Leitfaden für Lehrer: Eigenschaften von Logarithmen

Lerne die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen: den Logarithmus von 1, den Logarithmus der Basis, die beiden Umkehreigenschaften und die Eindeutigkeit des Logarithmus.

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10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$\log_b 1$ und $\log_b b$ für jede erlaubte Basis berechnen
Die Umkehreigenschaften $\log_b(b^x) = x$ und $b^{\log_b x} = x$ zum Vereinfachen von Termen nutzen
Gleichungen der Form $\log_b M = \log_b N$ mit der Eindeutigkeit lösen
Nicht definierte Logarithmen erkennen und Kandidaten verwerfen, die ein Argument null oder negativ machen
Produkt-, Quotienten- und Potenzregel benennen und mit den Grundeigenschaften verbinden

Voraussetzungen

• Definition des Logarithmus: Umwandeln zwischen $\log_b x = y$ und $b^y = x$
• Potenzgesetze, einschließlich $b^0 = 1$ und negativer Exponenten
• Lineare Gleichungen und einfache quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Diskussionsstarter

1. Jeder Graph $y = \log_b x$ geht durch den Punkt $(1, 0)$ . Welche Eigenschaft erklärt das?
2. Warum müssen die Basen übereinstimmen, bevor sich $b^{\log_b x}$ zu $x$ vereinfacht? Probiere $2^{\log_4 16}$ .
3. Zwei verschiedene positive Zahlen haben in derselben Basis nie denselben Logarithmus. Wie zeigt das der Graph?
4. Kann ein Logarithmus einen negativen Wert haben? Kann er ein negatives Argument haben? Was ist der Unterschied?

Häufige Missverständnisse

$\log_b 1 = 1$ , weil 'der Logarithmus von eins eins ist'

Abhilfe: Geh zurück zur Frage, die der Logarithmus stellt: Welche Potenz von $b$ ergibt $1$ ? Lass die Schüler $2^1$ und $2^0$ testen und sehen, dass nur der Exponent $0$ passt.

Logarithmus und Potenz heben sich immer auf, egal welche Basen

Abhilfe: Vergleiche $3^{\log_3 9} = 9$ mit $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ . Lass die Schüler beide Basen einkreisen, bevor sie etwas kürzen.

Jede Lösung von $M = N$ ist auch eine Lösung von $\log_b M = \log_b N$

Abhilfe: Löst gemeinsam $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$ und testet $x = -1$ in der ursprünglichen Gleichung. Macht die Prüfung der Definitionsmenge zum festen letzten Schritt.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Nur mit den Basen $10$ und $2$ beginnen und eine Potenztabelle ( $2^1$ bis $2^{10}$ ) auf dem Tisch bereitlegen
• Jede Eigenschaft einzeln üben, bevor sie gemischt werden
• Jeden Logarithmus laut als Frage lesen: Welche Potenz von $b$ ergibt $x$ ?

Für Schüler auf Niveau:

• Alle fünf Eigenschaften in einer Aufgabenserie zum Berechnen mischen
• Gleichungen mit linearen Argumenten über die Eindeutigkeit lösen und die Argumente prüfen
• Mit dem Graphen erklären, warum $\log_b 1 = 0$ und $\log_b b = 1$ für jede Basis gelten

Für fortgeschrittene Schüler:

• Gleichungen lösen, die auf quadratische Gleichungen führen, und Kandidaten außerhalb der Definitionsmenge verwerfen
• $b^{\log_b x} = x$ und $\log_b(b^x) = x$ aus der Definition des Logarithmus beweisen
• Einen Ausblick geben, wie die Produktregel aus $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ folgt

Standardausrichtung

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen als Umkehrung verstehen und damit Aufgaben mit Logarithmen und Exponenten lösen
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Die Lösung eines exponentiellen Modells als Logarithmus ausdrücken und den Logarithmus berechnen

