Leitfaden für Lehrer: z-Werte (Standardisierung)

Lerne, was ein z-Wert aussagt, wie du ihn berechnest, wie du ihn in einen Wert zurückrechnest und wie du Ergebnisse aus verschiedenen Tests vergleichst.

Lektion präsentieren In Classroom teilen Schülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Einen z-Wert mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ berechnen
Vorzeichen und Betrag eines z-Werts im Sachzusammenhang deuten
Aus einem gegebenen z-Wert mit $x = \mu + z\sigma$ den Wert bestimmen
Werte aus verschiedenen Verteilungen mit z-Werten vergleichen
Ungewöhnliche Werte mit der Regel $|z| > 2$ erkennen

Voraussetzungen

• Einführung in die Normalverteilung (Mittelwert, Standardabweichung, 68-95-99,7-Regel)
• Mittelwert und Standardabweichung von Daten berechnen
• Einfache lineare Gleichungen lösen
• Rechnen mit negativen Zahlen und Dezimalzahlen

Diskussionsstarter

1. Du hast 70 Punkte in einem Test. Kannst du ohne weitere Infos sagen, ob das gut ist? Was würdest du noch wissen wollen?
2. Zwei Lernende liegen beide 8 Punkte über ihrem Klassenmittelwert. Wie kann einer von beiden trotzdem relativ besser sein?
3. Ist bei einem Lauf ein z-Wert von $-2$ gut oder schlecht? Und bei einem Test?
4. Warum hat ein z-Wert keine Einheit, und warum ist das nützlich?

Häufige Missverständnisse

Ein höherer Rohwert ist immer das bessere Ergebnis

Abhilfe: Nutze das Beispiel mit Mia und Leo: Leo hat mehr Punkte, aber einen kleineren z-Wert. Lass die Lernenden in eigenen Worten erklären, warum die Streuung eine Rolle spielt.

Ein negativer z-Wert ist ein schlechtes Ergebnis

Abhilfe: Zeig einen Zusammenhang, in dem weniger besser ist (Laufzeiten, Preise, Fehler), und lass die Lernenden entscheiden, wann ein negatives z gut ist.

Ein z-Wert ist ein Prozentsatz oder eine Wahrscheinlichkeit

Abhilfe: Betone, dass z Standardabweichungen zählt. Verbinde $z = 1$ mit der 68-95-99,7-Regel aus der vorigen Lektion, um zu zeigen, dass der Prozentsatz ein eigener Schritt ist.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit ganzzahligen z-Werten beginnen (Werte genau 1 oder 2 Standardabweichungen entfernt)
• Einen Zahlenstrahl mit dem Mittelwert und Schritten von je einer Standardabweichung zeichnen
• Die zwei Schritte getrennt ausführen: erst den Abstand zum Mittelwert, dann teilen

Für Schüler auf Niveau:

• Dezimale z-Werte in verschiedenen Sachzusammenhängen berechnen und deuten
• Mit $x = \mu + z\sigma$ Werte aus z-Werten zurückrechnen
• Ergebnisse aus zwei oder drei verschiedenen Verteilungen vergleichen

Für fortgeschrittene Schüler:

• $\sigma$ oder $\mu$ bestimmen, wenn ein Wert und sein z-Wert gegeben sind
• $\mu$ und $\sigma$ aus zwei Werten und ihren z-Werten bestimmen
• Erklären, warum sich die z-Werte nicht ändern, wenn man zu jedem Wert dieselbe Zahl addiert

Standardausrichtung

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Mittelwert und Standardabweichung eines Datensatzes nutzen, um ihn an eine Normalverteilung anzupassen und Anteile in der Grundgesamtheit zu schätzen
HSS-ID.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.2)
Der Form der Verteilung angemessene Kennwerte nutzen, um Lage und Streuung von zwei oder mehr Datensätzen zu vergleichen

Lektionsressourcen

visualz-Wert-Explorer
Ein Testergebnis entlang der Glockenkurve ziehen und beobachten, wie sich der z-Wert auf der darunterliegenden z-Achse ändert
activityWer war besser?
Die Lernenden vergleichen Ergebnisse aus zwei Klassen mit verschiedenen Mittelwerten und Streuungen, erst nach Punkten, dann nach z-Werten
worksheetz-Werte im Sachzusammenhang
z-Werte für Tests, Körpergrößen, Sprintzeiten und Fabrikdaten berechnen, deuten und zurückrechnen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein z-Wert (auch standardisierter Wert) gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

$x$ ist der Wert, den du betrachtest
$\mu$ (mü) ist der Mittelwert (Erwartungswert) der Verteilung
$\sigma$ (sigma) ist die Standardabweichung

So liest du ihn:

$z > 0$ : der Wert liegt über dem Mittelwert
$z < 0$ : der Wert liegt unter dem Mittelwert
$z = 0$ : der Wert ist genau der Mittelwert
$|z|$ sagt, wie weit er entfernt ist, gemessen in Standardabweichungen

Beispiel: Bei einem Mathetest mit

\mu = 74

und

\sigma = 6

hat ein Ergebnis von

82

Punkten den z-Wert

z = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33

. Das Ergebnis liegt

1{,}33

Standardabweichungen über dem Mittelwert.

