Vorhersagen aus Daten treffen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Eine Regressionsgerade ist $\hat{y} = 4x + 10$ . Wie groß ist der vorhergesagte Wert für $x = 5$ ?
1. a)14
2. b)40
3. c)30
4. d)20
Lösung: 30
$\hat{y} = 4(5) + 10 = 20 + 10 = 30$ . Die Antwort 20 vergisst den y-Achsenabschnitt, und 14 addiert die Steigung zum y-Achsenabschnitt ( $4 + 10$ ) und vergisst $x$ .
2.
Die Regressionsgerade eines Datensatzes ist $\hat{y} = 3x + 12$ . Sage $\hat{y}$ für $x = 6$ vorher.
Lösung: 30
$\hat{y} = 3(6) + 12 = 18 + 12 = 30$ .
3.
Die Daten in einem Streudiagramm haben $x$ -Werte von $2$ bis $10$ . Für welchen $x$ -Wert ist eine Vorhersage eine Interpolation?
1. a)12
2. b)7
3. c)15
4. d)0
Lösung: 7
Nur $7$ liegt im Bereich: $2 \le 7 \le 10$ . Die Werte $0$ , $12$ und $15$ liegen außerhalb, Vorhersagen dort sind also Extrapolationen.
4.
Die Höhe einer Pflanze in mm folgt $\hat{y} = 2{,}5x + 40$ , wobei $x$ die Anzahl der Tage ist (Daten von Tag 1 bis Tag 10). Sage die Höhe am Tag $4$ vorher.
Lösung: 50
$\hat{y} = 2{,}5(4) + 40 = 10 + 40 = 50$ mm. Tag 4 liegt innerhalb der Daten, es ist also eine Interpolation.
5.
Ein Laden beschreibt seine täglichen Regenschirmverkäufe mit $\hat{y} = 6x + 20$ , wobei $x$ die Regenmenge in mm ist (Daten von 0 bis 12 mm). Sage die Verkäufe an einem Tag mit $7$ mm Regen vorher.
Lösung: 62
1. Multipliziere die Steigung mit x: Was ist $6 \times 7$ ? 42
2. Addiere den y-Achsenabschnitt 20. Wie viele Regenschirme werden vorhergesagt? 62
6.
Vier Datensätze haben jeweils eine Regressionsgerade. Welcher Korrelationskoeffizient liefert die verlässlichsten Vorhersagen?
1. a)r = -0,95
2. b)r = 0,1
3. c)r = 0,25
4. d)r = 0,5
Lösung: r = -0,95
$|-0{,}95| = 0{,}95$ liegt am nächsten an $1$ , die Punkte liegen also sehr nahe an der Geraden. Das negative Vorzeichen bedeutet nur, dass die Gerade fällt.
7.
Ein Modell sagt eine Punktzahl mit $\hat{y} = 4x + 18$ vorher, wobei $x$ die Übungsstunden sind (Daten von 2 bis 15 Stunden). Für welches $x$ ist die vorhergesagte Punktzahl $50$ ?
Lösung: 8
1. Schreibe $50 = 4x + 18$ und ziehe auf beiden Seiten 18 ab. Was ist $50 - 18$ ? 32
2. Teile durch die Steigung: Was ist $32 \div 4$ ? 8
8.
Mit $\hat{y} = 5x + 52$ ( $x$ = Lernstunden, $\hat{y}$ = Punktzahl): Wie viele Lernstunden sagen eine Punktzahl von $87$ vorher?
Lösung: 7
$87 - 52 = 35$ und $35 \div 5 = 7$ , also $x = 7$ Stunden.
9.
Ein Schulfest beschreibt die Besucherzahl mit $\hat{y} = 14{,}6x + 23$ , wobei $x$ die Anzahl der Plakate ist (Daten von 2 bis 10 Plakaten). Sage die Besucherzahl für $6$ Plakate vorher, gerundet auf eine ganze Zahl.
Lösung: 111
1. Berechne $14{,}6 \times 6$ 87.6
2. Addiere den y-Achsenabschnitt 23. Wie groß ist $\hat{y}$ ? 110.6
3. Runde auf eine ganze Zahl von Besuchern 111
10.
Die Gerade $\hat{y} = 5x + 52$ wurde an Daten von 1 bis 8 Lernstunden angepasst. Für 12 Stunden sagt sie $112$ von $100$ Punkten vorher. Was ist das Problem?
