Leitfaden für Lehrer: Ausgleichsgerade

Lerne, eine Ausgleichsgerade nach Augenmaß in ein Streudiagramm zu zeichnen, ihre Gleichung aus zwei Punkten zu bestimmen und Steigung und Achsenabschnitt zu deuten.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Regression. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Eine Ausgleichsgerade nach Augenmaß zeichnen, mit etwa der Hälfte der Punkte darüber und der Hälfte darunter
Beurteilen, ob eine gegebene Gerade zu den Daten passt, und sagen, wie man sie verbessert
Die Gleichung einer Ausgleichsgerade aus zwei Punkten auf der Geraden aufstellen
Steigung und Achsenabschnitt einer Ausgleichsgerade im Sachzusammenhang mit Einheiten deuten
Eine Ausgleichsgerade mit dem Schwerpunkt prüfen und anpassen

Voraussetzungen

• Streudiagramme: Punkte ablesen und einen Trend beschreiben
• Steigung und Normalform der Geradengleichung $y = mx + b$
• Den Mittelwert einer Liste von Zahlen berechnen
• Einführung in die Regression und Lineare Regression (hilfreich, nicht nötig)

Diskussionsstarter

1. Zwei Mitschüler haben für dieselben Daten verschiedene Ausgleichsgeraden gezeichnet. Können beide richtig sein?
2. Warum ist eine Gerade durch den ersten und den letzten Punkt oft eine schlechte Wahl?
3. Was sagt dir eine negative Steigung über die Situation?
4. Fällt dir eine Ausgleichsgerade ein, deren Achsenabschnitt im echten Leben keinen Sinn ergibt?
5. Warum hilft es, den Schwerpunkt einzuzeichnen, bevor man die Gerade zeichnet?

Häufige Missverständnisse

Die Gerade muss durch möglichst viele Datenpunkte gehen

Abhilfe: Zeige eine Gerade, die 3 Punkte trifft, aber 5 Punkte auf einer Seite lässt. Zeige dann eine Gerade, die keinen Punkt trifft, aber die Punkte ausgleicht. Frage, welche den Trend besser beschreibt.

Es gibt genau eine richtige Ausgleichsgerade nach Augenmaß

Abhilfe: Lass Gruppen Geraden für dieselben Daten zeichnen und die Gleichungen vergleichen. Steigungen wie 1,9 und 2,1 sind beide gut; besprecht, was eine Gerade eindeutig falsch macht.

Der Achsenabschnitt hat immer eine echte Bedeutung

Abhilfe: Nimm Körpergröße und Armspannweite oder Temperatur und Limonadenverkauf. Zeige, dass $x = 0$ weit außerhalb der Daten liegen kann, sodass der Achsenabschnitt nur ein Teil der Gleichung ist.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit Daten beginnen, die einen sehr deutlichen Trend und wenige Punkte haben
• Zwei mögliche Geraden vorgeben und nur fragen, welche besser passt
• Geraden vorgeben, die die y-Achse in einem Gitterpunkt schneiden, damit b direkt ablesbar ist

Für Schüler auf Niveau:

• Geraden nach Augenmaß zeichnen und ihre Gleichungen aus zwei Gitterpunkten aufstellen
• Steigung und Achsenabschnitt mit Einheiten in verschiedenen Sachzusammenhängen deuten
• Die Geraden der Klasse mit dem Schwerpunkt der Daten vergleichen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Eine Gerade nach Augenmaß mit der Regressionsgerade aus einem Rechner vergleichen
• Datensätze finden, bei denen der Achsenabschnitt keine Bedeutung hat, und begründen, warum
• Untersuchen, wie ein einzelner Ausreißer die Ausgleichsgerade verschiebt

