z-Werte (Standardisierung)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Testergebnisse haben den Mittelwert $\mu = 50$ und die Standardabweichung $\sigma = 5$ . Welchen z-Wert hat ein Ergebnis von $60$ ?
1. a)-2
2. b)10
3. c)2
4. d)0,5
Lösung: 2
$z = \frac{60 - 50}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . Das Ergebnis liegt 2 Standardabweichungen über dem Mittelwert. $10$ ist nur der Abstand in Punkten.
2.
Eine Verteilung hat $\mu = 40$ und $\sigma = 4$ . Bestimme den z-Wert von $x = 46$ .
Lösung: 1.5
$z = \frac{46 - 40}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5$ : Der Wert liegt 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert.
3.
Ein Wert $x = 18$ stammt aus einer Verteilung mit $\mu = 12$ und $\sigma = 3$ . Bestimme seinen z-Wert.
Lösung: 2
1. Was ist $x - \mu = 18 - 12$ ? 6
2. Teile durch $\sigma = 3$ . Wie groß ist z? 2
4.
Ein Wert hat den z-Wert $z = -1{,}5$ . Was bedeutet das?
1. a)Er liegt 1,5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert
2. b)Er liegt 15 % unter dem Mittelwert
3. c)Er liegt 1,5 Punkte unter dem Mittelwert
4. d)Er liegt 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert
Lösung: Er liegt 1,5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert
Ein z-Wert zählt Standardabweichungen, nicht Punkte oder Prozent. Das Minuszeichen bedeutet unter dem Mittelwert, also liegt $z = -1{,}5$ 1,5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
5.
Die Körpergewichte einer Gruppe Erwachsener haben $\mu = 65$ kg und $\sigma = 10$ kg. Welchen z-Wert hat eine Person mit $47$ kg?
Lösung: -1.8
$z = \frac{47 - 65}{10} = \frac{-18}{10} = -1{,}8$ : 1,8 Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
6.
Eine Verteilung hat $\mu = 60$ und $\sigma = 5$ . Welcher Wert hat den z-Wert $z = -2$ ?
Lösung: 50
1. Was ist $z\sigma = (-2) \cdot 5$ ? -10
2. Was ist $x = \mu + z\sigma = 60 + (-10)$ ? 50
7.
Vier Lernende haben verschiedene Tests geschrieben. Wer war im Vergleich zu den anderen beim selben Test am besten?
1. a)Ben: 85 Punkte (μ = 75, σ = 10)
2. b)Ana: 78 Punkte (μ = 70, σ = 4)
3. c)Cleo: 90 Punkte (μ = 84, σ = 6)
4. d)Dan: 66 Punkte (μ = 60, σ = 5)
Lösung: Ana: 78 Punkte (μ = 70, σ = 4)
Ana: $\frac{78 - 70}{4} = 2$ . Ben: $\frac{85 - 75}{10} = 1$ . Cleo: $\frac{90 - 84}{6} = 1$ . Dan: $\frac{66 - 60}{5} = 1{,}2$ . Ana hat den größten z-Wert, obwohl Cleo die meisten Punkte hat.
8.
Die Ergebnisse eines landesweiten Tests haben $\mu = 500$ und $\sigma = 100$ . Welches Ergebnis hat den z-Wert $z = -1{,}2$ ?
Lösung: 380
$x = 500 + (-1{,}2) \cdot 100 = 500 - 120 = 380$ .
9.
Nora läuft 5 km in $24$ min (ihr Verein: $\mu = 27$ min, $\sigma = 2$ min) und schwimmt 100 m in $75$ s (ihr Verein: $\mu = 80$ s, $\sigma = 4$ s). Kürzere Zeiten sind besser. In welcher Sportart ist sie relativ besser? Gib den z-Wert dieser Sportart an.
Lösung: -1.5
1. Wie groß ist ihr z-Wert beim Laufen, $\frac{24 - 27}{2}$ ? -1.5
2. Wie groß ist ihr z-Wert beim Schwimmen, $\frac{75 - 80}{4}$ ? -1.25
3. Weniger ist besser, also gewinnt das kleinere z. Gib den kleineren z-Wert ein. -1.5
10.
IQ-Werte haben $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ . Welcher Wert ist ungewöhnlich ( $|z| > 2$ )?
