Leitfaden für Lehrer: Standardnormalverteilung

Lerne die Standardnormalverteilung N(0, 1) kennen, wie du jede Normalverteilung standardisierst und wie du die z-Tabelle für linke, rechte und mittlere Flächen abliest.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Standardnormalverteilung N(0, 1) und ihre Zufallsgröße Z beschreiben
Einen Wert einer beliebigen Normalverteilung mit z = (x - μ) / σ standardisieren
Kumulierte linke Flächen über Zeile und Spalte aus der z-Tabelle ablesen
Rechte Randflächen und Flächen dazwischen mit 1 - Φ(z) und Φ(b) - Φ(a) bestimmen
Die Symmetrie für negative z nutzen und Ergebnisse mit der 68-95-99,7-Regel kontrollieren

Voraussetzungen

• Einführung in die Normalverteilung: Glockenkurve, Mittelwert, Standardabweichung und die 68-95-99,7-Regel
• z-Werte: berechnen, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist
• Dezimalzahlen und Dezimalzahlen von 1 abziehen
• Wahrscheinlichkeit als Zahl zwischen 0 und 1

Diskussionsstarter

1. Warum ist es praktisch, dass sich jede Normalverteilung in dieselbe Kurve verwandeln lässt?
2. Die Tabelle liefert 0,9332 für z = 1,5. Wie groß ist ungefähr die Fläche rechts davon, ohne zu rechnen, und warum?
3. Warum muss Φ(0) genau 0,5 sein?
4. Wie kann dir die 68-95-99,7-Regel zeigen, dass ein Tabellenergebnis falsch ist?

Häufige Missverständnisse

Der Tabellenwert ist immer die gesuchte Wahrscheinlichkeit, egal welcher Bereich gefragt ist

Abhilfe: Lass vor jedem Ablesen die Kurve skizzieren und den Bereich schraffieren. Frage: Liegt mein Bereich links von z? Wenn nicht, welche Regel macht aus der linken Fläche das Gesuchte?

Ein negativer z-Wert ergibt eine negative Wahrscheinlichkeit

Abhilfe: Zeige an der interaktiven Kurve, dass auch bei z unter 0 eine positive Fläche schraffiert wird, nur weniger als die Hälfte. Verbinde das mit der Symmetrie: die linke Randfläche bei -z spiegelt die rechte bei z.

Die Fläche zwischen a und b ist Φ(b - a)

Abhilfe: Vergleiche P(1 < Z < 2) mit Φ(1): das eine ist ein schmaler Streifen (0,1359), das andere der größte Teil der Kurve (0,8413). Beide zu schraffieren macht den Unterschied deutlich.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit positiven z und linken Flächen beginnen, dann rechte Flächen dazunehmen
• Vor jedem Ablesen skizzieren und schraffieren
• Eine verkürzte Tabelle nur mit den Zeilen 0,0 bis 2,0 geben

Für Schüler auf Niveau:

• Linke, rechte, mittlere Flächen und negative z gemischt üben
• Zuerst einfache ursprüngliche Werte standardisieren, dann die Tabelle benutzen
• Jedes Ergebnis mit der 68-95-99,7-Regel kontrollieren

Für fortgeschrittene Schüler:

• Rückwärts arbeiten: z zu einer gegebenen linken Fläche finden (zum Beispiel 0,975 ergibt 1,96)
• Die äußere Fläche P(|Z| > z) bestimmen und mit der 68-95-99,7-Regel vergleichen
• Erklären, warum 1,96 und 2,58 in der Statistik so oft vorkommen

Standardausrichtung

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Mittelwert und Standardabweichung eines Datensatzes nutzen, um eine Normalverteilung anzupassen und Anteile der Grundgesamtheit zu schätzen; Flächen unter der Normalverteilungskurve mit Taschenrechner, Tabellenkalkulation und Tabellen bestimmen
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Mit Daten aus einer Stichprobe einen Mittelwert oder Anteil der Grundgesamtheit schätzen; eine Fehlertoleranz mit Simulationen von Zufallsstichproben entwickeln

Lektionsressourcen

visualInteraktive z-Tabelle
z auf der Kurve verschieben und sehen, wie die passende Zeile und Spalte der Tabelle aufleuchten
activityFläche schraffieren
Die Lernenden skizzieren linke, rechte und mittlere Flächen vor dem Ablesen und vergleichen dann mit der interaktiven Kurve
worksheetÜbungen zur z-Tabelle
Aufgaben zu linken, rechten und mittleren Flächen und negativen z, jeweils mit 68-95-99,7-Kontrolle

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Mittelwert

\mu = 0

und Standardabweichung

\sigma = 1

. Man schreibt

N(0, 1)

und nennt die Zufallsgröße

Z

Standardisieren

Jede normalverteilte Zufallsgröße

X

mit Mittelwert

\mu

und Standardabweichung

\sigma

wird zur Standardnormalverteilung, wenn du sie standardisierst:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Deshalb reicht eine einzige Tabelle für alle Normalverteilungen: zuerst

z

berechnen, dann die Fläche ablesen.