Lektionsressourcen

visualLogarithmus-Graph mit Basis-Schieberegler
Die Schüler ändern die Basis $b$ und sehen, dass jede Kurve $y = \log_b x$ durch $(1, 0)$ und $(b, 1)$ geht
activityEigenschaften sortieren
Karten mit Termen wie $\log_6 1$ , $5^{\log_5 8}$ und $\log_2(2^9)$ werden nach der verwendeten Eigenschaft sortiert und dann berechnet
worksheetDefiniert oder nicht definiert?
Die Schüler entscheiden, welche Logarithmen existieren, und prüfen Lösungskandidaten von Gleichungen mit der Eindeutigkeit

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen folgen alle aus einer Tatsache: Ein Logarithmus ist ein Exponent. Für eine Basis

b > 0

mit

b \neq 1

gilt:

\log_b x = y \iff b^y = x

Die fünf Grundeigenschaften

1.Logarithmus von 1: $\log_b 1 = 0$ , weil $b^0 = 1$
2.Logarithmus der Basis: $\log_b b = 1$ , weil $b^1 = b$
3.Umkehreigenschaft (Logarithmus einer Potenz der Basis): $\log_b(b^x) = x$ für jede reelle Zahl $x$
4.Umkehreigenschaft (Basis hoch Logarithmus): $b^{\log_b x} = x$ für jedes $x > 0$
5.Eindeutigkeit des Logarithmus: Aus $\log_b M = \log_b N$ (mit $M > 0$ , $N > 0$ ) folgt $M = N$

Was nicht erlaubt ist: Das Argument (der Numerus) eines Logarithmus muss positiv sein.

\log_b 0

und

\log_b(-5)

sind nicht definiert, weil

b^y

für jeden Exponenten

y

positiv ist.

Die Eigenschaften 3 und 4 sagen, dass

y = \log_b x

und

y = b^x

Umkehrfunktionen voneinander sind: Die eine macht die andere rückgängig.

Überblick: die drei Regeln zum Verknüpfen von Logarithmen (jede hat ihre eigene Lektion)

Regel	Formel	Lektion
Produktregel	$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$	Produktregel für Logarithmen
Quotientenregel	$\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$	Quotientenregel für Logarithmen
Potenzregel	$\log_b(M^p) = p \log_b M$	Potenzregel für Logarithmen

In dieser Lektion üben wir die fünf Grundeigenschaften. Die drei Regeln aus der Tabelle werden Schritt für Schritt in ihren eigenen Lektionen erklärt.

Lösungsbeispiele

Berechne $\log_9 1 + \log_9 9$ .

Berechne $\log_9 1$

Welche Potenz von $9$ ergibt $1$ ? $9^0 = 1$ → $\log_9 1 = 0$

Berechne $\log_9 9$

Welche Potenz von $9$ ergibt $9$ ? $9^1 = 9$ → $\log_9 9 = 1$

Addiere die Ergebnisse

$0 + 1$

Antwort: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Häufige Fehler

$\log_b 1 = 1$ oder $\log_b 1 = b$ schreiben

Warum es falsch ist: Der Logarithmus ist der Exponent, nicht das Ergebnis. Die Frage lautet: Welche Potenz von $b$ ergibt $1$ ?

Richtig: $b^0 = 1$ , also gilt $\log_b 1 = 0$ für jede erlaubte Basis. Zum Beispiel $\log_7 1 = 0$ .

Glauben, dass $\log_b 0 = 0$ ist oder dass der Logarithmus einer negativen Zahl negativ ist

Warum es falsch ist: Eine positive Basis hoch irgendeinen Exponenten ist immer positiv, also ergibt kein Exponent $0$ oder eine negative Zahl.

Richtig: $\log_b 0$ und $\log_b(-4)$ sind nicht definiert. Das Argument muss größer als $0$ sein, der Wert eines Logarithmus darf aber negativ sein: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$ .