Standardausrichtung

8.SP.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.2)
Wissen, dass Geraden oft Zusammenhänge zwischen zwei quantitativen Merkmalen modellieren; eine Gerade nach Augenmaß einpassen und die Güte am Abstand der Punkte zur Geraden beurteilen
8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)
Die Gleichung eines linearen Modells nutzen, um Probleme mit zweidimensionalen Messdaten zu lösen, und dabei Steigung und Achsenabschnitt deuten
HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)
Eine lineare Funktion an ein Streudiagramm anpassen, das einen linearen Zusammenhang nahelegt
HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)
Die Steigung (Änderungsrate) und den Achsenabschnitt (konstanter Term) eines linearen Modells im Zusammenhang der Daten deuten

Lektionsressourcen

visualEigene Gerade setzen
Die Schüler tippen zwei Gitterpunkte im Streudiagramm an und sehen sofort die Gleichung ihrer Geraden
activitySpaghetti-Gerade
Die Schüler legen ein Stück ungekochte Spaghetti auf ein ausgedrucktes Streudiagramm, suchen die beste Lage und vergleichen die Gleichungen
worksheetÜbungen zur Ausgleichsgerade
Gegebene Geraden beurteilen, eigene zeichnen und ihre Gleichungen aufstellen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Ausgleichsgerade (auch Trendlinie) ist eine Gerade in einem Streudiagramm, die den allgemeinen Trend der Daten zeigt. Sie muss durch keinen der Punkte gehen.

Eine gute Ausgleichsgerade nach Augenmaß:

hat etwa die Hälfte der Punkte über sich und die Hälfte unter sich
folgt der Richtung der Punkte (steigend, fallend, wie steil)
hat die Punkte entlang ihrer ganzen Länge verteilt, nicht alle oben an einem Ende und alle unten am anderen

Wenn die Gerade gezeichnet ist, wählst du zwei Punkte auf der Geraden (keine Datenpunkte), weit auseinander und auf Gitterpunkten, und bestimmst ihre Gleichung

y = mx + b

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1

Der Schwerpunkt (Mittelwertpunkt)

(\bar{x}, \bar{y})

ist eine gute Hilfe: Die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate geht immer durch ihn, also sollte auch eine gute Gerade nach Augenmaß durch ihn oder ganz nah an ihm vorbeigehen.

Lösungsbeispiele

Mia zählt nach jeder Trainingswoche ihre Liegestütze in einer Minute. Woche 1 bis 8:

6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19

. Drei Schüler zeichnen eine Gerade nach Augenmaß: - Gerade A:

y = 2x + 3

- Gerade B:

y = 2x + 7

- Gerade C:

y = 0{,}5x + 9

Welche Gerade ist die beste Ausgleichsgerade?

Prüfe Gerade B

Gerade B liefert

9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

für die Wochen 1 bis 8. Jeder Datenpunkt liegt tiefer. → Alle 8 Punkte liegen unter Gerade B: sie liegt zu hoch

Prüfe Gerade C

Gerade C liefert

9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13

. Die Wochen 1 bis 3 liegen darunter, die Wochen 4 bis 8 darüber. → Punkte unten am linken Ende, oben am rechten Ende: Gerade C ist zu flach

Prüfe Gerade A

Gerade A liefert

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

. Darüber: Wochen 1, 4, 6. Darunter: Wochen 2, 5, 7. Auf der Geraden: Wochen 3, 8. → 3 darüber, 3 darunter, über die ganze Gerade verteilt

Entscheide

Nur bei Gerade A sind die Punkte auf beiden Seiten über die ganze Länge ausgeglichen, und sie folgt dem steigenden Trend. → Gerade A passt am besten

Antwort: Gerade A, $y = 2x + 3$ , ist die beste Ausgleichsgerade. Gerade B liegt zu hoch und Gerade C ist zu flach.

Häufige Fehler

Die Gerade vom ersten bis zum letzten Datenpunkt zeichnen

Warum es falsch ist: Der erste und der letzte Punkt können ungewöhnlich sein. Eine Gerade durch sie hat oft die meisten Punkte auf einer Seite.

Richtig: Achte nicht auf einzelne Punkte, sondern auf die ganze Wolke: etwa die Hälfte der Punkte darüber, die Hälfte darunter. Die Gerade darf durch gar keinen Punkt gehen.