1. a)Der y-Achsenabschnitt müsste 0 sein
2. b)12 Stunden liegen außerhalb der Daten, und mehr als 100 Punkte sind unmöglich
3. c)Nichts, die Vorhersage ist verlässlich
4. d)Die Steigung müsste negativ sein
Lösung: 12 Stunden liegen außerhalb der Daten, und mehr als 100 Punkte sind unmöglich
Die Rechnung $5(12) + 52 = 112$ stimmt, aber es ist eine Extrapolation: Das Muster wurde nur zwischen 1 und 8 Stunden beobachtet, und bei 100 Punkten ist Schluss.
11.
Beim Spielen folgt der Akkustand eines Handys $\hat{y} = 100 - 12x$ (Prozent), wobei $x$ die Spielstunden sind (Daten von 0 bis 6 Stunden). Sage den Akkustand nach $4{,}5$ Stunden vorher.
Lösung: 46
1. Berechne $12 \times 4{,}5$ 54
2. Ziehe von 100 ab: Wie hoch ist der vorhergesagte Akkustand in Prozent? 46
12.
Mit dem Akkumodell $\hat{y} = 100 - 12x$ ( $x$ in Stunden, $\hat{y}$ in Prozent): Nach wie vielen Stunden sagt das Modell einen Akkustand von $40\%$ vorher?
Lösung: 5
$40 = 100 - 12x \Rightarrow 12x = 60 \Rightarrow x = 5$ Stunden, und das liegt innerhalb der Daten von 0 bis 6 Stunden.
13.
Ein Regressionsmodell sagt, dass Tom $5{,}6$ Stunden lernen muss, um seine Zielpunktzahl zu erreichen. Welcher Plan ist am sinnvollsten?
1. a)5 Stunden lernen
2. b)Etwa 6 Stunden lernen
3. c)Genau 5,6 Stunden lernen, keine Minute mehr
4. d)0,6 Stunden lernen
Lösung: Etwa 6 Stunden lernen
Um ein Ziel zu erreichen, rundest du auf: etwa 6 Stunden. Mit 5 Stunden wird eine zu niedrige Punktzahl vorhergesagt, und genau 5,6 Stunden tun so, als wäre die Schätzung völlig exakt.
14.
Eine Regressionsgerade hat die Steigung $m = 2{,}5$ und verläuft durch den Mittelwertpunkt $(\bar{x}, \bar{y}) = (4, 30)$ . Sage $\hat{y}$ für $x = 6$ vorher.
Lösung: 35
1. Bestimme den y-Achsenabschnitt: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 30 - 2{,}5 \times 4$ 20
2. Berechne $2{,}5 \times 6$ 15
3. Addiere den y-Achsenabschnitt: Wie groß ist $\hat{y}$ ? 35
15.
Ein Wachstumsmodell für Kinder von 2 bis 10 Jahren ist $\hat{y} = 6x + 77$ (Größe in cm, Alter $x$ in Jahren). Jemand nutzt es, um die Größe eines 40-Jährigen vorherzusagen.
Lösung: 317
1. Berechne $6 \times 40$ 240
2. Addiere 77. Welche Größe in cm sagt das Modell vorher? 317
3. Sind 317 cm eine realistische Größe für einen Erwachsenen? nein
16.
Eine Regressionsgerade ist $\hat{y} = 2{,}4x + 15{,}6$ . Für welches $x$ ist der vorhergesagte Wert $39{,}6$ ?
Lösung: 10
$39{,}6 = 2{,}4x + 15{,}6 \Rightarrow 24 = 2{,}4x \Rightarrow x = 10$ . Probe: $2{,}4(10) + 15{,}6 = 39{,}6$ .
17.
Eine Klasse hat zwei Modelle für die Punktzahl: Lernstunden, $\hat{y} = 5x + 52$ mit $r \approx 0{,}99$ , und Schlafstunden, $\hat{y} = 2x + 59$ mit $r \approx 0{,}21$ . Beide werden für $x = 6$ Stunden genutzt.
Lösung: 82
1. Sage mit dem Lernmodell für $x = 6$ vorher 82
2. Sage mit dem Schlafmodell für $x = 6$ vorher 71
3. Welche Vorhersage ist verlässlicher? das Lernmodell
18.
Mit $\hat{y} = 5x + 52$ ( $x$ = Lernstunden, Daten von 1 bis 8 Stunden) möchte Mia mindestens $90$ Punkte erreichen. Wie viele ganze Stunden sollte sie einplanen?
Lösung: 8
1. Schreibe $90 = 5x + 52$ . Was ist $90 - 52$ ? 38
2. Teile durch die Steigung: Was ist $38 \div 5$ ? 7.6
3. Wie viele ganze Stunden braucht sie, um mindestens 90 zu erreichen? 8