Sachaufgaben mit Logarithmen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Ein Erdbeben der Stärke $6$ wird mit einem der Stärke $4$ auf der Richterskala verglichen. Wie viel Mal größer ist die Amplitude des stärkeren Bebens?
1. a)20
2. b)1000
3. c)2
4. d)100
Lösung: 100
Das Verhältnis ist $10^{6 - 4} = 10^2 = 100$ . Ein Unterschied von $2$ bedeutet zwei Faktoren $10$ , nicht "2-mal".
2.
Eine Lösung hat eine Wasserstoffionenkonzentration von $[H^+] = 10^{-5}$ mol/L. Wie groß ist ihr pH-Wert?
1. a) $0{,}00001$
2. b) $10^5$
3. c) $-5$
4. d) $5$
Lösung: $5$
$\text{pH} = -\log(10^{-5}) = -(-5) = 5$ . Das Minuszeichen in der Formel macht den pH-Wert positiv.
3.
Du legst 1000 € zu $5\,\%$ Zinsen an, die einmal pro Jahr gutgeschrieben werden. Welcher Term gibt die Zeit $t$ in Jahren an, bis sich das Geld verdoppelt hat?
1. a) $\frac{\ln 2000}{\ln 1000}$
2. b) $\frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$
3. c) $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
4. d) $2 \cdot \ln 1{,}05$
Lösung: $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
$1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ ergibt $1{,}05^t = 2$ , also $t \ln 1{,}05 = \ln 2$ und $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$ . Der Wachstumsfaktor ist $1{,}05$ , nicht der Zinssatz $0{,}05$ .
4.
Geräusch A hat einen Pegel von $90$ dB und Geräusch B einen Pegel von $60$ dB. Wie viel Mal so intensiv ist Geräusch A wie Geräusch B?
1. a)300
2. b)1000
3. c)3
4. d)30
Lösung: 1000
Der Unterschied ist $30$ dB, also ist das Verhältnis $10^{30/10} = 10^3 = 1000$ .
5.
Ein Stoff verliert jedes Jahr $8\,\%$ seiner Masse. Welche Gleichung gibt die Anzahl der Jahre $t$ an, bis nur noch die Hälfte übrig ist?
1. a) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 1{,}08}$
2. b) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}08}$
3. c) $t = 0{,}5 \cdot \ln 0{,}92$
4. d) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Lösung: $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Jedes Jahr bleiben $92\,\%$ übrig, der Abnahmefaktor ist also $0{,}92$ : $0{,}92^t = 0{,}5$ , $t \ln 0{,}92 = \ln 0{,}5$ und $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92} \approx 8{,}31$ Jahre.
6.
Eine Lösung hat $[H^+] = 0{,}001$ mol/L. Wie groß ist ihr pH-Wert? (Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.)
Lösung: 3
$0{,}001 = 10^{-3}$ , also $\text{pH} = -\log(10^{-3}) = 3$ .
7.
Ein Geräusch hat die Intensität $I = 10^7 \cdot I_0$ . Wie groß ist sein Pegel $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ in Dezibel? (Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.)
Lösung: 70
$L = 10 \log(10^7) = 10 \times 7 = 70$ dB.
8.
Berechne den pH-Wert einer Lösung mit $[H^+] = 2{,}5 \times 10^{-6}$ mol/L. Runde auf zwei Nachkommastellen.
Lösung: 5.60
$\log(2{,}5 \times 10^{-6}) = \log 2{,}5 - 6 \approx 0{,}39794 - 6 = -5{,}60206$ , also $\text{pH} \approx 5{,}60$ .
9.
Ein Erdbeben der Stärke $7{,}4$ wird mit einem der Stärke $5{,}6$ verglichen. Wie viel Mal größer ist die Amplitude des stärkeren? Runde auf eine ganze Zahl.
Lösung: 63
$10^{7{,}4 - 5{,}6} = 10^{1{,}8} \approx 63{,}096$ , gerundet $63$ .
10.
Eine Stadt hat $25\,000$ Einwohner und wächst um $3\,\%$ pro Jahr. Nach wie vielen Jahren hat sie $40\,000$ Einwohner? Runde auf eine Nachkommastelle.
Lösung: 15.9
$1{,}03^t = \frac{40\,000}{25\,000} = 1{,}6$ , also $t = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}03} \approx \frac{0{,}470004}{0{,}029559} \approx 15{,}90$ , gerundet $15{,}9$ Jahre.
11.
Zitronensaft hat eine Wasserstoffionenkonzentration von $[H^+] = 0{,}01$ mol/L. Berechne seinen pH-Wert.
