Leitfaden für Lehrer: Sachaufgaben mit Logarithmen

Löse echte Probleme mit Logarithmen: pH-Wert, Dezibel, Erdbebenstärken, Verdopplungszeit, Halbwertszeit und wie lange Geld zum Wachsen braucht.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

pH-Werte, Schallpegel und Vergleiche auf der Richterskala mit dem Zehnerlogarithmus berechnen
Mit Zehnerpotenzen von einer logarithmischen Skala zurückrechnen
Wachstums- und Zerfallsgleichungen nach der Zeit auflösen, indem man auf beiden Seiten logarithmiert
Verdopplungszeiten und Halbwertszeiten bestimmen und im Sachzusammenhang deuten
Ergebnisse wie verlangt runden und entscheiden, wann eine Situation ganze Zeiträume braucht

Voraussetzungen

• Dekadischer Logarithmus (Basis 10)
• Natürlicher Logarithmus (ln)
• Potenzregel für Logarithmen
• Logarithmusgleichungen lösen
• Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme, auch Zinseszins

Diskussionsstarter

1. Warum verwenden Wissenschaftler für Schall eine logarithmische Skala, statt die Intensität direkt zu messen?
2. In den Nachrichten heißt es, ein Erdbeben sei "nur einen Punkt stärker" gewesen. Ist das ein kleiner Unterschied?
3. Dein Taschenrechner zeigt 14,21 Jahre. Warum könnte die echte Antwort 15 Jahre sein?
4. Wie könntest du ein Ergebnis zur Halbwertszeit ohne Logarithmen überprüfen?
5. Wo sonst wächst eine Größe in jedem Zeitraum um denselben Prozentsatz?

Häufige Missverständnisse

Eine logarithmische Skala verhält sich wie eine normale Skala (pH-Wert 4 sei "doppelt so sauer" wie pH-Wert 8)

Abhilfe: Erstelle eine Tabelle: pH-Wert 8, 7, 6, 5, 4 mit $[H^+] = 10^{-8}, \dots, 10^{-4}$ . Die Schüler sehen, dass jeder Schritt ein Faktor 10 ist, pH 4 gegenüber pH 8 also $10^4 = 10\,000$ -mal.

Nur eine Seite einer Gleichung logarithmieren oder die Basis "kürzen"

Abhilfe: Betone, dass eine Gleichung nur im Gleichgewicht bleibt, wenn beide Seiten dieselbe Operation erhalten. Schreibe $\ln(\text{links}) = \ln(\text{rechts})$ ausdrücklich hin, bevor die Potenzregel angewendet wird.

Die Dezimalzahl ist immer das Endergebnis

Abhilfe: Gib Sachzusammenhänge mit ganzen Zeiträumen (jährliche Zinsen, tägliche Dosen) und lass die Schüler die Jahre direkt unter und über ihrem Dezimalergebnis prüfen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit reinen Zehnerpotenzen beginnen (pH-Wert von $10^{-3}$ , das $10^6$ -fache der Hörschwelle), damit kein Taschenrechner nötig ist
• Eine Vorlage zum Ausfüllen geben: Formel, Potenz isolieren, logarithmieren, runden
• Mit dem interaktiven Graphen ungefähre Zeiten ablesen, bevor gerechnet wird

Für Schüler auf Niveau:

• Aufgaben zu pH-Wert, Dezibel, Richterskala und Zinsen mit verschiedenen Rundungsangaben mischen
• Die 72er-Regel mit genauen Verdopplungszeiten für mehrere Zinssätze vergleichen
• Aufgaben zur Halbwertszeit lösen, bei denen das Ergebnis keine ganze Zahl von Halbwertszeiten ist

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die Formel $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1+r)}$ allgemein herleiten und erklären, warum jede Basis funktioniert
• Jährliche, monatliche und stetige Verzinsung vergleichen: Wie lange dauert es jeweils bis zum selben Ziel?
• Die Energie von Erdbeben untersuchen, die pro Magnitude um etwa den Faktor $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ wächst

Standardausrichtung

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Bei Exponentialmodellen die Lösung von $ab^{ct} = d$ als Logarithmus ausdrücken und mit Technologie berechnen
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und damit Probleme lösen, auch mit Exponentialfunktionen
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Beim Angeben von Größen eine Genauigkeit wählen, die zu den Grenzen der Messung passt
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen als Umkehrung verstehen und zum Lösen von Problemen nutzen

