Leitfaden für Lehrer: Potenzregel für Logarithmen

Lerne, wie die Potenzregel einen Exponenten vor den Logarithmus zieht, wie Wurzeln zu Bruchpotenzen werden und wie du Logarithmen mit allen drei Gesetzen zerlegst und zusammenfasst.

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10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Potenzregel $\log_b(M^p) = p \log_b M$ angeben und mit den Potenzgesetzen begründen
Logarithmen von Wurzeln mithilfe von Bruchpotenzen umschreiben
Logarithmische Terme mit Produkt-, Quotienten- und Potenzregel zusammen zerlegen
Summen und Differenzen von Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen
$\log(M^p)$ von $(\log M)^p$ unterscheiden

Voraussetzungen

• Definition des Logarithmus
• Produktregel für Logarithmen
• Quotientenregel für Logarithmen
• Potenzgesetze, darunter $(b^x)^p = b^{px}$ und $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Diskussionsstarter

1. Wenn ein Logarithmus ein Exponent ist, was passiert mit ihm, wenn du das Argument hoch drei nimmst?
2. Warum ist $\log \sqrt{x}$ die Hälfte von $\log x$ und nicht das Doppelte?
3. Wie kannst du herausfinden, wie viele Stellen $2^{100}$ hat, ohne die Zahl auszurechnen?
4. Der Rechner zeigt $\log(100^3) = 6$ , aber $(\log 100)^3 = 8$ . Was davon folgt aus der Potenzregel, und warum?

Häufige Missverständnisse

Glauben, dass $(\log x)^2 = 2 \log x$ ist

Abhilfe: Teste mit $x = 1000$ : $(\log 1000)^2 = 9$ , aber $2 \log 1000 = 6$ . Zeige dann die drei Kurven im Graphen und lass die Lernenden herausfinden, wo sie sich unterscheiden.

Einen Exponenten verschieben, der nur zu einem Faktor gehört ( $\log 5x^3 = 3 \log 5x$ )

Abhilfe: Lass die Lernenden vor jeder Regel einkreisen, wozu der Exponent genau gehört. Immer zuerst die Produktregel, dann die Potenzregel anwenden.

Denken, dass die Potenzregel nur für ganzzahlige Exponenten gilt

Abhilfe: Leite die Regel aus $(b^x)^p = b^{px}$ her, was für jedes reelle $p$ gilt, und übe mit Wurzeln und negativen Exponenten.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit Potenzen der Basis: $\log_2(2^5)$ , $\log_2(4^3)$ , $\log 10^7$
• Gib eine Checkliste: beim Zerlegen Produktregel, Quotientenregel, Potenzregel in dieser Reihenfolge
• Jede Umformung mit dem Taschenrechner prüfen, bevor es weitergeht

Für Schüler auf Niveau:

• Terme mit drei Variablen und Wurzeln zerlegen und zusammenfassen
• Logarithmen wie $\log 72$ oder $\log 48$ aus $\log 2$ und $\log 3$ näherungsweise bestimmen
• Jeden Schritt mit dem Namen der verwendeten Regel begründen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die Potenzregel aus der Definition und den Potenzgesetzen beweisen
• Mit der Potenzregel die Stellen von $3^{100}$ oder $2^{1000}$ zählen
• Mit dem Graphen untersuchen, warum $\log(x^2) = 2 \log |x|$ für alle $x \neq 0$ gilt

Standardausrichtung

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen als Umkehrung verstehen und zum Lösen von Aufgaben nutzen
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Die Lösung eines exponentiellen Modells als Logarithmus ausdrücken und mit Technologie berechnen
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zum Umformen zu erkennen

Lektionsressourcen

visualGraph mit drei Kurven
Vergleiche $y = \log(x^2)$ , $y = 2 \log x$ und $y = (\log x)^2$ mit ihren Wertetabellen
activityTaschenrechner-Probe
Die Lernenden prüfen Aussagen wie $\log 8 = 3 \log 2$ und $\log(100^3) = (\log 100)^3$ im Rechner
worksheetZerlegen-und-Zusammenfassen-Staffel
Paare wechseln sich ab: Einer zerlegt einen Logarithmus, der andere fasst ihn wieder zusammen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Potenzregel für Logarithmen besagt, dass ein Exponent im Argument als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden darf:

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Sie gilt für jeden reellen Exponenten

p

, solange

M > 0

b > 0

und

b \neq 1

ist.