Die z-Tabelle

Eine z-Tabelle (Tabelle der Standardnormalverteilung) enthält die kumulierte Fläche links von

z

\Phi(z) = P(Z \le z)

Die Zeile gibt

z

mit einer Nachkommastelle an (zum Beispiel

1{,}2

), die Spalte die zweite Nachkommastelle (zum Beispiel

0{,}03

). Am Schnittpunkt liest du

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

ab.

Drei Regeln für jede Fläche

**Links von $z$ **: direkt ablesen, $P(Z < z) = \Phi(z)$
**Rechts von $z$ **: die Gesamtfläche ist 1, also $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$
**Zwischen $a$ und $b$ **: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$

Die Kurve ist symmetrisch zu 0, daher gilt

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Bei einer stetigen Zufallsgröße sind

P(Z < z)

und

P(Z \le z)

dieselbe Zahl.

Lösungsbeispiele

Bestimme

P(Z \le 1{,}23)

für die standardnormalverteilte Zufallsgröße

Z

Zerlege $z$ in Zeile und Spalte

1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03

→ Zeile

1{,}2

, Spalte

0{,}03

Lies den Wert am Schnittpunkt von Zeile und Spalte ab

Zeile

1{,}2

, Spalte

0{,}03

0{,}8907

→

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

Prüfe, ob das sinnvoll ist

z = 1{,}23

ist etwas größer als 1, und

\Phi(1) = 0{,}8413

→ Ein Wert etwas über

0{,}8413

passt

Antwort: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$ , also liegen etwa 89,07 % der Fläche links von $z = 1{,}23$ .

Häufige Fehler

Den Tabellenwert als Fläche nach rechts nehmen: $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Warum es falsch ist: Die z-Tabelle gibt immer die Fläche LINKS von $z$ an. Eine Fläche von $0{,}9332$ rechts von einem positiven $z$ ist unmöglich, denn dann läge mehr als die Hälfte der Kurve rechts davon.

Richtig: Für eine Fläche nach rechts ziehst du von 1 ab: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .

Glauben, ein negatives $z$ gebe eine negative oder dieselbe Fläche: $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ oder $0{,}7734$

Warum es falsch ist: Flächen sind nie negativ. Ein negatives $z$ liegt links vom Mittelwert, also ist die Fläche links davon kleiner als $0{,}5$ .

Richtig: Nutze die Symmetrie: $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$ .

Die z-Werte statt der Flächen subtrahieren: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Warum es falsch ist: Die Tabelle macht aus z-Werten Flächen. Die Fläche zwischen zwei Stellen ist die Differenz der beiden linken Flächen, nicht die Fläche der Differenz.

Richtig: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

Den ursprünglichen Wert in der z-Tabelle suchen: $P(X < 60)$ in Zeile 60

Warum es falsch ist: Die Tabelle gilt nur für $Z$ mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Ein ursprünglicher Wert muss zuerst standardisiert werden.

Richtig: Berechne zuerst $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$ und lies dann $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ ab.

Warum es wichtig ist

Die Standardnormalverteilung ist die eine Kurve, auf die jede Aufgabe zur Normalverteilung zurückgeführt wird:

Eine Tabelle für alles: Körpergrößen, Testergebnisse, Reaktionszeiten und Messfehler haben verschiedene Mittelwerte und Streuungen, aber nach dem Standardisieren benutzen alle dieselbe z-Tabelle
Genaue Werte statt Schätzungen: die 68-95-99,7-Regel funktioniert nur bei ganzen Standardabweichungen; die Tabelle liefert die Fläche für jedes $z$ , etwa $z = 1{,}23$
Statistik und Naturwissenschaft: Konfidenzintervalle, Hypothesentests und Toleranzgrenzen (wie $\pm 1{,}96$ oder $\pm 3$ ) werden alle aus der Standardnormalverteilung abgelesen
Eingebaute Kontrolle: wenn ein Tabellenwert weit von 68 %, 95 % oder 99,7 % entfernt ist, obwohl er nah dran sein müsste, weißt du, dass ein Schritt falsch war

Sobald du die z-Tabelle ablesen und die drei Flächenregeln anwenden kannst, wird jede Aufgabe zur Normalverteilung zur kurzen Routine.

Anwendungen im echten Leben

Qualitätskontrolle

Fabriken standardisieren jede Messung und sortieren Teile aus, die zu weit vom Sollwert entfernt sind, zum Beispiel mehr als 2 Standardabweichungen.

Beispiel:

Ein Teil mit $z = -2{,}3$ liegt 2,3 Standardabweichungen unter der Solllänge und wird aussortiert.

1Probiere es selbst

Die Fehler einer Maschine folgen nach dem Standardisieren der Standardnormalverteilung. Ein Teil wird aussortiert, wenn $Z < -2$ oder $Z > 2$ . Tabelle: $\Phi(2) = 0{,}9772$ .

