Leitfaden für Lehrer: Logarithmusgleichungen lösen

Löse Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Logarithmus steht, erkenne Scheinlösungen und löse Exponentialgleichungen wie 3^x = 20 mit Logarithmen.

Lektion präsentierenSchülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Logarithmusgleichungen durch Umschreiben in Exponentialform lösen
Gleichungen mit Logarithmen auf beiden Seiten mithilfe der Eindeutigkeit des Logarithmus lösen
Summen und Differenzen von Logarithmen vor dem Lösen zusammenfassen sowie Scheinlösungen erkennen und verwerfen
Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen durch Logarithmieren lösen und exakte sowie gerundete Ergebnisse angeben

Voraussetzungen

• Definition des Logarithmus (Umrechnen zwischen Logarithmus- und Exponentialform)
• Produkt-, Quotienten- und Potenzregel für Logarithmen
• Basiswechselformel
• Exponentialgleichungen lösen (Methode der gleichen Basis)
• Lineare und quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Diskussionsstarter

1. Warum darfst du die Logarithmen in $\log_5 A = \log_5 B$ weglassen, aber nicht in $\log_5 A + \log_5 B = 2$ ?
2. Die Gleichung $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ liefert die Kandidaten $4$ und $-2$ . Woher kommt der zweite?
3. Kann $\log_3 x = -2$ eine Lösung haben, obwohl die rechte Seite negativ ist? Und $\log_3 x = 0$ ?
4. Woran erkennst du schon vor dem Taschenrechner, dass die Lösung von $3^x = 20$ zwischen $2$ und $3$ liegt?

Häufige Missverständnisse

Jede Zahl, die beim Lösen herauskommt, ist eine Lösung

Abhilfe: Mache die Probe der Definitionsmenge zum festen letzten Schritt. Zeige die Graphen von $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ und $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ : Für $x > 2$ stimmen sie überein, aber nur der zusammengefasste existiert für $x < 0$ .

Ein negativer Wert von $x$ ist immer eine Scheinlösung

Abhilfe: Nutze $\log_2(x + 5) = 1$ , wo $x = -3$ eine gültige Lösung ist. Betone, dass die Argumente positiv sein müssen, nicht $x$ selbst.

$\frac{\log 20}{\log 3}$ ist gleich $\log \frac{20}{3}$

Abhilfe: Lass beide Terme mit dem Taschenrechner auswerten: $2{,}73$ gegenüber etwa $0{,}82$ . Die Quotientenregel betrifft den Logarithmus eines Quotienten, nicht einen Quotienten von Logarithmen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit direkten Gleichungen wie $\log_2 x = 5$ beginnen und nur das Umschreiben in Exponentialform üben
• Eine feste Checkliste vorgeben: zusammenfassen, umschreiben, lösen, Definitionsmenge prüfen
• Eine Tabelle mit Potenzen von 2, 3, 5 und 10 bereitstellen, um Werte wie $81 = 3^4$ zu erkennen

Für Schüler auf Niveau:

• Gleichungen mit Logarithmen auf beiden Seiten und mit einem Term im Logarithmus lösen
• Gleichungen lösen, die nach dem Zusammenfassen quadratisch werden, und den falschen Kandidaten verwerfen
• Exponentialgleichungen wie $5^x = 40$ lösen und auf zwei Nachkommastellen runden

Für fortgeschrittene Schüler:

• Gleichungen mit Logarithmen verschiedener Basen lösen, indem zuerst die Basiswechselformel angewendet wird
• Exponentialgleichungen mit der Unbekannten auf beiden Seiten, etwa $2^{x+1} = 3^x$ , durch Logarithmieren lösen
• Eine Gleichung konstruieren, bei der beide Kandidaten Scheinlösungen sind, und begründen, warum sie keine Lösung hat

Standardausrichtung

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Bei Exponentialmodellen die Lösung von ab^(ct) = d als Logarithmus ausdrücken, wobei a, c und d Zahlen sind und die Basis b gleich 2, 10 oder e ist; den Logarithmus mit Technologie auswerten
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Die Umkehrbeziehung zwischen Potenzen und Logarithmen verstehen und nutzen, um Aufgaben mit Logarithmen und Exponenten zu lösen
HSA-REI.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.2)
Einfache Gleichungen mit einer Variablen lösen und Beispiele angeben, wie Scheinlösungen entstehen können
HSA-REI.D.11 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.D.11)
Erklären, warum die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von y = f(x) und y = g(x) die Lösungen der Gleichung f(x) = g(x) sind