Lektionsressourcen

visualGraph der Verdopplungszeit
Graph von $y = 1000 \cdot 1{,}05^x$ und $y = 2000$ : Der Schnittpunkt zeigt die Verdopplungszeit von $14{,}21$ Jahren
visualLogarithmischer Zahlenstrahl
Zehnerpotenzen in gleichen Abständen, wie bei der Dezibelskala: Jeder Schritt bedeutet $10$ dB mehr
visualpH-Skala als Zehnerpotenzen
Wasserstoffionenkonzentrationen von $10^{-14}$ bis $1$ mol/L in gleichen Abständen: Jeder Schritt nach rechts bedeutet $10$ -mal so viel $[H^+]$ und einen um 1 kleineren pH-Wert
activitypH-Labor in der Küche
Die Klasse sucht die pH-Werte von Essig, Milch, Seife und Zitronensaft heraus und berechnet, wie viel Mal saurer das eine ist als das andere
worksheetSachaufgaben mit Logarithmen
Gemischte Übungen: pH-Wert, Dezibel, Erdbeben, Zinseszins und Halbwertszeit, mit Rundungsangaben

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Sachaufgabe mit Logarithmen beschreibt eine echte Situation, in der die Unbekannte ein Exponent ist: eine Zeit, eine Stärke oder ein Pegel. Du löst sie in drei Schritten: Formel aufschreiben, die Potenz isolieren, dann auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden.

Zwei Arten von Aufgaben kommen immer wieder vor:

1. Logarithmische Skalen (die Formel enthält schon einen Logarithmus):

pH-Wert einer Lösung: $\text{pH} = -\log[H^+]$ , wobei $[H^+]$ die Wasserstoffionenkonzentration in mol/L ist
Schallpegel in Dezibel: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , wobei $I_0$ die Hörschwelle ist
Richterskala: Bei zwei Erdbeben, deren Magnituden sich um $d$ unterscheiden, stehen die Amplituden im Verhältnis $10^{d}$

2. Wachstum und Zerfall über die Zeit (die Unbekannte

t

steht im Exponenten):

A = P(1 + r)^t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{\ln(1 + r)}

Bei stetigem Wachstum liefert

A = Pe^{rt}

die Zeit

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

, und bei einer Halbwertszeit

h

liefert

N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/h}

die Zeit

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln(0{,}5)}

Dabei ist

\log

der dekadische Logarithmus (Zehnerlogarithmus, Basis 10) und

\ln

der natürliche Logarithmus (Basis

e

). Die meisten Ergebnisse sind Dezimalzahlen, deshalb steht in jeder Aufgabe, wie gerundet wird, und du rundest erst ganz am Ende.

Lösungsbeispiele

Ein Erfrischungsgetränk hat eine Wasserstoffionenkonzentration von $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Berechne seinen pH-Wert, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

$\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ → $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Den Zehnerlogarithmus berechnen

$\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Das Minuszeichen anwenden

$\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$

Auf zwei Nachkommastellen runden

Die dritte Nachkommastelle ist $4$ , also wird abgerundet → $\text{pH} \approx 3{,}49$

Antwort: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (sauer, weil der Wert unter 7 liegt)

Häufige Fehler

Zu sagen, ein Erdbeben der Stärke 8 sei "2-mal" oder "doppelt" so stark wie eines der Stärke 6

Warum es falsch ist: Die Richterskala ist logarithmisch: Jede ganze Stufe multipliziert die Amplitude mit 10. Unterschiede der Magnitude sind Exponenten, keine Faktoren.

Richtig: Verhältnis der Amplituden $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ -mal.

Das Minuszeichen in $\text{pH} = -\log[H^+]$ vergessen und einen negativen pH-Wert wie $-3{,}49$ erhalten

Warum es falsch ist: Konzentrationen wie $0{,}00032$ sind kleiner als 1, ihr Logarithmus ist also negativ. Das Minuszeichen in der Formel macht den pH-Wert positiv.

Richtig: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Den Zinssatz statt des Wachstumsfaktors verwenden: $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Warum es falsch ist: Der Kontostand wird jedes Jahr mit $1 + r = 1{,}05$ multipliziert, nicht mit $0{,}05$ . Außerdem ist $\ln 0{,}05$ negativ, was eine negative Zeit ergäbe.

