zu berühren; bei $y = \log_b x$ ist es $x = 0$
Definitionsmenge: Alle x-Werte, für die die Funktion definiert ist; bei $y = \log_b(x - h)$ ist es $x > h$
Wertemenge: Alle y-Werte, die die Funktion annimmt; bei jeder Logarithmusfunktion sind es alle reellen Zahlen
Umkehrfunktion: Eine Funktion, die eine andere rückgängig macht; ihr Graph ist das Spiegelbild an $y = x$ , so wie $y = \log_b x$ für $y = b^x$
Markante Punkte: Bequem einzutragende Punkte: $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ und $(b, 1)$ bei $y = \log_b x$

Formelkarte

Grundfunktion

y = \log_b x \iff b^y = x

Basis $b > 0$, $b \neq 1$; Definitionsmenge $x > 0$, Wertemenge alle reellen Zahlen

Markante Punkte

\left(\tfrac{1}{b}, -1\right),\ (1, 0),\ (b, 1)

Trage diese drei Punkte zuerst ein

Verschobene Funktion

y = \log_b(x - h) + k

Asymptote $x = h$, Definitionsmenge $x > h$, markante Punkte $(1 + h, k)$ und $(b + h, 1 + k)$

Spiegelungen

y = -\log_b x,\quad y = \log_b(-x)

An der $x$-Achse und an der $y$-Achse (Definitionsmenge $x < 0$)

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

(p, q) \text{ auf } y = b^x \iff (q, p) \text{ auf } y = \log_b x

Spiegelung an der Geraden $y = x$

Mehr zu diesem Thema

Leitfaden für Lehrer: Graphen von Logarithmusfunktionen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel

Binäre Suche in der Informatik

Der pH-Wert in der Chemie

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Grundfunktion

Markante Punkte

Verschobene Funktion

Spiegelungen

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Logarithmen

Definition des Logarithmus

Dekadischer Logarithmus (Basis 10)

Natürlicher Logarithmus (ln)