Lektionsressourcen

visualZwei Graphen, eine Gleichung
Die Schülerinnen und Schüler vergleichen die Graphen der ursprünglichen und der zusammengefassten Gleichung und sehen, woher die Scheinlösung kommt
activityAnnehmen oder verwerfen
Karten mit einer Gleichung und einem Kandidaten: Die Lernenden setzen ein und entscheiden, ob alle Argumente positiv bleiben
worksheetÜbungen zu Logarithmusgleichungen
Gleichungen von der Exponentialform bis zum Zusammenfassen mit Scheinlösungen, mit einer Spalte für die Probe der Definitionsmenge

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Logarithmusgleichung ist eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Argument eines Logarithmus steht, zum Beispiel

\log_2 x = 3

oder

\log_3(2x + 1) = 2

Zwei Werkzeuge lösen fast jede Logarithmusgleichung:

1. In Exponentialform umschreiben. Ein Logarithmus ist ein Exponent, also gilt

\log_b A = c \iff A = b^c

Zum Beispiel bedeutet

\log_2 x = 3

, dass

x = 2^3 = 8

ist. Im Graphen trifft die Gerade

y = 3

die Kurve

y = \log_2 x

genau bei

x = 8

2. Die Eindeutigkeit des Logarithmus nutzen. Sind zwei Logarithmen mit derselben Basis gleich, dann sind auch ihre Argumente gleich:

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Das Verfahren:

1.Zusammenfassen: Fasse jede Seite mit der Produkt-, Quotienten- und Potenzregel zu einem einzigen Logarithmus zusammen.
2.Umschreiben: in Exponentialform, oder die Argumente gleichsetzen.
3.Lösen: die entstehende Gleichung (meist linear oder quadratisch).
4.Definitionsmenge prüfen: Jedes Argument in der URSPRÜNGLICHEN Gleichung muss positiv sein. Ein Kandidat, der ein Argument null oder negativ macht, ist eine Scheinlösung und wird verworfen.

Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen. Wenn sich die beiden Seiten einer Exponentialgleichung nicht mit derselben Basis schreiben lassen, logarithmierst du beide Seiten und wendest die Potenzregel an:

3^x = 20 \implies x \log 3 = \log 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Dabei ist

\log

der dekadische Logarithmus (Zehnerlogarithmus, manchmal auch

\lg

geschrieben). Der natürliche Logarithmus

\ln

liefert dasselbe Ergebnis.

Lösungsbeispiele

Löse $\log_2 x = 3$ .

Die Teile benennen

Basis $2$ , Argument $x$ , Wert des Logarithmus $3$ → $\log_2 x = 3$

In Exponentialform umschreiben

$\log_b A = c \iff A = b^c$ → $x = 2^3$

Die Potenz berechnen

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → $x = 8$

Probe

$\log_2 8 = 3$ , weil $2^3 = 8$ ✓, und das Argument $8$ ist positiv → Die Lösung ist gültig

Antwort: $x = 8$

Häufige Fehler

Beide Kandidaten behalten: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ oder $x = -2$

Warum es falsch ist: Nach dem Zusammenfassen zu $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ scheinen negative $x$ erlaubt, weil das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist. Die ursprüngliche Gleichung enthält aber $\log_2 x$ , und das ist für $x = -2$ nicht definiert.

Richtig: Prüfe jeden Kandidaten in der URSPRÜNGLICHEN Gleichung. Nur $x = 4$ passt, $x = -2$ ist eine Scheinlösung.

Die Logarithmen einfach weglassen: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Warum es falsch ist: Logarithmen dürfen nur wegfallen, wenn jede Seite ein einzelner Logarithmus zur selben Basis ist (Eindeutigkeit). Hier steht links eine Summe von Logarithmen und rechts eine Zahl.

Richtig: Erst zusammenfassen, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , dann in Exponentialform: $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .

Basis und Exponent vertauschen: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Warum es falsch ist: In $\log_b A = c$ wird die Basis $b$ mit $c$ potenziert. Die Basis des Logarithmus bleibt die Basis der Potenz.