Richtig: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ Jahre. Bei Abnahme verwendest du $1 - r$ , zum Beispiel $0{,}85$ bei $15\,\%$ Verlust.

Zu früh runden, zum Beispiel $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$ schreiben

Warum es falsch ist: Kleine Rundungen in einem Quotienten wachsen: $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ statt $14{,}21$ , das ist etwa 4 Monate daneben.

Richtig: Rechne mit voller Taschenrechnergenauigkeit (oder mindestens 5 gültigen Ziffern) und runde nur das Endergebnis, so wie es die Aufgabe verlangt.

Warum es wichtig ist

Logarithmen machen aus riesigen Zahlenbereichen kleine, gut lesbare Zahlen, und sie sind das einzige Werkzeug, mit dem man eine Unbekannte aus dem Exponenten holt:

Chemie: Zitronensaft (pH-Wert etwa 2) hat $100\,000$ -mal mehr Wasserstoffionen als reines Wasser (pH-Wert 7).
Gesundheit: Ein Konzert mit 110 dB ist $1000$ -mal intensiver als eine Straße mit 80 dB, deshalb ist Gehörschutz wichtig.
Geologie: Ein Erdbeben der Stärke 7 hat die $100$ -fache Amplitude eines Bebens der Stärke 5.
Geld: Banken, Sparer und Kreditberater fragen: "Nach wie vielen Jahren hat sich mein Geld verdoppelt?" und beantworten das mit $\ln$ .
Medizin: Ärzte entscheiden mit der Halbwertszeit, wann ein Medikament unter eine wirksame Menge gefallen ist.

Jede dieser Fragen ist eine Frage nach einem Exponenten, und ein Logarithmus beantwortet sie.

Anwendungen im echten Leben

Saurer Regen

Umweltwissenschaftler vergleichen den Säuregrad von Regen mit dem pH-Wert. Weil der pH-Wert ein Logarithmus ist, bedeutet ein kleiner pH-Unterschied einen großen Unterschied bei den Wasserstoffionen.

Beispiel:

Normaler Regen hat einen pH-Wert von etwa $5{,}6$ . Regen mit pH-Wert $4{,}6$ hat $10^{1} = 10$ -mal so viele Wasserstoffionen.

1Probiere es selbst

Normaler Regen hat einen pH-Wert von $5{,}6$ . Ein Unwetter bringt sauren Regen mit einem pH-Wert von $4{,}3$ .

Wie viel Mal mehr Wasserstoffionen enthält der saure Regen? Runde auf eine ganze Zahl.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $10^{5{,}6 - 4{,}3}$ und runde auf eine ganze Zahl:

Gehörschutz bei Konzerten

Tontechniker und Hörakustiker arbeiten in Dezibel. Ohrstöpsel werden danach bewertet, wie stark sie die Schallintensität verringern.

Beispiel:

Teilt man die Intensität durch $10$ , sinkt der Pegel um $10$ dB, teilt man durch $100$ , sinkt er um $20$ dB.

2Probiere es selbst

Ein Rockkonzert erreicht $110$ dB. Ohrstöpsel verringern die Schallintensität, die dein Ohr erreicht, auf $\frac{1}{1000}$ ihres Wertes.

Welcher Schallpegel in Dezibel erreicht dein Ohr? (Das Ergebnis ist eine ganze Zahl, Runden ist nicht nötig.)

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe den neuen Pegel als $10 \log\left(\frac{10^{11}}{1000}\right)$ und berechne ihn:

Ein Sparziel planen

Finanzberater berechnen mit Logarithmen, wie viele Jahre eine Geldanlage braucht, um ein Ziel zu erreichen.

Beispiel:

Bei $4\,\%$ pro Jahr wächst das Geld jedes Jahr mit dem Faktor $1{,}04$ , die Anzahl der Jahre ist also $t = \frac{\ln(\text{Ziel}/\text{Start})}{\ln 1{,}04}$ .

3Probiere es selbst

Du legst 5000 € zu $4\,\%$ Zinsen an, die einmal pro Jahr gutgeschrieben werden. Dein Ziel sind 8000 €.

