Ausgleichsgerade

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Beschreibung passt zu einer guten Ausgleichsgerade nach Augenmaß?
1. a)Etwa die Hälfte der Punkte liegt darüber und die Hälfte darunter, und sie folgt dem Trend
2. b)Sie verbindet den ersten und den letzten Datenpunkt
3. c)Sie geht durch möglichst viele Punkte
4. d)Alle Punkte liegen unter ihr
Lösung: Etwa die Hälfte der Punkte liegt darüber und die Hälfte darunter, und sie folgt dem Trend
Eine gute Ausgleichsgerade hat etwa die Hälfte der Punkte über sich und die Hälfte unter sich und folgt der Richtung der Daten. Sie muss durch keinen Punkt gehen.
2.
Eine Ausgleichsgerade geht durch die Punkte $(0, 4)$ und $(5, 14)$ . Wie groß ist ihre Steigung?
Lösung: 2
$m = \frac{14 - 4}{5 - 0} = \frac{10}{5} = 2$ .
3.
Eine Ausgleichsgerade geht durch $(0, 2)$ und $(4, 10)$ . Bestimme ihre Gleichung $y = mx + b$ .
Lösung: y = 2x + 2
1. Wie groß ist die Änderung von y, $10 - 2$ ? 8
2. Wie groß ist die Änderung von x, $4 - 0$ ? 4
3. Wie groß ist die Steigung $m$ ? 2
4. Wie groß ist der Achsenabschnitt $b$ ? 2
4.
Mias Ausgleichsgerade ist $y = 2x + 3$ , wobei $x$ die Zahl der Trainingswochen und $y$ die Zahl der Liegestütze in einer Minute ist. Was bedeutet die Steigung $2$ ?
1. a)Jede Trainingswoche bringt etwa 2 Liegestütze mehr
2. b)Mia schaffte am Anfang 2 Liegestütze
3. c)Mia trainierte 2 Wochen lang
4. d)Mia schafft alle 2 Wochen einen Liegestütz mehr
Lösung: Jede Trainingswoche bringt etwa 2 Liegestütze mehr
Die Steigung ist die Änderung von $y$ pro Einheit von $x$ : Jede weitere Trainingswoche bringt etwa 2 Liegestütze mehr. Die $3$ ist der Achsenabschnitt, der Startwert.
5.
Eine Ausgleichsgerade nach Augenmaß geht durch $(0, 12)$ und $(4, 4)$ . Wie groß ist ihr y-Achsenabschnitt $b$ ?
Lösung: 12
Der Achsenabschnitt ist der Wert von $y$ bei $x = 0$ . Der Punkt $(0, 12)$ liegt auf der Geraden, also ist $b = 12$ .
6.
Ist die Gerade $y = x + 1$ eine gute Ausgleichsgerade für die Punkte $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 5)$ , $(4, 4)$ , $(5, 7)$ , $(6, 6)$ ? Zähle die Punkte darüber und darunter.
Lösung: 1
1. Wie viele Punkte liegen über der Geraden? 3
2. Wie viele Punkte liegen unter der Geraden? 3
3. Passt die Gerade gut? Gib 1 für ja oder 0 für nein ein. 1
7.
Ein Schüler zeichnet eine Gerade in ein Streudiagramm mit 8 Punkten. 7 Punkte liegen über der Geraden und 1 darunter, gleichmäßig von links nach rechts verteilt. Wie sollte er die Gerade verbessern?
1. a)Die Gerade steiler machen, ohne sie zu verschieben
2. b)Nichts, die Gerade ist gut
3. c)Die Gerade nach oben verschieben
4. d)Die Gerade nach unten verschieben
Lösung: Die Gerade nach oben verschieben
Mit 7 Punkten darüber und nur 1 darunter liegt die Gerade zu tief. Da die Punkte gleichmäßig verteilt sind, stimmt die Richtung: Verschiebe die Gerade nach oben, bis auf jeder Seite etwa 4 Punkte liegen.
8.
Eine Trendlinie geht durch $(2, 9)$ und $(6, 21)$ . Wie groß ist ihre Steigung?
Lösung: 3
$m = \frac{21 - 9}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3$ .
9.
Eine Ausgleichsgerade geht durch $(10, 80)$ und $(30, 40)$ . Bestimme ihre Gleichung $y = mx + b$ .
Lösung: y = -2x + 100
1. Wie groß ist die Änderung von y, $40 - 80$ ? -40
2. Wie groß ist die Änderung von x, $30 - 10$ ? 20
3. Wie groß ist die Steigung $m$ ? -2
4. Wie groß ist $b = 80 - (-2)(10)$ ? 100
10.
Der Schwerpunkt eines Datensatzes ist $(4, 10)$ . Welche dieser Geraden geht durch ihn?
1. a) $y = 2x + 3$
2. b) $y = x + 5$
3. c) $y = 2x + 1$
4. d) $y = 3x - 2$
Lösung: $y = 3x - 2$
Bei $x = 4$ : $2 \cdot 4 + 1 = 9$ , $4 + 5 = 9$ , $2 \cdot 4 + 3 = 11$ , $3 \cdot 4 - 2 = 10$ . Nur $y = 3x - 2$ ergibt $10$ .