Richtig: $2x + 1 = 3^2 = 9$ , also $x = 4$ . Probe: $\log_3 9 = 2$ ✓

Dividieren statt logarithmieren: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Warum es falsch ist: $3^x$ ist eine Potenz, nicht das Produkt $3 \cdot x$ . Eine schnelle Probe zeigt den Fehler: $3^{6{,}67}$ ist etwa $1500$ , viel mehr als $20$ .

Richtig: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$ . Achtung: $\frac{\log 20}{\log 3}$ ist NICHT dasselbe wie $\log \frac{20}{3}$ .

Warum es wichtig ist

Logarithmusgleichungen beantworten Fragen nach dem Wie lange? und dem Wie stark?, immer wenn etwas um einen festen Faktor wächst oder schrumpft:

Finanzen: Nach wie vielen Jahren hat sich ein Guthaben bei 8 % Zinsen verdoppelt? Löse $1{,}08^t = 2$ .
Biologie: Wann erreicht eine Bakterienkultur eine Zielgröße, die keine Zweierpotenz ist?
Akustik: Wie viel stärker ist ein Rasenmäher mit 90 dB als das leiseste Geräusch, das du hören kannst?
Chemie und Geologie: pH-Wert und Richterskala sind Logarithmen. Wer die Konzentration oder Energie dahinter bestimmen will, muss eine Logarithmusgleichung lösen.

In der Lektion Exponentialgleichungen lösen konntest du nur sagen, dass die Lösung von

2^x = 20

zwischen

4

und

5

liegt. Mit Logarithmen bekommst du den genauen Wert

x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32

. Und die Probe mit der Definitionsmenge brauchst du bei jeder Gleichung mit Wurzeln, Brüchen oder Logarithmen wieder.

Anwendungen im echten Leben

Das Ersparte verdoppeln

Geld, das jedes Jahr um einen festen Prozentsatz wächst, folgt $A = P \cdot (1 + r)^t$. Löst du mit Logarithmen nach dem Exponenten $t$ auf, weißt du, wann ein Sparziel erreicht ist.

Beispiel:

Bei 6 % Zinsen pro Jahr verdoppelt sich Geld, wenn $1{,}06^t = 2$ ist, also nach $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ Jahren.

1Probiere es selbst

Du legst 1000 € auf ein Sparkonto mit 8 % Zinsen pro Jahr. Nach $t$ Jahren hast du $1000 \cdot 1{,}08^t$ Euro.

Nach wie vielen Jahren hat sich das Geld auf 2000 € verdoppelt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $1000 \cdot 1{,}08^t = 2000$ und schreibe den exakten Wert von $t$ als Quotienten zweier Logarithmen, in der Form ln(a)/ln(b) (noch nicht runden):

Lautstärke in Dezibel

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \log r$, wobei $r = \frac{I}{I_0}$ die Intensität eines Geräuschs mit dem leisesten hörbaren Geräusch vergleicht.

Beispiel:

Ein normales Gespräch hat etwa 60 dB: $10 \log r = 60$ ergibt $\log r = 6$ , also $r = 10^6$ , eine Million Mal die Hörschwelle.

2Probiere es selbst

Ein Rasenmäher erreicht 90 dB. Sein Intensitätsverhältnis $r$ erfüllt $10 \log r = 90$ .

Wie groß ist das Intensitätsverhältnis $r$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe $r$ als Zehnerpotenz:

Wachsende Bakterien

Eine Kolonie, die sich jede Stunde verdoppelt, folgt $N = N_0 \cdot 2^t$. Ist die Zielgröße keine Zweierpotenz, liefern Logarithmen die genaue Zeit.

Beispiel:

Eine Kolonie mit 200 Zellen erreicht 1000 Zellen, wenn $2^t = 5$ ist, also nach $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ Stunden.

3Probiere es selbst

Eine Kultur beginnt mit 500 Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde.