Die Anzahl der Punkte ausgleichen, aber dem Trend nicht folgen

Warum es falsch ist: Eine zu flache Gerade kann 4 Punkte darüber und 4 darunter haben, aber alle tiefen liegen am linken Ende und alle hohen am rechten.

Richtig: Prüfe beide Enden: In der Nähe jedes Endes der Geraden sollten Punkte darüber und darunter liegen.

Die Steigung aus zwei Datenpunkten statt aus zwei Punkten auf der Geraden berechnen

Warum es falsch ist: Datenpunkte liegen meist nicht auf der Geraden, also ist ihre Steigung nicht die Steigung deiner Geraden.

Richtig: Lies zwei Punkte ab, die auf deiner gezeichneten Geraden liegen, weit auseinander und auf Gitterpunkten, und rechne dann $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Die Steigung als Wert von y statt als Änderung lesen

Warum es falsch ist: Bei $y = 2x + 3$ für Wochen und Liegestütze bedeutet $2$ nicht "2 Liegestütze". Es ist die Änderung pro Woche.

Richtig: Nenne die Steigung mit beiden Einheiten: etwa 2 Liegestütze mehr pro Trainingswoche.

Warum es wichtig ist

Echte Daten liegen nie genau auf einer Geraden, aber oft folgen sie einem klaren Trend:

Sport: Eine Trainerin sieht, wie schnell sich eine Sportlerin pro Trainingswoche verbessert
Geschäfte: Ein Café sieht, wie viele Heißgetränke es an jedem wärmeren Tag weniger verkauft
Naturwissenschaft: Ein Schüler bestimmt aus verstreuten Messungen, wie schnell eine Pflanze pro Tag wächst
Geld: Ein Käufer sieht, wie viel Wert ein gebrauchtes Fahrrad pro Jahr verliert

Eine Ausgleichsgerade macht aus einer Punktwolke eine einfache Regel

y = mx + b

. Die Steigung sagt, wie stark sich

y

pro Einheit von

x

ändert, der Achsenabschnitt, wo der Trend beginnt. Sie ist der erste Schritt, bevor du Vorhersagen machst, Residuen untersuchst und misst, wie gut eine Gerade passt.

Anwendungen im echten Leben

Training für einen Lauf

Trainer zeichnen eine Trendlinie durch die Zeiten einer Sportlerin, um zu sehen, um wie viel sie pro Woche schneller wird.

Beispiel:

Die 5-km-Zeiten einer Läuferin sinken in einigen Wochen von etwa 30 Minuten auf etwa 22 Minuten. Die Trendlinie zeigt die gleichmäßige Verbesserung, auch an schlechten Tagen.

1Probiere es selbst

Die Ausgleichsgerade für die 5-km-Zeit $y$ (Minuten) einer Läuferin nach $x$ Wochen geht durch $(2, 30)$ und $(6, 22)$ .

Wie groß ist die Steigung der Geraden in Minuten pro Woche?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Steigung = Änderung von y geteilt durch Änderung von x:

Limonadenstand

Kleine Verkäufer tragen die Temperatur gegen die Verkäufe auf, um zu planen, wie viel sie vorbereiten.

Beispiel:

An heißen Tagen verkauft ein Stand viel mehr Becher. Eine Trendlinie durch die Daten eines Sommers zeigt, wie viele Becher jedes Grad ungefähr zusätzlich bringt.

2Probiere es selbst

Die Ausgleichsgerade eines Limonadenstands für die Temperatur $x$ (°C) und die verkauften Becher $y$ geht durch $(20, 30)$ und $(30, 50)$ .

Wie groß ist der y-Achsenabschnitt $b$ dieser Geraden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme die Steigung und rechne dann $b = y_1 - m x_1$ :

Experiment zum Pflanzenwachstum

Im Biologieunterricht messen Schüler eine Pflanze alle paar Tage und beschreiben ihre Wachstumsrate mit einer Trendlinie.

Beispiel:

Messungen sind nie perfekt, daher streuen die Höhen ein wenig. Die Ausgleichsgerade liefert eine einzige Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag.