Welcher Anteil der Teile wird aussortiert? Gib eine Dezimalzahl an.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zwei gleich große Randflächen: $2 \cdot (1 - 0{,}9772)$

Standardisierte Testergebnisse

Manche Prüfungen geben Ergebnisse direkt als z-Werte an, damit man sofort sieht, wie weit man über oder unter dem Durchschnitt liegt.

Beispiel:

Ein Ergebnis von $z = 0$ ist genau Durchschnitt; $z = 1$ liegt eine Standardabweichung über dem Durchschnitt.

2Probiere es selbst

Die Ergebnisse einer Prüfung werden als z-Werte angegeben und folgen der Standardnormalverteilung. Tabelle: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ .

Welcher Anteil der Schülerinnen und Schüler hat einen z-Wert über $0{,}5$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Fläche nach rechts: $1 - \Phi(0{,}5)$

Fehler der Wettervorhersage

Wetterdienste prüfen, wie weit ihre Temperaturvorhersagen danebenliegen. Bei einer gut kalibrierten Vorhersage kann der Fehler in °C der Standardnormalverteilung folgen: Mittelwert 0, Standardabweichung 1.

Beispiel:

Ein Fehler von $-1{,}2$ °C bedeutet, dass die echte Temperatur 1,2 Grad niedriger war als vorhergesagt.

3Probiere es selbst

Die Fehler der Vorhersage für den nächsten Tag (in °C) folgen der Standardnormalverteilung. Tabelle: $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt eine Vorhersage um weniger als 1,5 °C daneben, also $-1{,}5 < Z < 1{,}5$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Dazwischen: $\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)$

Wichtige Erkenntnisse

1Die Standardnormalverteilung $N(0, 1)$ hat Mittelwert 0 und Standardabweichung 1; ihre Zufallsgröße heißt $Z$
2Standardisiere jeden normalverteilten Wert mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ und benutze dann die eine z-Tabelle
3Die z-Tabelle gibt die Fläche LINKS an: $\Phi(z) = P(Z \le z)$ ; Zeile = erste Nachkommastelle, Spalte = zweite Nachkommastelle
4Fläche nach rechts: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ ; dazwischen: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$
5Symmetrie: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ und $\Phi(0) = 0{,}5$
6Kontrolliere jedes Ergebnis mit der 68-95-99,7-Regel: zum Beispiel $\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\,\%$

Häufig gestellte Fragen

Warum funktioniert eine einzige Tabelle für jede Normalverteilung?

Beim Standardisieren wird der Mittelwert auf 0 verschoben und die Streuung auf 1 gestaucht oder gestreckt. Die Form bleibt gleich, also ist die Fläche links von

x

bei einer Normalverteilung mit Mittelwert

\mu

und Standardabweichung

\sigma

gleich der Fläche links von

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

bei

N(0, 1)

Meine Tabelle hat keine negativen z-Werte. Was mache ich?

Nutze die Symmetrie:

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Zum Beispiel

\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151

. Viele Bücher drucken eine zweite Tabelle für negative

z

; beide liefern dieselben Zahlen.

Gibt es einen Unterschied zwischen $P(Z < z)$ und $P(Z \le z)$ ?

Nein.

Z

ist stetig, daher ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert 0. Beide liest du am selben Tabelleneintrag ab.

Was ist, wenn mein $z$ größer ist als die Tabelle, etwa $z = 4$ ?

Die meisten Tabellen enden bei etwa

3{,}49

, dort ist

\Phi

schon

0{,}9998

. Darüber ist die linke Fläche praktisch 1 und die rechte Randfläche praktisch 0.

Glossar

Standardnormalverteilung: Die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1, geschrieben $N(0, 1)$
Standardisieren: Einen Wert $x$ in $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ umrechnen, die Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert
z-Tabelle: Tabelle der Standardnormalverteilung mit den kumulierten Flächen $\Phi(z) = P(Z \le z)$ links von jedem $z$
Kumulierte Fläche $\Phi(z)$: Die Fläche unter der Kurve der Standardnormalverteilung links von $z$ ; sie ist gleich der Wahrscheinlichkeit $P(Z \le z)$
Randfläche: Die Fläche an einem Ende der Kurve, zum Beispiel rechts von $z = 2$

Formelkarte

Standardisieren

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Macht aus jedem normalverteilten Wert einen Wert von $Z$

Fläche links

P(Z < z) = \Phi(z)

Direkt aus der z-Tabelle ablesen

Fläche rechts

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Die Gesamtfläche unter der Kurve ist 1

Dazwischen

P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Größere linke Fläche minus kleinere linke Fläche

Symmetrie

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Für negative z-Werte

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Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Standardisieren

Die z-Tabelle

Drei Regeln für jede Fläche

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Qualitätskontrolle

Standardisierte Testergebnisse

Fehler der Wettervorhersage

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Standardisieren

Fläche links

Fläche rechts

Dazwischen

Symmetrie

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Binomialverteilung

Diskrete vs stetige Verteilungen

Erwartungswert