Zurück von z zu x: Löse die Formel nach

x

auf:

x = \mu + z\sigma

Weil sich die Einheiten wegkürzen (Punkte geteilt durch Punkte), hat ein z-Wert keine Einheit. Genau das macht ihn so nützlich: Du kannst ein Testergebnis, eine Körpergröße und eine Laufzeit auf einer gemeinsamen Skala vergleichen. Einen Wert mit

|z| > 2

nennt man oft ungewöhnlich, weil er mehr als 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt.

Lösungsbeispiele

Bei einem Mathetest haben die Ergebnisse den Mittelwert

\mu = 74

Punkte und die Standardabweichung

\sigma = 6

Punkte. Mia hat

82

Punkte. Wie groß ist ihr z-Wert?

Schreib die Formel auf

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

→

x = 82

\mu = 74

\sigma = 6

Zieh den Mittelwert ab (Abstand zum Mittelwert)

82 - 74 = 8

→ Mia liegt 8 Punkte über dem Mittelwert

Teile durch die Standardabweichung

z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33

→

z \approx 1{,}33

Antwort: $z \approx 1{,}33$ : Mia liegt etwa 1,33 Standardabweichungen über dem Klassenmittelwert.

Häufige Fehler

In der falschen Reihenfolge abziehen: $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Warum es falsch ist: Dadurch dreht sich das Vorzeichen um. Ein Wert über dem Mittelwert bekäme einen negativen z-Wert, der das Gegenteil der Wahrheit aussagt.

Richtig: Immer Wert minus Mittelwert: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Für $x = 82$ , $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ : $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ , nicht $-1{,}33$ .

Die Klammern vergessen: $82 - 74 / 6$ in den Taschenrechner tippen

Warum es falsch ist: Der Taschenrechner teilt zuerst und rechnet $82 - 12{,}33 = 69{,}67$ , das ist überhaupt kein z-Wert.

Richtig: Erst subtrahieren, dann teilen: $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$ .

Rohwerte aus verschiedenen Tests direkt vergleichen

Warum es falsch ist: 88 Punkte in einem Test mit $\mu = 80$ , $\sigma = 8$ sind nicht automatisch besser als 82 Punkte in einem Test mit $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ . Die Tests haben verschiedene Mittelwerte und Streuungen.

Richtig: Rechne jeden Wert zuerst in einen z-Wert um und vergleiche dann: $1$ gegen $1{,}33$ , also sind die 82 Punkte relativ besser.

Glauben, ein negativer z-Wert bedeute ein schlechtes Ergebnis

Warum es falsch ist: Das Vorzeichen sagt nur, ob der Wert unter oder über dem Mittelwert liegt. Ob das gut ist, hängt vom Zusammenhang ab.

Richtig: Bei Laufzeiten oder Preisen ist weniger besser, dann kann $z = -2$ ein hervorragendes Ergebnis sein. Bei Testergebnissen ist mehr besser.

Warum es wichtig ist

Rohe Zahlen allein sagen oft wenig aus. Sind 82 Punkte ein gutes Ergebnis? Das hängt davon ab, wie alle anderen abgeschnitten haben. Ein z-Wert beantwortet diese Frage mit einer einzigen Zahl.

Schule und Prüfungen: Ergebnisse aus verschiedenen Klassen, Fächern oder Jahrgängen vergleichen, auch wenn die Tests unterschiedlich schwer waren
Medizin: Wachstumskurven von Kindern und Knochendichtewerte werden als z-Werte angegeben, ein Kind mit $z = -2{,}5$ bei der Größe wird ärztlich untersucht
Sport: Sportler aus verschiedenen Disziplinen vergleichen, etwa einen Sprinter und einen Weitspringer
Qualitätskontrolle: Fabriken markieren Produkte, deren Messwerte $|z| > 2$ oder $|z| > 3$ haben
Wirtschaft und Wissenschaft: ungewöhnliche Werte (Ausreißer) in Daten erkennen

In den nächsten Lektionen benutzt du z-Werte, um Flächen und Wahrscheinlichkeiten unter der Glockenkurve zu bestimmen. Das hier ist also der entscheidende Schritt.

Anwendungen im echten Leben

Sport: Sprintzeiten vergleichen

Trainer vergleichen Sportler mit z-Werten. Beim Laufen ist eine kürzere Zeit besser, ein negativer z-Wert bedeutet also schneller als der Durchschnitt.

Beispiel:

Bei einem regionalen 100-m-Lauf haben die Zeiten $\mu = 11{,}0$ s und $\sigma = 0{,}2$ s. Eine Zeit von $11{,}3$ s hat $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$ : langsamer als der Durchschnitt.