3Probiere es selbst

Eine Pflanze wird an den Tagen $2, 4, 6, 8$ gemessen, mit den Höhen $3, 6, 8, 11$ cm. Die Ausgleichsgerade hat die Steigung $1{,}3$ und geht durch den Schwerpunkt.

Wie groß ist der Achsenabschnitt $b$ der Geraden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze den Schwerpunkt in $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ein:

Wichtige Erkenntnisse

1Eine Ausgleichsgerade ist eine Gerade, die den allgemeinen Trend der Punkte in einem Streudiagramm zeigt
2Zeichne sie nach Augenmaß so, dass etwa die Hälfte der Punkte darüber und die Hälfte darunter liegt, über ihre ganze Länge
3Die Gerade folgt der Richtung der Daten und darf durch gar keinen Datenpunkt gehen
4Bestimme ihre Gleichung aus zwei Punkten auf der Geraden: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , dann $b = y_1 - m x_1$
5Die Steigung ist die Änderung von $y$ pro Einheit von $x$ ; der Achsenabschnitt ist der vorhergesagte Wert von $y$ bei $x = 0$ , der manchmal keine echte Bedeutung hat
6Die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate geht immer durch den Schwerpunkt $(\bar{x}, \bar{y})$ , also geht eine gute Gerade nach Augenmaß nah an ihm vorbei

Häufig gestellte Fragen

Gibt es nur eine richtige Ausgleichsgerade?

Nach Augenmaß nicht. Zwei Schüler können leicht verschiedene Geraden zeichnen, und beide sind gut. Ihre Steigungen und Achsenabschnitte liegen nah beieinander. Nur die Regressionsgerade aus der Lektion Lineare Regression ist eine genau festgelegte Gerade.

Muss die Gerade durch den Ursprung gehen?

Nein. Die Gerade verläuft dort, wohin die Daten zeigen. Zwinge sie nur dann durch

(0, 0)

, wenn die Situation wirklich bei null beginnt und die Daten dazu passen.

Soll ich Punkte zählen, die genau auf der Geraden liegen?

Punkte auf der Geraden zählen für keine Seite. Gleiche die Punkte darüber mit den Punkten darunter aus.

Wann sollte ich keine Ausgleichsgerade zeichnen?

Wenn das Streudiagramm keinen Trend zeigt oder die Punkte einer deutlichen Kurve folgen. Eine Gerade ist nur bei einem linearen Muster sinnvoll.

Glossar

Ausgleichsgerade: Eine Gerade in einem Streudiagramm, die den allgemeinen Trend der Daten zeigt (auch Trendlinie genannt)
Steigung: Die Änderung von $y$ , wenn $x$ um 1 wächst; entlang der Geraden $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Achsenabschnitt: Der Wert von $y$ , an dem die Gerade die y-Achse schneidet, also bei $x = 0$
Schwerpunkt: Der Punkt $(\bar{x}, \bar{y})$ aus dem Mittelwert aller x-Werte und dem Mittelwert aller y-Werte (auch Mittelwertpunkt genannt)
Regressionsgerade: Die genaue Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate; sie geht immer durch den Schwerpunkt

Formelkarte

Steigung aus zwei Punkten

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Nimm zwei Punkte auf der gezeichneten Geraden, keine Datenpunkte

Achsenabschnitt

b = y_1 - m x_1

Setze einen Punkt der Geraden und die Steigung in $y = mx + b$ ein

Ausgleichsgerade

y = mx + b

Die Gleichung der Trendlinie

Schwerpunkt

\bar{y} = m\bar{x} + b

Die Regressionsgerade geht durch $(\bar{x}, \bar{y})$

Mehr zu diesem Thema

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Training für einen Lauf

Limonadenstand

Experiment zum Pflanzenwachstum

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Steigung aus zwei Punkten

Achsenabschnitt

Ausgleichsgerade

Schwerpunkt

Mehr zu diesem Thema

Einführung in die Regression

Lineare Regression

Streudiagramme

Vorhersagen aus Daten treffen