Zurück zur Lektion

Leitfaden für Lehrer: Vorhersagen aus Daten treffen

Nutze eine Regressionsgerade, um Werte vorherzusagen, rückwärts auf ein Ziel zu rechnen und zu beurteilen, wann du einer Vorhersage trauen kannst.

Lektion präsentierenSchülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Regression. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Einen x-Wert in eine Regressionsgleichung einsetzen, um einen vorhergesagten Wert zu berechnen
  • Eine Regressionsgleichung nach x auflösen, um die Eingabe für einen Zielwert zu finden
  • Interpolation und Extrapolation unterscheiden und erklären, warum Extrapolation riskant ist
  • Vorhersagen mit einer Genauigkeit und Richtung runden, die zum Zusammenhang passen
  • Die Verlässlichkeit einer Vorhersage anhand der Stärke der Korrelation beurteilen
Voraussetzungen
  • • Einführung in die Regression: die Ausgleichsgerade y=mx+by = mx + b
  • • Lineare Regression: Steigung und y-Achsenabschnitt einer Regressionsgeraden
  • • Korrelationskoeffizient: rr als stark, mäßig oder schwach einordnen
  • • Daten interpretieren und Vorhersagen treffen: allgemeine Trends in Daten
  • • Lineare Gleichungen in zwei Schritten lösen
Diskussionsstarter
  • 1. Eine Gerade sagt 112 von 100 Punkten vorher. Was ist schiefgelaufen, und wie hättest du es schon vor dem Rechnen bemerken können?
  • 2. Wann sollte eine Vorhersage aufgerundet werden statt auf die nächste ganze Zahl?
  • 3. Zwei Geraden liefern Vorhersagen mit derselben Methode. Warum kann man der einen viel mehr trauen als der anderen?
  • 4. Wettervorhersagen für nächste Woche sind ungenauer als für morgen. Was hat das mit Extrapolation zu tun?
Häufige Missverständnisse

Ein vorhergesagter Wert tritt garantiert ein

Abhilfe: Zeige das Streudiagramm: Echte Punkte liegen über und unter der Geraden. Vergleiche die Vorhersage für 7 Stunden mit den echten Ergebnissen 62 und 88 im schwachen Datensatz.

Wenn die Gleichung eine Zahl liefert, muss die Zahl sinnvoll sein

Abhilfe: Lass die Lernenden absichtlich extrapolieren (12 Lernstunden, 15 Stunden Akku) und die Antworten mit der Wirklichkeit vergleichen: 112 Punkte, -20 %.

Um x für ein Ziel zu finden, setzt man das Ziel für x ein

Abhilfe: Frage zuerst: Ist die gegebene Zahl ein x-Wert oder ein y-Wert? Lass die Einheiten (Stunden oder Punkte) notieren, bevor die Gleichung aufgestellt wird.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Zuerst ganzzahlige Steigungen und y-Achsenabschnitte verwenden
  • • Eine Tabelle geben, bei der der Datenbereich über jeder Aufgabe steht
  • • Erst nur y aus x vorhersagen, bevor nach x aufgelöst wird

Für Schüler auf Niveau:

  • • Vorhersage- und Auflöse-Aufgaben mit Dezimalsteigungen mischen
  • • Jede Vorhersage als Interpolation oder Extrapolation einordnen
  • • Die Rundungsrichtung aus dem Zusammenhang bestimmen

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Vorhersagen aus einem starken und einem schwachen Datensatz vergleichen und den Unterschied mit r erklären
  • • Den x-Wert finden, ab dem ein Modell ein unmögliches Ergebnis liefert (Akku bei 0 %, Punktzahl bei 100)
  • • Eine echte Prognose recherchieren und besprechen, wie weit sie extrapoliert
Standardausrichtung
  • 8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)

    Die Gleichung eines linearen Modells nutzen, um Probleme mit zweidimensionalen Messdaten zu lösen und Steigung und Achsenabschnitt zu deuten

  • HSS.ID.B.6.A (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.A)

    Eine Funktion an Daten anpassen und angepasste Funktionen nutzen, um Probleme im Zusammenhang der Daten zu lösen

  • HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)

    Den Korrelationskoeffizienten einer linearen Anpassung (mit Technologie) berechnen und deuten

Lektionsressourcen
  • visualVorhersage-Schieberegler

    Die Lernenden bewegen x entlang der Regressionsgeraden und sehen, wie sich die Vorhersage und der Abstand zum Datenbereich ändern

  • activityVorhersagen, dann prüfen

    Die Lernenden sagen Werte aus einem Klassendatensatz vorher und vergleichen sie bei starken und schwachen Daten mit echten Messungen

  • worksheetInterpolation oder Extrapolation?