Nach wie vielen Stunden sind es 6000 Bakterien?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $500 \cdot 2^t = 6000$ und schreibe den exakten Wert von $t$ als Quotienten zweier Logarithmen, in der Form ln(a)/ln(b) (noch nicht runden):

Wichtige Erkenntnisse

1Bei einer Logarithmusgleichung steht die Unbekannte im Logarithmus, zum Beispiel $\log_2 x = 3$
2In Exponentialform umschreiben: $\log_b A = c \iff A = b^c$
3Eindeutigkeit des Logarithmus: Aus $\log_b M = \log_b N$ folgt $M = N$
4Fasse Summen und Differenzen von Logarithmen vor dem Lösen zu einem einzigen Logarithmus zusammen
5Prüfe jeden Kandidaten in der URSPRÜNGLICHEN Gleichung: Alle Argumente müssen positiv sein, sonst ist der Kandidat eine Scheinlösung
6Bei Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen logarithmierst du: $3^x = 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Häufig gestellte Fragen

Warum entstehen überhaupt Scheinlösungen?

Das Zusammenfassen verändert die Definitionsmenge.

\log_2 x + \log_2(x - 2)

braucht

x > 2

, aber

\log_2\big(x(x - 2)\big)

braucht nur

x(x - 2) > 0

, und das gilt auch für

x < 0

. Die zusammengefasste Gleichung kann also Lösungen haben, die die ursprüngliche nicht hat. Deshalb machst du die Probe immer in der ursprünglichen Gleichung.

Ist eine negative Lösung immer eine Scheinlösung?

Nein. Entscheidend ist das Vorzeichen jedes Arguments, nicht das von

x

. Bei

\log_2(x + 5) = 1

erhältst du

x + 5 = 2

, also

x = -3

, und das Argument

-3 + 5 = 2

ist positiv. Die Lösung

x = -3

ist gültig.

Soll ich log oder ln benutzen, um $3^x = 20$ zu lösen?

Beides geht.

\frac{\log 20}{\log 3}

und

\frac{\ln 20}{\ln 3}

ergeben dieselbe Zahl, etwa

2{,}73

. Das ist genau die Basiswechselformel: Beide sind gleich

\log_3 20

Kann eine Logarithmusgleichung keine Lösung haben?

Ja. Bei

\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)

liefern die Argumente

x - 4 = 2x - 1

, also

x = -3

. Dann sind aber beide Argumente

-7

, und das ist nicht erlaubt. Der einzige Kandidat fällt weg, die Gleichung hat also keine Lösung.

Glossar

Logarithmusgleichung: Eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Argument eines Logarithmus steht, zum Beispiel $\log_3(2x + 1) = 2$
Exponentialform: Die Potenzschreibweise eines Logarithmus: $\log_b A = c$ wird zu $A = b^c$
Eindeutigkeit des Logarithmus: Aus $\log_b M = \log_b N$ folgt $M = N$ (für $M, N > 0$ )
Kandidat: Ein Wert, den du beim Lösen findest und der noch in der ursprünglichen Gleichung geprüft werden muss
Scheinlösung: Ein Kandidat, der ein Argument der ursprünglichen Gleichung null oder negativ macht und deshalb verworfen wird
Definitionsmenge eines Logarithmus: Die Werte, für die $\log_b A$ definiert ist: Das Argument muss positiv sein, $A > 0$

Formelkarte

Exponentialform

\log_b A = c \iff A = b^c

Gilt für $b > 0$, $b \neq 1$. Verwende sie, wenn auf einer Seite ein einzelner Logarithmus und auf der anderen eine Zahl steht.

Eindeutigkeit des Logarithmus

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Verwende sie, wenn auf beiden Seiten ein einzelner Logarithmus zur selben Basis steht.

Probe der Definitionsmenge

A > 0

Jedes Argument $A$ eines Logarithmus in der ursprünglichen Gleichung muss positiv sein. Sonst ist der Kandidat eine Scheinlösung.

Beide Seiten logarithmieren

b^x = c \implies x = \frac{\log c}{\log b} = \frac{\ln c}{\ln b}

Löst Exponentialgleichungen, deren Seiten sich nicht mit derselben Basis schreiben lassen, zum Beispiel $3^x = 20$.

Mehr zu diesem Thema

Leitfaden für Lehrer: Logarithmusgleichungen lösen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Das Ersparte verdoppeln

Lautstärke in Dezibel

Wachsende Bakterien

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Exponentialform

Eindeutigkeit des Logarithmus

Probe der Definitionsmenge

Beide Seiten logarithmieren

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Logarithmen

Definition des Logarithmus

Dekadischer Logarithmus (Basis 10)

Natürlicher Logarithmus (ln)