Warum sie gilt: Setze

x = \log_b M

, also

M = b^x

. Dann ist

M^p = (b^x)^p = b^{px}

, und der Logarithmus von

b^{px}

ist einfach

px

. Also ist

\log_b(M^p) = p \cdot x = p \cdot \log_b M

Auch Wurzeln sind Potenzen. Wegen

\sqrt[n]{M} = M^{1/n}

gilt:

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Beispiel:

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

und

\log \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Zusammen mit der Produktregel (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) und der Quotientenregel (

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

) kannst du mit der Potenzregel einen Logarithmus in viele einfache zerlegen oder mehrere Logarithmen zu einem zusammenfassen.

Lösungsbeispiele

Berechne $\log_2(8^5)$ ohne Taschenrechner.

Ziehe den Exponenten nach vorne

$\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ → $5 \log_2 8$

Berechne den einfacheren Logarithmus

$2^3 = 8$ , also ist $\log_2 8 = 3$

Multipliziere

$5 \cdot 3 = 15$

Antwort: $\log_2(8^5) = 15$ . Probe: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ .

Häufige Fehler

$(\log M)^p$ wie $p \log M$ behandeln

Warum es falsch ist: Die Potenzregel gilt nur, wenn der Exponent am Argument steht, also im Logarithmus. Bei $(\log M)^p$ wird der ganze Logarithmus potenziert. Beispiel: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , aber $3 \log 100 = 6$ .

Richtig: $\log(M^p) = p \log M$ , während sich $(\log M)^p$ mit der Potenzregel nicht vereinfachen lässt. Schau nach, wo der Exponent steht, bevor du ihn verschiebst.

Den Exponenten auf das ganze Argument anwenden: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Warum es falsch ist: In $3x^2$ wird nur $x$ quadriert, nicht die $3$ . Probe mit $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$ , aber $2 \log 30 \approx 2{,}95$ .

Richtig: Zerlege zuerst das Produkt: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$ .

Aus der Quadratwurzel einen Faktor 2 machen: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Warum es falsch ist: Eine Quadratwurzel ist die Potenz $\frac{1}{2}$ , nicht die Potenz $2$ . Der Wurzelexponent kommt in den Nenner.

Richtig: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ und $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$ .

$3 \log x - \log y$ zu $\log \frac{3x}{y}$ zusammenfassen

Warum es falsch ist: Ein Vorfaktor vor einem Logarithmus ist ein Exponent des Arguments, kein Faktor davon.

Richtig: Mache den Vorfaktor zuerst zum Exponenten: $3 \log x = \log x^3$ . Dann ist $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$ .

Warum es wichtig ist

Die Potenzregel macht Logarithmen erst richtig nützlich:

Exponentialgleichungen lösen: In $1{,}05^t = 2$ steht die Unbekannte im Exponenten. Logarithmieren und die Potenzregel liefern $t \cdot \log 1{,}05 = \log 2$ , der Exponent wird also zu einem normalen Faktor.
Riesige Zahlen: $\log(2^{64}) = 64 \log 2 \approx 19{,}3$ verrät dir sofort, dass $2^{64}$ 20 Stellen hat, ohne dass du die Zahl ausrechnest.
Skalen in den Naturwissenschaften: Dezibel, pH-Wert und Richterskala beruhen auf Logarithmen; die Potenzregel erklärt, warum sich die Dezibeländerung verdoppelt, wenn man das Intensitätsverhältnis quadriert.
Analysis: Bevor du ein kompliziertes Produkt von Potenzen ableitest, zerlegst du seinen Logarithmus mit der Potenzregel.

Sie ist das letzte der drei wichtigen Logarithmengesetze, und ab jetzt brauchst du alle drei zusammen in fast jeder Aufgabe mit Logarithmen.

Anwendungen im echten Leben

Lautstärke in Dezibel

Die Änderung des Schallpegels beträgt $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ Dezibel, wobei $\frac{I_2}{I_1}$ angibt, wievielmal größer die Intensität wird. Die Potenzregel macht aus Zehnerpotenzen eine einfache Multiplikation.

Beispiel:

Verdoppelst du deinen Abstand zum Lautsprecher, sinkt die Intensität auf ein Viertel ( $2^2 = 4$ ), also $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

1Probiere es selbst

Du stehst 2 m von einem Lautsprecher entfernt und gehst auf 20 m zurück. Die Schallintensität nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab, sie wird also durch $\left(\frac{20}{2}\right)^2$ geteilt. Der Pegel sinkt um $10 \log\left(\left(\frac{20}{2}\right)^2\right)$ Dezibel.

Um wie viele Dezibel sinkt der Schallpegel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $10 \log(10^2)$ :

Stellen riesiger Zahlen zählen

Eine natürliche Zahl $N$ hat $\lfloor \log N \rfloor + 1$ Stellen. Mit der Potenzregel zählst du die Stellen riesiger Potenzen, ohne sie auszurechnen.

Beispiel:

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ , also hat $2^{10} = 1024$ genau $3 + 1 = 4$ Stellen.