11.
Ein Streudiagramm hat die Punkte $(2, 5)$ , $(4, 9)$ , $(6, 10)$ , $(8, 16)$ . Wie groß ist $\bar{y}$ , die y-Koordinate des Schwerpunkts?
Lösung: 10
$\bar{y} = \frac{5 + 9 + 10 + 16}{4} = \frac{40}{4} = 10$ . (Und $\bar{x} = 5$ , also ist der Schwerpunkt $(5, 10)$ .)
12.
Daten: $(1, 3)$ , $(2, 6)$ , $(3, 6)$ , $(4, 9)$ , $(5, 11)$ . Eine Ausgleichsgerade mit der Steigung $2$ soll durch den Schwerpunkt gehen. Bestimme ihren Achsenabschnitt $b$ .
Lösung: 1
1. Wie groß ist $\bar{x}$ ? 3
2. Wie groß ist $\bar{y}$ ? 7
3. Wie groß ist $b = \bar{y} - 2\bar{x}$ ? 1
13.
Die Ausgleichsgerade für den Akkustand $y$ (%) eines Handys nach $x$ Stunden Nutzung ist $y = -12x + 100$ . Deute sie.
Lösung: 5
1. Um wie viele Prozentpunkte ändert sich der Akkustand pro Stunde? (Nimm eine negative Zahl für eine Abnahme.) -12
2. Welchen Akkustand liefert die Gerade nach 0 Stunden? 100
3. Nach wie vielen Stunden erreicht die Gerade 40 %? 5
14.
Für Schüler zwischen 150 cm und 190 cm Körpergröße ist die Ausgleichsgerade zwischen Größe $x$ (cm) und Armspannweite $y$ (cm) $y = 1{,}1x - 18$ . Was sagt dir der Achsenabschnitt $-18$ ?
1. a)Er hat keine echte Bedeutung: Eine Größe von 0 cm liegt weit außerhalb der Daten
2. b)Die Armspannweite jedes Menschen ist 18 cm kürzer als seine Größe
3. c)Ein 0 cm großer Mensch hat eine Armspannweite von -18 cm, eine echte Vorhersage
4. d)Die Armspannweite wächst pro cm Größe um 18 cm
Lösung: Er hat keine echte Bedeutung: Eine Größe von 0 cm liegt weit außerhalb der Daten
Der Achsenabschnitt ist die vorhergesagte Armspannweite bei einer Größe von $0$ cm. Kein Schüler ist 0 cm groß, und die Daten reichen nur von 150 bis 190 cm, also hat der Achsenabschnitt keine echte Bedeutung. Er legt nur die Lage der Geraden fest.
15.
Eine Ausgleichsgerade hat die Steigung $-4$ und geht durch den Schwerpunkt $(5, 30)$ . Wie groß ist ihr Achsenabschnitt $b$ ?
Lösung: 50
$b = 30 - (-4)(5) = 30 + 20 = 50$ , also lautet die Gerade $y = -4x + 50$ . Probe: $-4 \cdot 5 + 50 = 30$ .
16.
In einem Streudiagramm wird eine Ausgleichsgerade durch die Punkte $(1, 7)$ und $(9, 3)$ auf der Geraden gezeichnet. Bestimme Steigung und Achsenabschnitt und dann den Wert der Geraden bei $x = 5$ .
Lösung: 5
1. Wie groß ist die Steigung $m = \frac{3 - 7}{9 - 1}$ ? Schreibe sie als Dezimalzahl. -0.5
2. Wie groß ist $b = 7 - m \cdot 1$ ? 7.5
3. Welchen Wert liefert die Gerade bei $x = 5$ ? 5
17.
Der Schwerpunkt eines Datensatzes ist $(6, 20)$ . Die Ausgleichsgerade eines Schülers geht durch $(0, 5)$ und $(10, 30)$ . Geht sie durch den Schwerpunkt?
Lösung: 1
1. Wie groß ist die Steigung der Geraden? 2.5
2. Wie groß ist der Achsenabschnitt $b$ ? 5
3. Welchen Wert liefert die Gerade bei $x = 6$ ? 20
4. Geht die Gerade durch den Schwerpunkt? Gib 1 für ja oder 0 für nein ein. 1
18.
Die Ausgleichsgerade eines Cafés für den Preis $x$ (in €) und die verkauften Kuchenstücke pro Tag $y$ geht durch den Schwerpunkt $(4, 18)$ und durch $(8, 10)$ . Bestimme ihre Gleichung und die Zahl der Kuchenstücke, die sie bei einem Preis von 6 € vorhersagt.
Lösung: 14
1. Wie groß ist die Steigung $m = \frac{10 - 18}{8 - 4}$ ? -2
2. Wie groß ist $b = 18 - m \cdot 4$ ? 26
3. Wie viele Kuchenstücke sagt die Gerade bei $x = 6$ vorher? 14