Potenz und Logarithmus mit verschiedenen Basen kürzen: $2^{\log_3 9} = 9$

Warum es falsch ist: $b^{\log_b x} = x$ gilt nur, wenn die Basis der Potenz und die Basis des Logarithmus dieselbe Zahl sind.

Richtig: Hier sind die Basen verschieden: $\log_3 9 = 2$ , also $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$ , nicht $9$ .

Die Eindeutigkeit anwenden und die Argumente nicht prüfen

Warum es falsch ist: Beim Gleichsetzen der Argumente kann ein Wert entstehen, der ein Argument null oder negativ macht. Dort existiert der ursprüngliche Logarithmus nicht.

Richtig: Setze jeden Kandidaten immer in alle Argumente ein. Behalte ihn nur, wenn alle Argumente positiv sind.

Warum es wichtig ist

Die Grundeigenschaften sind die Werkzeuge, die du jedes Mal brauchst, wenn du mit Logarithmen arbeitest:

Berechnen ohne Taschenrechner: $\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6$ in einer Zeile
Gleichungen lösen: Die Umkehreigenschaften entfernen einen Logarithmus oder eine Potenz, so wird aus $\log_3 x = 4$ einfach $x = 3^4 = 81$
Vergleichen: Die Eindeutigkeit macht aus $\log_5(2x + 1) = \log_5 11$ die einfache Gleichung $2x + 1 = 11$
Skalen in den Naturwissenschaften: Dezibel, pH-Wert und Richterskala benutzen alle $\log$ . Ein Ton an der Hörschwelle hat $10 \log 1 = 0$ Dezibel
Fehler vermeiden: Wer weiß, dass $\log_b 0$ und Logarithmen negativer Zahlen nicht definiert sind, erkennt, welche Lösungen wegfallen

Die Produkt-, Quotienten- und Potenzregel (und die Basiswechselformel) bauen alle auf diesen fünf Eigenschaften auf.

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel

Die Lautstärke eines Geräuschs ist $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ Dezibel, wobei $I_0$ das leiseste Geräusch ist, das ein Mensch hören kann. Mit den Grundeigenschaften geht die Rechnung schnell.

Beispiel:

An der Hörschwelle ist $I = I_0$ , also $L = 10 \log 1 = 10 \cdot 0 = 0$ Dezibel.

1Probiere es selbst

Ein Rockkonzert hat die Intensität $I = 10^{11} \cdot I_0$ , also ist $\frac{I}{I_0} = 10^{11}$ .

Wie hoch ist der Schallpegel des Konzerts in Dezibel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $L = 10 \log(10^{11})$ :

Säuregehalt und pH-Wert

In der Chemie misst man den Säuregehalt mit $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen in Mol pro Liter ist. Die Umkehreigenschaft macht aus einem pH-Wert wieder eine Konzentration.

Beispiel:

Reines Wasser hat $[H^+] = 10^{-7}$ , also $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$ .

2Probiere es selbst

Zitronensaft hat den pH-Wert $2$ , also $-\log[H^+] = 2$ und $\log[H^+] = -2$ .

Wie groß ist die Wasserstoffionen-Konzentration $[H^+]$ von Zitronensaft?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze $10^{\log x} = x$ und berechne $[H^+] = 10^{-2}$ :

Runden in einem K.-o.-Turnier

In einem K.-o.-Turnier scheidet in jeder Runde die Hälfte der Teilnehmer aus. Bei $2^n$ Teilnehmern gibt es $\log_2(2^n) = n$ Runden, bis ein Sieger übrig bleibt.

Beispiel:

Bei $16 = 2^4$ Mannschaften gibt es $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ Runden.

3Probiere es selbst

Ein Schachturnier an einer Schule beginnt mit $128$ Spielern. Jede Partie hat einen Sieger, der Verlierer scheidet aus.