1. a)75
2. b)85
3. c)134
4. d)120
Lösung: 134
$z(120) \approx 1{,}33$ , $z(134) = \frac{34}{15} \approx 2{,}27$ , $z(85) = -1$ , $z(75) \approx -1{,}67$ . Nur 134 hat $|z| > 2$ ; der übliche Bereich geht von 70 bis 130.
11.
Beim 100-m-Lauf einer Schule haben die Zeiten $\mu = 13{,}5$ s und $\sigma = 0{,}6$ s. Bestimme den z-Wert einer Zeit von $12{,}6$ s.
Lösung: -1.5
$z = \frac{12{,}6 - 13{,}5}{0{,}6} = \frac{-0{,}9}{0{,}6} = -1{,}5$ . Beim Laufen ist das ein gutes Ergebnis: 1,5 Standardabweichungen schneller als der Durchschnitt.
12.
Ein Handyakku hält im Mittel $\mu = 40$ Stunden mit $\sigma = 3$ Stunden. Ein Akku hält nur $33{,}4$ Stunden. Ist das ungewöhnlich?
Lösung: -2.2
1. Was ist $33{,}4 - 40$ ? -6.6
2. Teile durch $\sigma = 3$ . Wie groß ist z? -2.2
3. Ist $|z| > 2$ , ist die Laufzeit also ungewöhnlich? Ja
13.
Der Ruhepuls von Jugendlichen hat $\mu = 72$ Schläge pro Minute und $\sigma = 8$ . Bestimme den Bereich der üblichen Werte von $z = -2$ bis $z = 2$ .
Lösung: [56, 88]
1. Was ist $2\sigma = 2 \cdot 8$ ? 16
2. Untere Grenze: $72 - 16$ ? 56
3. Obere Grenze: $72 + 16$ ? 88
14.
Eine Lehrerin gibt allen Lernenden 5 Bonuspunkte. Was passiert mit dem z-Wert jedes Lernenden?
1. a)Er sinkt um 5
2. b)Er steigt um 5/σ
3. c)Er steigt um 5
4. d)Er bleibt gleich
Lösung: Er bleibt gleich
Jedes Ergebnis und der Mittelwert steigen um 5, also ändert sich $x - \mu$ nicht. Auch die Streuung ändert sich nicht, $\sigma$ bleibt gleich. Deshalb bleibt $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ gleich.
15.
Ein Test hat den Mittelwert $\mu = 80$ . Ein Ergebnis von $92$ hat den z-Wert $z = 1{,}5$ . Wie groß ist die Standardabweichung $\sigma$ ?
Lösung: 8
$1{,}5 = \frac{92 - 80}{\sigma} = \frac{12}{\sigma}$ , also $\sigma = \frac{12}{1{,}5} = 8$ .
16.
Die Ergebnisse einer Aufnahmeprüfung haben $\mu = 1050$ und $\sigma = 200$ . Für ein Stipendium braucht man einen z-Wert von mindestens $1{,}75$ . Welches ist das niedrigste Ergebnis, das reicht?
Lösung: 1400
1. Was ist $z\sigma = 1{,}75 \cdot 200$ ? 350
2. Was ist $x = 1050 + 350$ ? 1400
17.
In einer Klasse hat ein Ergebnis von $78$ den z-Wert $z = 1{,}5$ , und die Standardabweichung ist $\sigma = 6$ . Wie groß ist der Klassenmittelwert $\mu$ ?
Lösung: 69
1. Wie viele Punkte liegt 78 über dem Mittelwert? Berechne $z\sigma = 1{,}5 \cdot 6$ . 9
2. Was ist $\mu = 78 - 9$ ? 69
18.
Bei einem Test hat ein Ergebnis von $70$ den z-Wert $z = -1$ und ein Ergebnis von $94$ den z-Wert $z = 2$ . Bestimme die Standardabweichung $\sigma$ und den Mittelwert $\mu$ . Gib am Ende $\mu$ als Ergebnis an.
Lösung: 78
1. Wie viele Standardabweichungen liegen die beiden Ergebnisse auseinander? ( $2 - (-1)$ ) 3
2. Wie viele Punkte liegen sie auseinander? ( $94 - 70$ ) 24
3. Also gilt $3\sigma = 24$ . Wie groß ist $\sigma$ ? 8
4. 70 liegt eine Standardabweichung unter dem Mittelwert. Was ist $\mu = 70 + 8$ ? 78