    Gemischte Übungen: vorhersagen, nach x auflösen, jede Vorhersage einordnen und im Zusammenhang runden

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Sobald du eine Regressionsgerade y^=mx+b\hat{y} = mx + b hast, kannst du damit Vorhersagen treffen. Das Symbol y^\hat{y} (gelesen "y Dach") ist der vorhergesagte Wert: der Wert, den die Gerade erwartet, kein gemessener Wert.
Es gibt zwei Arten von Fragen:
  • yy aus xx vorhersagen**: Setze den xx-Wert ein und berechne y^=mx+b\hat{y} = mx + b.
  • xx für ein Ziel yy finden**: Setze mx+bmx + b gleich dem Zielwert und löse auf: x=y−bmx = \frac{y - b}{m}.
Wo der xx-Wert liegt, ist wichtig:
  • Interpolation: xx liegt innerhalb des Datenbereichs. Die Vorhersage ist meist vernünftig.
  • Extrapolation: xx liegt außerhalb des Datenbereichs. Das Muster muss sich nicht fortsetzen, die Vorhersage ist also riskant.
Wie sehr du einer Vorhersage trauen kannst, hängt von der Stärke der Korrelation ab: Liegt rr nahe bei 11 oder −1-1, liegen die Punkte dicht an der Geraden und die Vorhersagen sind verlässlich; liegt rr nahe bei 00, sind sie nur grobe Schätzungen.

Lösungsbeispiele

Eine Klasse hat Lernstunden (xx, von 1 bis 8 Stunden) und Testergebnisse (yy, von 100 Punkten) erfasst. Die Regressionsgerade ist y^=5x+52\hat{y} = 5x + 52. Sage die Punktzahl einer Schülerin vorher, die 6,56{,}5 Stunden lernt.
1

Prüfe, wo der x-Wert liegt

Die Daten reichen von 11 bis 88 Stunden, und 1≤6,5≤81 \le 6{,}5 \le 8 → Innerhalb der Daten: Interpolation
2

Setze x = 6,5 in die Gleichung ein

y^=5(6,5)+52\hat{y} = 5(6{,}5) + 52 → y^=5×6,5+52\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52
3

Multipliziere

5×6,5=32,55 \times 6{,}5 = 32{,}5
4

Addiere den y-Achsenabschnitt

32,5+52=84,532{,}5 + 52 = 84{,}5 → y^=84,5\hat{y} = 84{,}5

Häufige Fehler

Den Ziel-y-Wert für x einsetzen: für eine Zielpunktzahl von 8080 rechnen 5(80)+52=4525(80) + 52 = 452

Warum es falsch ist: 8080 ist eine Punktzahl, also ein yy-Wert. Setzt du sie für xx ein, beantwortest du eine andere Frage (die Punktzahl nach 80 Lernstunden).

Richtig: Setze die Gleichung gleich dem Zielwert und löse nach xx auf: 80=5x+5280 = 5x + 52, also x=5,6x = 5{,}6.

Der Extrapolation trauen: 112112 Punkte für 1212 Lernstunden vorhersagen

Warum es falsch ist: Das Muster wurde nur zwischen 1 und 8 Stunden beobachtet. Außerhalb davon kann es sich ändern, und hier kann die Punktzahl nicht einmal über 100 liegen.

Richtig: Prüfe immer zuerst den Datenbereich. Kennzeichne Vorhersagen außerhalb davon als Extrapolation und behandle sie mit Vorsicht.

Runden, ohne an die Situation zu denken: 84,584{,}5 Punkte als exakt angeben oder 5,65{,}6 Stunden auf 55 abrunden

Warum es falsch ist: Eine Vorhersage ist eine Schätzung, zusätzliche Nachkommastellen täuschen eine Genauigkeit vor, die sie nicht hat. Rundest du bei einem Ziel ab, reicht es eventuell nicht (5 Stunden ergeben nur 77 Punkte).