2Probiere es selbst

Computer verwenden oft $64$ -Bit-Zahlen, und $2^{64}$ ist die Anzahl der verschiedenen Werte, die sie speichern können. Verwende $\log 2 \approx 0{,}301$ .

Wie viele Stellen hat $2^{64}$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Anzahl der Stellen: $\lfloor 64 \log 2 \rfloor + 1$

Bevölkerungswachstum

Eine Bevölkerung, die jedes Jahr um einen festen Prozentsatz wächst, ist eine Exponentialfunktion der Zeit. Um herauszufinden, wann sie eine Zielgröße erreicht, holt die Potenzregel die Zeit aus dem Exponenten.

Beispiel:

Bei 10 % Wachstum pro Jahr verdoppelt sich eine Bevölkerung, wenn $1{,}1^t = 2$ ist: $t \log 1{,}1 = \log 2$ , also $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ Jahre.

3Probiere es selbst

Eine Stadt hat 20000 Einwohner und wächst um 3 % pro Jahr. Nach $t$ Jahren hat sie $20000 \cdot 1{,}03^t$ Einwohner.

Nach wie vielen vollen Jahren hat die Stadt mindestens 30000 Einwohner?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Runde $t = \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}03}$ auf ganze Jahre auf:

Wichtige Erkenntnisse

1Potenzregel: $\log_b(M^p) = p \log_b M$ für $M > 0$ und jeden reellen Exponenten $p$
2Wurzeln sind Bruchpotenzen: $\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M$
3Ein Kehrwert ist die Potenz $-1$ : $\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M$
4Zerlegen: zuerst Produkte und Quotienten aufteilen, dann jeden Exponenten nach vorne ziehen
5Zusammenfassen: zuerst jeden Vorfaktor zum Exponenten machen, dann Summen zu Produkten und Differenzen zu Quotienten verbinden
6 $(\log M)^p$ ist nicht $p \log M$ : Der Exponent muss im Logarithmus stehen

Häufig gestellte Fragen

Warum gilt die Potenzregel?

Ein Logarithmus ist ein Exponent. Wenn

\log_b M = x

ist, dann gilt

M = b^x

und

M^p = b^{px}

. Potenzieren mit

p

multipliziert den Exponenten mit

p

, also wird auch der Logarithmus (der Exponent) mit

p

multipliziert.

Muss der Exponent eine ganze Zahl sein?

Nein. Die Potenzregel gilt für jeden reellen Exponenten: negative (

\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M

), gebrochene (

\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M

) und sogar irrationale.

Sind $\log(x^2)$ und $2 \log x$ wirklich dieselbe Funktion?

Nur für

x > 0

. Die Funktion

\log(x^2)

ist auch für negative

x

definiert (zum Beispiel

\log((-10)^2) = \log 100 = 2

2 \log x

dagegen nicht. Für alle

x \neq 0

lautet die genaue Aussage

\log(x^2) = 2 \log |x|

. Der Graph oben zeigt beide Kurven.

Wann zerlege ich und wann fasse ich zusammen?

Zerlege, wenn du einfache Bausteine brauchst, zum Beispiel um

\log 72

aus

\log 2

und

\log 3

näherungsweise zu bestimmen. Fasse zusammen, wenn du einen einzigen Logarithmus brauchst, etwa um eine Gleichung wie

2 \log x - \log 4 = 2

zu lösen (siehe Logarithmusgleichungen lösen).

Glossar

Potenzregel: Das Logarithmengesetz $\log_b(M^p) = p \log_b M$
Exponent: Die Hochzahl, die angibt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt, wie in $M^p$
Bruchpotenz: Eine Potenz mit einem Bruch als Exponent; $M^{1/n}$ ist die $n$ -te Wurzel aus $M$
Zerlegen: Einen Logarithmus als Summe und Differenz einfacherer Logarithmen schreiben
Zusammenfassen: Mehrere Logarithmen als einen einzigen Logarithmus schreiben
Vorfaktor: Eine Zahl, die einen Logarithmus multipliziert, wie die $3$ in $3 \log x$ ; die Potenzregel macht daraus einen Exponenten

Formelkarte

Potenzregel

\log_b(M^p) = p \log_b M

Der Exponent des Arguments wandert nach vorne

Wurzelregel

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Weil $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$ ist

Kehrwert

\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M

Weil $\frac{1}{M} = M^{-1}$ ist

Produktregel

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Zur Erinnerung: Produkte werden zu Summen

Quotientenregel

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Zur Erinnerung: Quotienten werden zu Differenzen

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Lautstärke in Dezibel

Stellen riesiger Zahlen zählen

Bevölkerungswachstum

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Potenzregel

Wurzelregel

Kehrwert

Produktregel

Quotientenregel

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