Potenzregel für Logarithmen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher Term ist für $x > 0$ gleich $\log_3(x^5)$ ?
1. a) $5 \log_3 x$
2. b) $(\log_3 x)^5$
3. c) $\log_3(5x)$
4. d) $\log_3 5 + \log_3 x$
Lösung: $5 \log_3 x$
Nach der Potenzregel ist $\log_3(x^5) = 5 \log_3 x$ . Der Term $(\log_3 x)^5$ potenziert den ganzen Logarithmus, das ist etwas anderes.
2.
Berechne $\log_2(8^4)$ .
Lösung: 12
$\log_2(8^4) = 4 \log_2 8 = 4 \cdot 3 = 12$ . Probe: $8^4 = 2^{12} = 4096$ .
3.
Berechne $\log_3(9^4)$ mit der Potenzregel.
Lösung: 8
1. Die Potenzregel liefert $4 \log_3 9$ . Wie groß ist $\log_3 9$ ? 2
2. Multipliziere: $4 \cdot \log_3 9 = ?$ 8
4.
Welcher Term ist für $x > 0$ gleich $\log \sqrt{x}$ ?
1. a) $2 \log x$
2. b) $\log \frac{x}{2}$
3. c) $\sqrt{\log x}$
4. d) $\frac{1}{2} \log x$
Lösung: $\frac{1}{2} \log x$
$\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ . Eine Quadratwurzel halbiert den Logarithmus, sie verdoppelt ihn nicht.
5.
Berechne $\log_5(25^3)$ .
Lösung: 6
$\log_5(25^3) = 3 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$ .
6.
Berechne $\log \sqrt{1000}$ (Basis 10).
Lösung: 3/2
1. Schreibe $\sqrt{1000} = 1000^k$ . Wie groß ist $k$ ? 1/2
2. Wie groß ist $\log 1000$ ? 3
3. Potenzregel: Berechne $k \cdot \log 1000$ . 3/2
7.
Schreibe $3 \log x - 2 \log y$ als einen einzigen Logarithmus.
1. a) $\log(x^3 - y^2)$
2. b) $\frac{\log x^3}{\log y^2}$
3. c) $\log \frac{x^3}{y^2}$
4. d) $\log \frac{3x}{2y}$
Lösung: $\log \frac{x^3}{y^2}$
$3 \log x = \log x^3$ und $2 \log y = \log y^2$ , also $3 \log x - 2 \log y = \log x^3 - \log y^2 = \log \frac{x^3}{y^2}$ .
8.
Berechne $\log_4 \sqrt{64}$ . Gib das Ergebnis als Bruch oder Dezimalzahl an.
Lösung: 3/2
$\log_4 \sqrt{64} = \frac{1}{2} \log_4 64 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1{,}5$ . Probe: $\sqrt{64} = 8$ und $4^{1{,}5} = 8$ .
9.
Zerlege $\log_2(x^3 y^5)$ in die Form $a \log_2 x + b \log_2 y$ und berechne den Wert für $x = 2$ und $y = 4$ .
Lösung: 13
1. Wie lautet der Vorfaktor $a$ von $\log_2 x$ ? 3
2. Wie lautet der Vorfaktor $b$ von $\log_2 y$ ? 5
3. Mit $\log_2 2 = 1$ und $\log_2 4 = 2$ : Berechne $3 \cdot 1 + 5 \cdot 2$ . 13
10.
Welche Aussage ist wahr?
1. a) $3 \log 100 = 8$
2. b) $\log(100^3) = 6$
3. c) $\log(100^3) = 8$
4. d) $(\log 100)^3 = 6$
Lösung: $\log(100^3) = 6$
$\log(100^3) = 3 \log 100 = 3 \cdot 2 = 6$ nach der Potenzregel. Dagegen ist $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , weil dort der ganze Logarithmus hoch drei genommen wird.
11.
Wenn $\log_3 x = 2{,}5$ ist, wie groß ist dann $\log_3(x^4)$ ?
Lösung: 10
$\log_3(x^4) = 4 \log_3 x = 4 \cdot 2{,}5 = 10$ . Den Wert von $x$ selbst brauchst du gar nicht.
12.
Schreibe $2 \log 5 + \log 4$ als einen einzigen Logarithmus und berechne ihn.
Lösung: 2
1. Potenzregel rückwärts: $2 \log 5 = \log ?$ 25
2. Produktregel: $\log 25 + \log 4 = \log ?$ 100
3. Wie groß ist $\log 100$ ? 2
13.
Zerlege $\ln \dfrac{x^4}{\sqrt{y}}$ in die Form $a \ln x + c \ln y$ und berechne den Wert für $\ln x = 1$ und $\ln y = 6$ .
Lösung: 1
1. Wie lautet der Vorfaktor $a$ von $\ln x$ ? 4
2. Wie lautet der Vorfaktor $c$ von $\ln y$ ? (Achte auf das Vorzeichen.) -1/2
3. Berechne $4 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 6$ . 1
14.
Zerlege $\ln \dfrac{x^2 \sqrt[3]{y}}{z^4}$ (alle Variablen positiv).
1. a) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
2. b) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y + 4 \ln z$
3. c) $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$
4. d) $\frac{2}{3} \ln(xy) - 4 \ln z$
Lösung: $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
Quotientenregel, Produktregel, dann Potenzregel: $\ln x^2 + \ln y^{1/3} - \ln z^4 = 2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$ .
15.
Bestimme mit $\log 2 \approx 0{,}301$ und $\log 3 \approx 0{,}477$ einen Näherungswert für $\log 48$ . Gib 3 Nachkommastellen an.
Lösung: 1.681
$\log 48 = \log(2^4 \cdot 3) = 4 \log 2 + \log 3 \approx 4 \cdot 0{,}301 + 0{,}477 = 1{,}204 + 0{,}477 = 1{,}681$ .
16.
Berechne $3 \log_2 4 - \frac{1}{2} \log_2 16$ , indem du alles zu einem Logarithmus zusammenfasst.
Lösung: 4
1. $3 \log_2 4 = \log_2 4^3 = \log_2 ?$ 64
2. $\frac{1}{2} \log_2 16 = \log_2 16^{1/2} = \log_2 ?$ 4
3. Quotientenregel: $\log_2 64 - \log_2 4 = \log_2 ?$ 16
4. Wie groß ist $\log_2 16$ ? 4
17.
Bestimme mit $\ln 2 \approx 0{,}693$ und $\ln 3 \approx 1{,}099$ einen Näherungswert für $\ln \sqrt{72}$ . Rechne nur mit diesen Werten und runde nicht.
Lösung: 2.1385
1. $72 = 2^a \cdot 3^2$ . Wie groß ist $a$ ? 3
2. $\ln 72 = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$ . Berechne $3 \cdot 0{,}693 + 2 \cdot 1{,}099$ . 4.277
3. $\ln \sqrt{72} = \frac{1}{2} \ln 72$ . Berechne die Hälfte von $4{,}277$ . 2.1385
18.
Wie viele Stellen hat $3^{50}$ ? Verwende $\log 3 \approx 0{,}477$ .
Lösung: 24
1. Potenzregel: $\log(3^{50}) = 50 \log 3$ . Berechne $50 \cdot 0{,}477$ . 23.85
2. Wie lautet der ganzzahlige Teil dieses Ergebnisses? 23
3. Addiere 1. Wie viele Stellen hat $3^{50}$ ? 24