Richtig: Runde auf die Genauigkeit der Daten und runde auf, wenn du ein Ziel erreichen oder alle versorgen musst (Zeit, Stühle, Busse).

Jede Vorhersage für gleich verlässlich halten

Warum es falsch ist: Eine Gerade lässt sich immer berechnen, auch für verstreute Daten. Mit r≈0,21r \approx 0{,}21 können die echten Werte weit von y^\hat{y} entfernt sein.

Richtig: Schau dir zuerst das Streudiagramm oder rr an: ∣r∣|r| nahe 1 bedeutet eine verlässliche Vorhersage, ∣r∣|r| nahe 0 nur eine grobe Schätzung.

Warum es wichtig ist

Vorhersagen sind der Hauptgrund, warum man überhaupt eine Gerade an Daten anpasst:
  • Planung: Ein Schulfest schätzt, wie viele Besucher kommen, und weiß so, wie viele Stühle es aufstellen muss.
  • Gesundheit: Ärztinnen und Ärzte vergleichen die Körpergröße eines Kindes mit Wachstumsmodellen, um zu sehen, ob es sich normal entwickelt.
  • Liefer-Apps: Apps schätzen aus der Entfernung zum Restaurant, wie lange deine Bestellung dauert.
  • Akkus: Handys schätzen aus dem Tempo, in dem der Akku leer wird, wie viele Stunden noch bleiben.
Eine Vorhersage nützt nur, wenn du auch weißt, wie sehr du ihr trauen kannst. Wer Interpolation und Extrapolation unterscheidet, sinnvoll rundet und die Korrelation prüft, glaubt keinen Zahlen wie 112 von 100 Punkten in einem Test.

Anwendungen im echten Leben

Wachstumskurven bei Kindern

Ärztinnen und Ärzte vergleichen die Körpergröße eines Kindes mit Wachstumsmodellen. Ein einfaches Modell für 2 bis 10 Jahre ist $\hat{y} = 6x + 77$, wobei $x$ das Alter in Jahren und $\hat{y}$ die Größe in cm ist. Das Modell gilt nur für dieses Alter: Für einen 40-jährigen Erwachsenen würde es $317$ cm vorhersagen.

Beispiel:

Mit 5 Jahren sagt das Modell 6(5)+77=1076(5) + 77 = 107 cm vorher.

1Probiere es selbst

Ein Wachstumsmodell für 2 bis 10 Jahre ist y^=6x+77\hat{y} = 6x + 77 (Größe in cm, Alter xx in Jahren).

Welche Größe sagt das Modell für ein 8-jähriges Kind vorher?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze x=8x = 8 ein:

Lieferzeiten schätzen

Essens-Lieferdienste passen Geraden an frühere Bestellungen an, um Lieferzeiten zu schätzen. Eine App fand $\hat{y} = 3x + 8$, wobei $x$ die Entfernung in km ist (Bestellungen von 1 bis 12 km) und $\hat{y}$ die Zeit in Minuten.

Beispiel:

Für ein Restaurant in 5 km Entfernung sagt die App 3(5)+8=233(5) + 8 = 23 Minuten vorher.

2Probiere es selbst

Das Liefermodell ist y^=3x+8\hat{y} = 3x + 8 (Minuten, Entfernung xx in km, Daten von 1 bis 12 km). Die App möchte eine Lieferung in 35 Minuten versprechen.

Bis zu welcher Entfernung in km kann die App das versprechen?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse 35=3x+835 = 3x + 8 nach xx auf:

Akku-Prognosen auf dem Handy

Handys schätzen den restlichen Akkustand aus dem Tempo, in dem er sinkt. Messungen beim Videostreaming ergaben $\hat{y} = 100 - 8x$, wobei $x$ die Stunden Video sind (Daten von 0 bis 10 Stunden) und $\hat{y}$ der Akkustand in Prozent.

Beispiel:

Nach 6 Stunden Video sagt das Modell 100−8(6)=52%100 - 8(6) = 52\% vorher.