Lösung: 2
1. Schreibe $0{,}01$ als Zehnerpotenz: $0{,}01 = 10^{n}$ . Wie groß ist $n$ ? -2
2. Wie viel ist $\log(0{,}01)$ ? -2
3. Wie groß ist der pH-Wert, $-\log(0{,}01)$ ? 2
12.
Ein Föhn erzeugt einen Schall, der $1\,000\,000$ -mal so intensiv ist wie die Hörschwelle. Berechne seinen Pegel in Dezibel.
Lösung: 60
1. Schreibe $1\,000\,000 = 10^{n}$ . Wie groß ist $n$ ? 6
2. Wie viel ist $\log(1\,000\,000)$ ? 6
3. Wie viel ist $L = 10 \log(1\,000\,000)$ in dB? 60
13.
Eine Tasse Kaffee hat den pH-Wert $5$ . Berechne ihre Wasserstoffionenkonzentration $[H^+]$ in mol/L als Dezimalzahl.
Lösung: 0.00001
1. Aus $-\log[H^+] = 5$ folgt: Wie viel ist $\log[H^+]$ ? -5
2. Also ist $[H^+] = 10^{k}$ . Wie groß ist $k$ ? -5
3. Schreibe $10^{-5}$ als Dezimalzahl. 0.00001
14.
Dichter Verkehr hat $85$ dB, ein normales Gespräch $60$ dB. Wie viel Mal so intensiv ist der Verkehrslärm? Runde auf eine ganze Zahl.
Lösung: 316
1. Wie groß ist der Unterschied in Dezibel? 25
2. Das Intensitätsverhältnis ist $10^{x}$ mit $x = \frac{25}{10}$ . Wie groß ist $x$ ? 2.5
3. Berechne $10^{2{,}5}$ und runde auf eine ganze Zahl. 316
15.
Geld wird zu $6\,\%$ Zinsen angelegt, die einmal pro Jahr gutgeschrieben werden. Wie viele volle Jahre dauert es, bis sich der Kontostand mindestens verdoppelt hat?
Lösung: 12
1. Mit welchem Wachstumsfaktor wird der Kontostand jedes Jahr multipliziert? 1.06
2. Berechne $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06}$ , gerundet auf zwei Nachkommastellen. 11.90
3. Zinsen gibt es einmal pro Jahr. Wie viele volle Jahre werden gebraucht? 12
16.
Eine Laborprobe enthält $200$ mg eines Stoffes mit einer Halbwertszeit von $5$ Stunden. Nach wie vielen Stunden sind nur noch $20$ mg übrig? Runde auf eine Nachkommastelle.
Lösung: 16.6
1. In $200 \cdot 0{,}5^{t/5} = 20$ : Wie viel ist $0{,}5^{t/5} = \frac{20}{200}$ ? 0.1
2. Berechne $\frac{t}{5} = \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}5}$ , gerundet auf zwei Nachkommastellen. 3.32
3. Multipliziere mit 5. Wie groß ist $t$ in Stunden, gerundet auf eine Nachkommastelle? 16.6
17.
Du legst 3000 € zu $4\,\%$ stetig verzinst an, also $A = 3000e^{0{,}04t}$ . Nach wie vielen Jahren erreicht der Kontostand 4500 €? Runde auf zwei Nachkommastellen.
Lösung: 10.14
1. Teile beide Seiten durch 3000: $e^{0{,}04t} = \frac{4500}{3000}$ . Wie viel ist die rechte Seite? 1.5
2. Wende ln an: $0{,}04t = \ln 1{,}5$ . Wie viel ist $\ln 1{,}5$ , gerundet auf vier Nachkommastellen? 0.4055
3. Teile durch $0{,}04$ . Wie groß ist $t$ , gerundet auf zwei Nachkommastellen? 10.14
18.
Ein Auto, das $24\,000$ € gekostet hat, verliert jedes Jahr $15\,\%$ seines Wertes. Nach wie vielen vollen Jahren ist es zum ersten Mal weniger als $6000$ € wert?
Lösung: 9
1. Wie viel ist $\frac{6000}{24\,000}$ ? 0.25
2. Mit welchem Faktor wird der Wert jedes Jahr multipliziert? 0.85
3. Löse $0{,}85^t = 0{,}25$ : Berechne $t = \frac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85}$ , gerundet auf zwei Nachkommastellen. 8.53
4. Der Wert sinkt einmal pro Jahr. Nach wie vielen vollen Jahren liegt er zum ersten Mal unter dem Ziel? 9