Standardnormalverteilung

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welchen Mittelwert und welche Standardabweichung hat die Standardnormalverteilung $N(0, 1)$ ?
1. a) $\mu = 1$ , $\sigma = 0$
2. b) $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
3. c) $\mu = 1$ , $\sigma = 1$
4. d) $\mu = 0$ , $\sigma = 0$
Lösung: $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
Die Standardnormalverteilung hat ihr Zentrum bei $\mu = 0$ und die Streuung $\sigma = 1$ . Deshalb ist ein Wert von $Z$ direkt eine Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert.
2.
Die z-Tabelle liefert $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ . Bestimme $P(Z > 0{,}5)$ .
Lösung: 0.3085
$P(Z > 0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ .
3.
Lies $P(Z \le 1{,}28)$ in der z-Tabelle ab. Ausschnitt: Zeile $1{,}2$ hat $0{,}8980$ in Spalte $0{,}07$ , $0{,}8997$ in Spalte $0{,}08$ und $0{,}9015$ in Spalte $0{,}09$ .
Lösung: 0.8997
1. Welche Zeile nimmst du (z mit einer Nachkommastelle)? 1.2
2. Welche Spalte nimmst du (die zweite Nachkommastelle)? 0.08
3. Welchen Wert liest du ab? 0.8997
4.
Die z-Tabelle zeigt $0{,}8413$ für $z = 1$ . Was bedeutet diese Zahl?
1. a)Die Höhe der Kurve bei $z = 1$
2. b)Die Fläche links von $z = 1$
3. c)Die Fläche zwischen $-1$ und $1$
4. d)Die Fläche rechts von $z = 1$
Lösung: Die Fläche links von $z = 1$
Die Tabelle gibt die kumulierte Fläche links an: $\Phi(1) = P(Z \le 1) = 0{,}8413$ . Die Fläche rechts von $z = 1$ ist $1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ .
5.
Bestimme $P(Z < 0)$ für die standardnormalverteilte Zufallsgröße $Z$ . Gib eine Dezimalzahl an.
Lösung: 0.5
Die Kurve ist symmetrisch zum Mittelwert 0, also liegt genau die Hälfte der Fläche links: $\Phi(0) = 0{,}5$ .
6.
Bestimme $P(Z > 2)$ . Die z-Tabelle liefert $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Lösung: 0.0228
1. Wie groß ist die Fläche links von $z = 2$ ? 0.9772
2. Wie viel ist $1 - 0{,}9772$ ? 0.0228
7.
Die Tabelle liefert $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ . Welcher Term ist gleich $P(Z < -1{,}2)$ ?
1. a) $-0{,}8849$
2. b) $1 - 0{,}8849$
3. c) $0{,}8849 - 0{,}5$
4. d) $0{,}8849$
Lösung: $1 - 0{,}8849$
Wegen der Symmetrie gilt $\Phi(-1{,}2) = 1 - \Phi(1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$ . Eine Fläche kann nicht negativ sein, und $0{,}8849$ wäre mehr als die halbe Kurve links von einem negativen $z$ .
8.
Bestimme $P(Z < -0{,}25)$ mithilfe der Symmetrie. Die Tabelle liefert $\Phi(0{,}25) = 0{,}5987$ .
Lösung: 0.4013
1. Wegen der Symmetrie ist $P(Z < -0{,}25) = P(Z > 0{,}25)$ . Wie groß ist $\Phi(0{,}25)$ ? 0.5987
2. Wie viel ist $1 - 0{,}5987$ ? 0.4013
9.
Die Tabelle liefert $\Phi(1{,}75) = 0{,}9599$ . Bestimme $P(Z < -1{,}75)$ .
Lösung: 0.0401
$\Phi(-1{,}75) = 1 - \Phi(1{,}75) = 1 - 0{,}9599 = 0{,}0401$ .
10.
Bestimme $P(0{,}5 < Z < 1{,}5)$ . Tabelle: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .
Lösung: 0.2417
1. Wie groß ist die linke Fläche bis zur oberen Grenze, $\Phi(1{,}5)$ ? 0.9332
2. Wie groß ist die linke Fläche bis zur unteren Grenze, $\Phi(0{,}5)$ ? 0.6915
3. Wie viel ist $0{,}9332 - 0{,}6915$ ? 0.2417
11.
