Eigenschaften von Logarithmen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie groß ist $\log_6 1$ ?
1. a)nicht definiert
2. b)0
3. c)6
4. d)1
Lösung: 0
$6^0 = 1$ , also ist $\log_6 1 = 0$ . Der Logarithmus von $1$ ist für jede erlaubte Basis $0$ .
2.
Berechne $\log_8 8$ .
Lösung: 1
$8^1 = 8$ , also ist $\log_8 8 = 1$ . Der Logarithmus der Basis ist immer $1$ .
3.
Berechne $\log_5 1 + \log_5 5 + \log_5 25$ .
Lösung: 3
1. Wie groß ist $\log_5 1$ ? 0
2. Wie groß ist $\log_5 5$ ? 1
3. Schreibe $25$ als Potenz von $5$ . Wie groß ist $\log_5 25$ ? 2
4. Addiere die drei Werte. 3
4.
Vereinfache $\log_3(3^7)$ .
Lösung: 7
Die Basis des Logarithmus und die Basis der Potenz sind beide $3$ , also heben sie sich auf und der Exponent bleibt: $\log_3(3^7) = 7$ .
5.
Vereinfache $5^{\log_5 9}$ .
1. a)9
2. b)45
3. c)5
4. d) $\log_5 9$
Lösung: 9
$\log_5 9$ ist der Exponent, der $5$ zu $9$ macht. $5$ hoch diesen Exponenten ergibt $9$ .
6.
Berechne $\log 10000$ (dekadischer Logarithmus, Basis 10).
Lösung: 4
1. Schreibe $10000$ als Potenz von $10$ : $10000 = 10^{?}$ 4
2. Nutze $\log(10^x) = x$ : Wie groß ist $\log 10000$ ? 4
7.
Berechne $\log_2 32$ .
Lösung: 5
$32 = 2^5$ , also $\log_2 32 = \log_2(2^5) = 5$ .
8.
Welcher dieser Logarithmen ist nicht definiert?
1. a) $\log_5 5$
2. b) $\log_3(-9)$
3. c) $\log_4 \frac{1}{4}$
4. d) $\log_2 1$
Lösung: $\log_3(-9)$
Das Argument $-9$ ist negativ, und keine Potenz von $3$ ist negativ, also ist $\log_3(-9)$ nicht definiert. Die anderen sind $0$ , $-1$ und $1$ .
9.
Für welche $x$ ist $\log_3(x - 4)$ definiert? Bestimme die kleinste ganze Zahl $x$ , die erlaubt ist.
Lösung: 5
1. Das Argument $x - 4$ muss größer als welche Zahl sein? 0
2. Löse $x - 4 > 0$ : $x$ muss größer als welche Zahl sein? 4
3. Was ist die kleinste ganze Zahl $x$ , die erlaubt ist? 5
10.
Berechne $\log_5 \frac{1}{25}$ .
Lösung: -2
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , also $\log_5 \frac{1}{25} = \log_5(5^{-2}) = -2$ . Das Argument ist positiv, der Wert negativ.
11.
Vereinfache $2^{\log_2 5} \cdot 3^{\log_3 4}$ .
Lösung: 20
1. Wie groß ist $2^{\log_2 5}$ ? 5
2. Wie groß ist $3^{\log_3 4}$ ? 4
3. Multipliziere die beiden Ergebnisse. 20
12.
Wenn $\log_4 M = \log_4 20$ gilt, wie groß ist $M$ ?
1. a)4
2. b)5
3. c)20
4. d)80
Lösung: 20
Bei gleicher Basis bedeuten gleiche Logarithmen gleiche Argumente, also $M = 20$ .
13.
Löse $\log_3(x + 4) = \log_3 10$ .
Lösung: 6
1. Setze die Argumente gleich: $x + 4 = ?$ 10
2. Löse nach $x$ auf. 6
3. Probe: Wie groß ist das Argument $x + 4$ für dieses $x$ ? 10
14.
Berechne $\log_3 \frac{1}{9} + 6^{\log_6 11}$ .
Lösung: 9
1. Schreibe $\frac{1}{9}$ als Potenz von $3$ : $\frac{1}{9} = 3^{?}$ . Wie groß ist also $\log_3 \frac{1}{9}$ ? -2
2. Wie groß ist $6^{\log_6 11}$ ? 11
3. Addiere die beiden Werte. 9
15.
Welche Aussage gilt für jede erlaubte Basis $b$ ?
1. a) $\log_b 0 = 0$
2. b) $\log_b(b^x) = x$ für jedes reelle $x$
3. c) $\log_b 1 = 1$
4. d) $b^{\log_b x} = x$ für jedes reelle $x$
Lösung: $\log_b(b^x) = x$ für jedes reelle $x$
$\log_b(b^x) = x$ gilt für jedes reelle $x$ , weil $b^x$ immer positiv ist. $\log_b 1 = 0$ , nicht $1$ ; $b^{\log_b x} = x$ braucht $x > 0$ ; und $\log_b 0$ ist nicht definiert.
16.
Berechne $\log_2(8^4)$ . Schreibe zuerst $8$ als Potenz von $2$ .
Lösung: 12
$8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$ , also $\log_2(8^4) = \log_2(2^{12}) = 12$ .
17.
Löse $\log_5(x^2 - 6) = \log_5 x$ .
Lösung: 3
1. Gleichsetzen der Argumente ergibt $x^2 - x - 6 = 0$ . Wie lautet die positive Lösung? 3
2. Wie lautet die negative Lösung? -2
3. Wie viele der beiden Kandidaten machen beide Argumente positiv? 1
4. Wie lautet die Lösung der Gleichung? 3
18.
Berechne $\log_4 8$ , indem du $8$ als Potenz von $4$ schreibst.
Lösung: 3/2
1. Schreibe $2$ als Potenz von $4$ : $2 = 4^{?}$ (als Bruch, zum Beispiel 1/3) 1/2
2. Jetzt ist $8 = 2^3 = 4^{?}$ (als Bruch) 3/2
3. Nutze $\log_b(b^x) = x$ : Wie groß ist $\log_4 8$ ? 3/2