3Probiere es selbst

Das Akkumodell ist y^=100−8x\hat{y} = 100 - 8x (Prozent, xx in Stunden, Daten von 0 bis 10 Stunden). Jemand fragt, was der Akku nach 15 Stunden Video anzeigen wird.

Welchen Wert sagt das Modell für 15 Stunden vorher?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze x=15x = 15 ein:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Um yy vorherzusagen, setzt du xx in y^=mx+b\hat{y} = mx + b ein; y^\hat{y} ist ein vorhergesagter Wert, kein gemessener
  • 2Um das xx für ein Ziel yy zu finden, setzt du mx+bmx + b gleich dem Zielwert und löst auf: x=y−bmx = \frac{y - b}{m}
  • 3Interpolation sagt innerhalb des Datenbereichs vorher und ist meist vernünftig
  • 4Extrapolation sagt außerhalb des Datenbereichs vorher und ist riskant: Sie kann sogar unmögliche Werte liefern
  • 5Runde Vorhersagen auf eine sinnvolle Genauigkeit und runde auf, wenn du ein Ziel erreichen oder alle versorgen musst
  • 6Vorhersagen sind verlässlich, wenn ∣r∣|r| nahe bei 1 liegt, und nur grobe Schätzungen, wenn rr nahe bei 0 liegt

Häufig gestellte Fragen

Warum schreiben wir y^\hat{y} statt yy?

Das Dach zeigt, dass der Wert von der Geraden stammt und eine Vorhersage ist. Der echte, gemessene Wert ist yy. Wenn du beide trennst, denkst du daran, dass ein echtes Ergebnis über oder unter der Vorhersage liegen kann.

Ist Extrapolation immer falsch?

Nicht immer. Knapp außerhalb der Daten (zum Beispiel x=0x = 0 oder x=9x = 9, wenn die Daten von 1 bis 8 reichen) kann die Schätzung noch brauchbar sein. Je weiter du gehst, desto eher ändert sich das Muster, also sag deutlich, dass du extrapolierst.

Wie nahe an 1 muss rr für eine gute Vorhersage liegen?

Eine gängige Faustregel: ∣r∣≥0,7|r| \ge 0{,}7 ist stark, 0,40{,}4 bis 0,70{,}7 ist mäßig und unter 0,40{,}4 ist schwach. Auch bei starker Korrelation kann eine einzelne Vorhersage ein paar Punkte danebenliegen.

Kann ich mit derselben Geraden xx aus yy vorhersagen?

Wenn du y=mx+by = mx + b nach xx auflöst, bekommst du eine gute Schätzung für die Planung, wie im Beispiel mit den Lernstunden. Wer in der Statistik nur xx vorhersagen will, berechnet eine eigene Gerade mit xx als Zielvariable, sieh das Ergebnis also als Schätzung.

Glossar

Vorhergesagter Wert y^\hat{y}
Der Wert von yy, den die Regressionsgerade für ein gewähltes xx liefert
Datenbereich
Das Intervall vom kleinsten bis zum größten xx-Wert in den Daten
Interpolation
Eine Vorhersage für einen xx-Wert innerhalb des Datenbereichs
Extrapolation
Eine Vorhersage für einen xx-Wert außerhalb des Datenbereichs; riskant, weil sich das Muster ändern kann
Erklärende Variable
Die Variable xx, mit der die Vorhersage gemacht wird (zum Beispiel Lernstunden)
Zielvariable
Die Variable yy, die vorhergesagt wird (zum Beispiel die Punktzahl)

Formelkarte

y aus x vorhersagen

y^=mx+b\hat{y} = mx + b

Setze den x-Wert ein und rechne aus

x für ein Ziel y finden

x=y−bmx = \frac{y - b}{m}

Ziehe den y-Achsenabschnitt ab und teile dann durch die Steigung

Interpolations-Check

xmin⁡≤x≤xmax⁡x_{\min} \le x \le x_{\max}

Liegt x innerhalb des Datenbereichs, ist die Vorhersage eine Interpolation, sonst eine Extrapolation

Mehr zu diesem Thema

Einführung in die Regression

Fortgeschritten25 Min

Lineare Regression

Fortgeschritten25 Min

Streudiagramme

Mittelstufe25 Min

Ausgleichsgerade

Mittelstufe25 Min