Ein Mitschüler hat $P(-2 < Z < 2)$ mit der z-Tabelle berechnet. Welches Ergebnis besteht die 68-95-99,7-Kontrolle?
1. a) $0{,}4772$
2. b) $0{,}9974$
3. c) $0{,}9544$
4. d) $0{,}6826$
Lösung: $0{,}9544$
Innerhalb von $\pm 2$ Standardabweichungen liegen etwa 95 %. Die Tabelle liefert $\Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544$ . $0{,}6826$ gehört zu $\pm 1$ , $0{,}9974$ zu $\pm 3$ , und $0{,}4772$ ist nur die Hälfte von 0 bis 2.
12.
Bestimme $P(-1 < Z < 1)$ mit dem Tabellenwert $\Phi(1) = 0{,}8413$ und vergleiche dann mit der 68-95-99,7-Regel.
Lösung: 0.6826
1. Wie groß ist $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ ? 0.1587
2. Wie viel ist $0{,}8413 - 0{,}1587$ ? 0.6826
3. Runde dein Ergebnis auf ganze Prozent. Wie viel Prozent sind es? 68
13.
$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 40$ und $\sigma = 4$ . Standardisiere $x = 47$ : wie groß ist $z$ ?
Lösung: 1.75
$z = \frac{47 - 40}{4} = \frac{7}{4} = 1{,}75$ . Der Wert 47 liegt 1,75 Standardabweichungen über dem Mittelwert.
14.
$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ . Bestimme $P(X < 118)$ . Tabelle: $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ , $\Phi(1{,}8) = 0{,}9641$ .
Lösung: 0.8849
1. Wie viel ist $x - \mu = 118 - 100$ ? 18
2. Wie groß ist $z = 18 / 15$ ? 1.2
3. Wie groß ist $P(Z < 1{,}2)$ ? 0.8849
15.
$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 70$ und $\sigma = 5$ . Die Tabelle liefert $\Phi(1{,}6) = 0{,}9452$ . Welche Zeile ist für $P(X > 78)$ richtig?
1. a) $z = 8$ , Fläche $0$
2. b) $z = -1{,}6$ , Fläche $0{,}0548$
3. c) $z = 1{,}6$ , Fläche $0{,}0548$
4. d) $z = 1{,}6$ , Fläche $0{,}9452$
Lösung: $z = 1{,}6$ , Fläche $0{,}0548$
$z = \frac{78 - 70}{5} = 1{,}6$ . Gefragt ist eine Fläche rechts: $1 - 0{,}9452 = 0{,}0548$ . $0{,}9452$ ist die linke Fläche, $z = -1{,}6$ hat das falsche Vorzeichen, und bei $z = 8$ fehlt die Division durch $\sigma$ .
16.
$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 20$ und $\sigma = 2$ . Bestimme $P(19 < X < 24)$ . Tabelle: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Lösung: 0.6687
1. Standardisiere die untere Grenze: $z_1 = (19 - 20) / 2$ ? -0.5
2. Standardisiere die obere Grenze: $z_2 = (24 - 20) / 2$ ? 2
3. Wie groß ist $\Phi(-0{,}5) = 1 - 0{,}6915$ ? 0.3085
4. Wie viel ist $0{,}9772 - 0{,}3085$ ? 0.6687
17.
Die Tabelle liefert $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$ . Bestimme $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96)$ .
Lösung: 0.95
$\Phi(-1{,}96) = 1 - 0{,}975 = 0{,}025$ , also $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 0{,}975 - 0{,}025 = 0{,}95$ . Deshalb taucht $\pm 1{,}96$ bei 95-%-Konfidenzintervallen auf.
18.
Bestimme die Fläche außerhalb von $\pm 1{,}1$ : $P(Z < -1{,}1 \text{ oder } Z > 1{,}1)$ . Tabelle: $\Phi(1{,}1) = 0{,}8643$ .
Lösung: 0.2714
1. Wie groß ist die rechte Randfläche $P(Z > 1{,}1) = 1 - 0{,}8643$ ? 0.1357
2. Wie groß ist wegen der Symmetrie die linke Randfläche $P(Z < -1{,}1)$ ? 0.1357
3. Wie groß ist die gesamte äußere Fläche? 0.2714