Wie viele Runden braucht man, um den Turniersieger zu ermitteln?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\log_2 128$ :

Wichtige Erkenntnisse

1 $\log_b 1 = 0$ , weil $b^0 = 1$ , und $\log_b b = 1$ , weil $b^1 = b$
2Umkehreigenschaft: $\log_b(b^x) = x$ für jede reelle Zahl $x$
3Umkehreigenschaft: $b^{\log_b x} = x$ für jedes $x > 0$ , aber nur, wenn beide Basen gleich sind
4Eindeutigkeit: Aus $\log_b M = \log_b N$ folgt $M = N$ ; prüfe immer, ob die Argumente positiv sind
5 $\log_b 0$ und der Logarithmus einer negativen Zahl sind nicht definiert, der Wert eines Logarithmus darf aber negativ sein
6Produkt-, Quotienten- und Potenzregel bauen auf diesen Eigenschaften auf und haben eigene Lektionen

Häufig gestellte Fragen

Warum ist $\log_b 1$ immer $0$ ?

Jede erlaubte Basis hoch

0

ergibt

1

2^0 = 1

10^0 = 1

e^0 = 1

. Der Logarithmus fragt nach diesem Exponenten, also ist die Antwort immer

0

Kann der Wert eines Logarithmus negativ sein?

Ja. Nur das Argument muss positiv sein. Zum Beispiel ist

\log_{10} 0{,}01 = -2

, weil

10^{-2} = 0{,}01

. Das Argument

0{,}01

ist positiv, der Wert

-2

ist negativ.

Warum braucht $b^{\log_b x} = x$ die Bedingung $x > 0$ , während $\log_b(b^x) = x$ für jedes $x$ gilt?

\log_b(b^x)

ist das Argument

b^x

immer positiv, also ist jedes reelle

x

erlaubt. In

b^{\log_b x}

muss zuerst

\log_b x

existieren, und dafür braucht man

x > 0

Wo finde ich Produkt-, Quotienten- und Potenzregel?

Jede hat ihre eigene Lektion: Produktregel für Logarithmen, Quotientenregel für Logarithmen und Potenzregel für Logarithmen. Sie benutzen die Eigenschaften aus dieser Lektion, deshalb lohnt es sich, diese zuerst sicher zu beherrschen.

Glossar

Logarithmus: Der Exponent $y$ mit $b^y = x$ , geschrieben $\log_b x = y$
Basis: Die Zahl $b$ in $\log_b x$ ; es muss $b > 0$ und $b \neq 1$ gelten
Argument (Numerus): Die Zahl $x$ in $\log_b x$ ; sie muss positiv sein
Umkehreigenschaften: $\log_b(b^x) = x$ und $b^{\log_b x} = x$ : Logarithmus und Exponentialfunktion mit derselben Basis heben sich gegenseitig auf
Eindeutigkeit des Logarithmus: Aus $\log_b M = \log_b N$ folgt $M = N$ : Verschiedene positive Argumente haben nie denselben Logarithmus
Umkehrfunktion: Eine Funktion, die eine andere rückgängig macht; $y = \log_b x$ ist die Umkehrfunktion von $y = b^x$

Formelkarte

Logarithmus von 1

\log_b 1 = 0

Weil $b^0 = 1$

Logarithmus der Basis

\log_b b = 1

Weil $b^1 = b$

Umkehreigenschaft 1

\log_b(b^x) = x

Für jede reelle Zahl $x$

Umkehreigenschaft 2

b^{\log_b x} = x

Für jedes $x > 0$, gleiche Basis auf beiden Ebenen

Eindeutigkeit des Logarithmus

\log_b M = \log_b N \Rightarrow M = N

Prüfe $M > 0$ und $N > 0$

Definitionsmenge

\log_b x

existiert nur für

x > 0

$\log_b 0$ und Logarithmen negativer Zahlen sind nicht definiert

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel

Säuregehalt und pH-Wert

Runden in einem K.-o.-Turnier

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Logarithmus von 1

Logarithmus der Basis

Umkehreigenschaft 1

Umkehreigenschaft 2

Eindeutigkeit des Logarithmus

Definitionsmenge

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