Logarithmusgleichungen lösen

Lösung: $x = 4^3$

$\log_b A = c \iff A = b^c$. Hier ist $b = 4$ und $c = 3$, also $x = 4^3 = 64$.

Lösung: 125

$x = 5^3 = 125$. Probe: $\log_5 125 = 3$, weil $5^3 = 125$.

Lösung: 19

1. Schreibe in Exponentialform: $x - 3 = 4^2$. Was ist $4^2$? 16
2. Löse $x - 3 = 16$. Was ist $x$? 19
3. Probe der Definitionsmenge: Welchen Wert hat das Argument $x - 3$ für dein $x$? (Es muss positiv sein.) 16

Lösung: $x = 4$

Das Argument muss positiv sein: $x - 5 > 0$, also $x > 5$. Für $x = 4$ ist das Argument $4 - 5 = -1$, und $\log_3(-1)$ ist nicht definiert.

Lösung: 3

$3x - 1 = 2^3 = 8$, also $3x = 9$ und $x = 3$. Probe: Das Argument $3 \cdot 3 - 1 = 8$ ist positiv und $\log_2 8 = 3$.

Lösung: 7.39

1. Schreibe in Exponentialform: $x = e^{\square}$. Wie lautet der Exponent? 2
2. Berechne $e^2$ und runde auf zwei Nachkommastellen. 7.39

Lösung: 5

1. Setze die Argumente gleich: $5x - 4 = 2x + 11$. Ordne: $3x = \square$ 15
2. Was ist $x$? 5
3. Probe: Welchen Wert hat das Argument $5x - 4$ für dieses $x$? 21

Lösung: 6

Potenzregel: $\log_5(x^2) = \log_5 36$, also $x^2 = 36$ und $x = 6$ oder $x = -6$. In der ursprünglichen Gleichung ist $\log_5(-6)$ nicht definiert, also ist $x = -6$ eine Scheinlösung. Die Lösung ist $x = 6$.

Lösung: $\frac{\log 50}{\log 7}$

$\log(7^x) = \log 50$ ergibt $x \log 7 = \log 50$, also $x = \frac{\log 50}{\log 7} \approx 2{,}01$. Beachte: $\log \frac{50}{7}$ und $\log 50 - \log 7$ sind dieselbe Zahl (etwa $0{,}85$) und falsch.

Lösung: 2.29

1. Nach der Potenzregel hast du $x \log 5 = \log 40$. Was ist $\log 40$, auf drei Nachkommastellen gerundet? 1.602
2. Was ist $\log 5$, auf drei Nachkommastellen gerundet? 0.699
3. Teile: $x = \frac{\log 40}{\log 5}$. Runde $x$ auf zwei Nachkommastellen. 2.29

Lösung: 4.32

$x \log 2 = \log 20$, also $x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32$. Das passt zur Schätzung $2^4 = 16 < 20 < 32 = 2^5$.

Lösung: 2

1. Fasse zusammen: $\log_2 \frac{x + 6}{x - 1} = 3$. Schreibe in Exponentialform: $\frac{x + 6}{x - 1} = \square$ 8
2. Multipliziere mit $(x - 1)$: $x + 6 = 8x - 8$. Ordne: $7x = \square$ 14
3. Was ist $x$? (Prüfe, dass $x - 1$ positiv ist.) 2

Lösung: 2

1. Fasse zusammen: $\log_6\big(x(x + 1)\big) = 1$. Exponentialform: $x(x + 1) = \square$ 6
2. $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$. Wie lautet der positive Kandidat? 2
3. Wie lautet der andere Kandidat? -3
4. Welcher Kandidat ist die Lösung? (Alle Argumente müssen positiv sein.) 2

Lösung: nur $x = 8$

$\log_2\big(x(x - 6)\big) = 4$, also $x^2 - 6x = 16$, $x^2 - 6x - 16 = 0$, $(x - 8)(x + 2) = 0$. Beim Kandidaten $x = -2$ ist $\log_2(-2)$ nicht definiert, also bleibt nur $x = 8$: $\log_2 8 + \log_2 2 = 3 + 1 = 4$ ✓

Lösung: 9

1. Fasse zusammen und schreibe um: $x(x - 8) = 3^2 = \square$ 9
2. $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x + 1) = 0$. Wie lautet der positive Kandidat? 9
3. Wie lautet der andere Kandidat? -1
4. Welcher Kandidat ist die Lösung? (Prüfe die Argumente $x$ und $x - 8$.) 9

Lösung: 1

$\log \frac{x + 9}{x} = 1$, also $\frac{x + 9}{x} = 10$, $x + 9 = 10x$, $9x = 9$, $x = 1$. Probe: $\log 10 - \log 1 = 1 - 0 = 1$ ✓

Lösung: nur $x = 2$

$\log\big(x(x + 3)\big) = 1$, also $x^2 + 3x = 10$, $(x + 5)(x - 2) = 0$. Für $x = -5$ sind $\log(-2)$ und $\log(-5)$ nicht definiert, also ist es eine Scheinlösung. Die Lösung ist $x = 2$: $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ ✓

Lösung: 3.93

1. Teile beide Seiten durch 4. $3^{x - 1} = \square$ 25
2. Logarithmiere: $x - 1 = \frac{\log 25}{\log 3}$. Runde $x - 1$ auf zwei Nachkommastellen. 2.93
3. Was ist $x$, auf zwei Nachkommastellen gerundet? 3.93