Wie viele volle Jahre musst du warten, bis der Kontostand das Ziel zum ersten Mal erreicht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $5000 \cdot 1{,}04^t = 8000$ und runde dann auf ganze Jahre auf:

Wichtige Erkenntnisse

1In einer Sachaufgabe mit Logarithmen ist die Unbekannte ein Exponent: eine Zeit, eine Stärke oder ein Pegel
2pH-Wert: $\text{pH} = -\log[H^+]$ ; zurück: $[H^+] = 10^{-\text{pH}}$
3Dezibel: $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ ; je $10$ dB mehr bedeuten die $10$ -fache Intensität
4Richterskala: Magnituden, die sich um $d$ unterscheiden, bedeuten Amplituden im Verhältnis $10^{d}$
5Zeit bei Wachstum oder Zerfall: Potenz isolieren, auf beiden Seiten $\ln$ anwenden, dann $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 \pm r)}$ ; Verdopplungszeit $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$
6Runde erst am Ende, genau wie die Aufgabe es verlangt, und prüfe, ob die Situation ganze Jahre braucht

Häufig gestellte Fragen

Soll ich log oder ln verwenden, um die Zeit zu berechnen?

Beides funktioniert, solange du oben und unten denselben Logarithmus nimmst:

\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21

. Die Formeln für pH-Wert und Dezibel sind mit dem Zehnerlogarithmus

\log

(Basis 10) definiert, dort verwendest du also

\log

. (Manche Bücher schreiben dafür auch

\lg

Warum ist die Antwort 15 Jahre, wenn der Taschenrechner 14,21 anzeigt?

Die Gleichung behandelt die Zeit als stetig, aber eine Bank schreibt die Zinsen nur einmal im Jahr gut. Nach 14 Jahren liegt der Kontostand noch unter dem Ziel, du brauchst also die 15. Zinszahlung. Frag dich immer, ob die Situation Bruchteile eines Jahres erlaubt.

Kann ein pH-Wert negativ oder größer als 14 sein?

Mathematisch ja:

[H^+] = 2

mol/L ergibt

\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30

. In der alltäglichen Chemie liegen aber fast alle Lösungen zwischen 0 und 14.

Gibt es eine schnelle Schätzung für die Verdopplungszeit?

Die "72er-Regel" sagt: Verdopplungszeit ungefähr

72 \div (\text{Zinssatz in }\%)

. Bei

5\,\%

72 \div 5 = 14{,}4

Jahre, nah am genauen Wert

14{,}21

. Verwende Logarithmen, wenn die Aufgabe ein genaues Ergebnis verlangt.

Glossar

pH-Wert: Ein Maß für den Säuregrad: $\text{pH} = -\log[H^+]$ . Unter 7 sauer, 7 neutral, über 7 basisch.
Dezibel (dB): Einheit des Schallpegels: $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , wobei $I_0$ die Hörschwelle ist.
Richterskala: Eine logarithmische Skala für Erdbeben: Eine ganze Stufe bedeutet die $10$ -fache Amplitude der Bodenbewegung.
Verdopplungszeit: Die Zeit, die eine wachsende Größe braucht, um sich zu verdoppeln: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ bei Wachstum um $r$ pro Zeitraum.
Halbwertszeit: Die Zeit, in der eine abnehmende Größe auf die Hälfte ihres Wertes fällt.
Wachstumsfaktor: Die Zahl, mit der eine Größe in jedem Zeitraum multipliziert wird: $1 + r$ bei Wachstum, $1 - r$ bei Abnahme.

Formelkarte

pH-Wert

\text{pH} = -\log[H^+] \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}

Säuregrad aus der Wasserstoffionenkonzentration

Schallpegel

L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \iff \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}

Dezibel aus dem Intensitätsverhältnis

Vergleich auf der Richterskala

\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}

Verhältnis der Amplituden zweier Erdbeben

Zeit bis zum Ziel

t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r)}

Aus $A = P(1 + r)^t$; bei Abnahme $1 - r$ verwenden

Stetiges Wachstum

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

Aus $A = Pe^{rt}$

Halbwertszeit

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln 0{,}5}

Aus $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/h}$ mit Halbwertszeit $h$

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Saurer Regen

Gehörschutz bei Konzerten

Ein Sparziel planen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

pH-Wert

Schallpegel

Vergleich auf der Richterskala

Zeit bis zum Ziel

Stetiges Wachstum

Halbwertszeit

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