1Probiere es selbst

Im selben Lauf ( $\mu = 11{,}0$ s, $\sigma = 0{,}2$ s) läuft Sara $10{,}6$ s.

Wie groß ist Saras z-Wert?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\frac{10{,}6 - 11{,}0}{0{,}2}$ :

Medizin: Wachstumskurven

Kinderärzte geben Größe oder Gewicht eines Kindes als z-Wert im Vergleich zu gleichaltrigen Kindern an. Werte unter $z = -2$ werden genauer untersucht.

Beispiel:

Ein Kind mit dem Größen-z-Wert $z = 0$ ist genau durchschnittlich für sein Alter, mit $z = 1$ ist es eine Standardabweichung größer als der Durchschnitt.

2Probiere es selbst

Bei 8-Jährigen haben die Körpergrößen $\mu = 128$ cm und $\sigma = 5{,}5$ cm. Eine Ärztin untersucht jedes Kind mit $z < -2$ .

Unter welcher Größe (in cm) wird ein Kind untersucht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Benutze $x = \mu + z\sigma$ mit $z = -2$ :

Qualitätskontrolle: Müslipackungen

Eine Fabrik füllt Müslipackungen ab. Packungen, deren Gewicht $|z| > 2$ hat, werden vom Band genommen und geprüft.

Beispiel:

Die Abfüllmaschine liefert $\mu = 500$ g und $\sigma = 4$ g. Eine Packung mit $504$ g hat $z = 1$ : völlig normal.

3Probiere es selbst

Eine Packung auf dem Band wiegt $489$ g ( $\mu = 500$ g, $\sigma = 4$ g).

Wie groß ist der z-Wert dieser Packung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\frac{489 - 500}{4}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Ein z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
2Positives z: über dem Mittelwert, negatives z: unter dem Mittelwert, $z = 0$ : genau der Mittelwert
3Um von z zurück zu einem Wert zu kommen, benutze $x = \mu + z\sigma$
4Ein z-Wert hat keine Einheit, deshalb kann man Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen: das größere z liegt relativ höher
5Ein Wert mit $|z| > 2$ gilt meist als ungewöhnlich, er liegt mehr als 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt
6Immer erst subtrahieren, dann teilen: $(x - \mu) / \sigma$

Häufig gestellte Fragen

Kann ein z-Wert eine Dezimalzahl oder größer als 3 sein?

Ja. Die meisten z-Werte sind Dezimalzahlen wie

1{,}33

oder

-0{,}75

. Werte über

3

oder unter

-3

sind möglich, in einer Normalverteilung aber sehr selten.

Müssen die Daten für einen z-Wert normalverteilt sein?

Einen z-Wert kannst du für alle Daten mit Mittelwert und Standardabweichung berechnen. Ihn in einen Prozentsatz umzuwandeln (wie bei der 68-95-99,7-Regel), klappt aber nur gut, wenn die Daten ungefähr normalverteilt sind.

Warum ist der z-Wert des Mittelwerts immer 0?

Weil

x - \mu = 0

ist, wenn

x = \mu

, und

0

geteilt durch

\sigma

ist

0

. Der Mittelwert ist null Standardabweichungen von sich selbst entfernt.

Was ist der Unterschied zwischen einem z-Wert und einem Perzentil?

Ein z-Wert misst den Abstand in Standardabweichungen, ein Perzentil sagt, wie viel Prozent der Werte darunter liegen. Beides hängt zusammen (bei normalverteilten Daten liegt

z = 1

etwa beim 84. Perzentil), und das Umrechnen lernst du in den nächsten Lektionen.

Glossar

z-Wert (standardisierter Wert): Die Anzahl der Standardabweichungen, um die ein Wert über (positiv) oder unter (negativ) dem Mittelwert liegt
Mittelwert (μ): Die Mitte der Verteilung, der Durchschnittswert (bei Zufallsgrößen der Erwartungswert)
Standardabweichung (σ): Ein Maß dafür, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen
Standardisieren: Einen Wert $x$ mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ in seinen z-Wert umrechnen
Ungewöhnlicher Wert: Ein Wert, der mehr als 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt, also $|z| > 2$

Formelkarte

z-Wert

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Um wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt ist

Wert aus einem z-Wert

x = \mu + z\sigma

Einen z-Wert in die ursprüngliche Einheit zurückrechnen

Ungewöhnliche Werte

|z| > 2

Mehr als 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt

Mehr zu diesem Thema

Leitfaden für Lehrer: z-Werte (Standardisierung)

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Sport: Sprintzeiten vergleichen

Medizin: Wachstumskurven

Qualitätskontrolle: Müslipackungen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

z-Wert

Wert aus einem z-Wert

Ungewöhnliche Werte

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Binomialverteilung

Diskrete vs stetige Verteilungen

Erwartungswert