Desigualdades de un paso

Aprende a resolver desigualdades que requieren solo una operación, y comprende por qué el signo de desigualdad se invierte al multiplicar o dividir por un número negativo.

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Definición

Una desigualdad de un paso es una desigualdad que se puede resolver con una sola operación (suma, resta, multiplicación o división).
Principio clave: ¡Resuelve las desigualdades igual que las ecuaciones - haz la misma operación en ambos lados!
x+5>8⇒x>3x + 5 > 8 \quad \Rightarrow \quad x > 3
REGLA CRÍTICA: Cuando multiplicas o divides ambos lados por un número negativo, ¡debes INVERTIR el signo de desigualdad!
−2x>6⇒x<−3-2x > 6 \quad \Rightarrow \quad x < -3
OriginalDespués de × o ÷ por negativo
<<>>
>><<
≤\leq≥\geq
≥\geq≤\leq

Pruébalo ahora

Resuelve: x+5>9x + 5 > 9

Ejemplos resueltos

Resuelve: x+7>12x + 7 > 12
1

Identifica la operación

Se suma 7 a xx → Operación: suma
2

Usa la operación inversa

Resta 7 de ambos lados: x+7−7>12−7x + 7 - 7 > 12 - 7 → x>5x > 5
3

Comprueba con un valor

Prueba x=6x = 6: 6+7=136 + 7 = 13, y 13>1213 > 12 ✓ → Solución verificada

Errores comunes

Olvidar invertir el signo al dividir entre un negativo

Por qué está mal: ¡Este es el error más común! Los estudiantes aplican correctamente las operaciones inversas pero olvidan esta regla especial.

Correcto: SIEMPRE comprueba: ¿Estoy multiplicando o dividiendo por un NEGATIVO? Si es así, ¡INVIERTE el signo de desigualdad!

Invertir el signo en cualquier operación con números negativos

Por qué está mal: Los estudiantes aplican la regla en exceso, invirtiendo también al sumar o restar números negativos.

Correcto: Solo invierte al MULTIPLICAR o DIVIDIR por negativo. ¡x+(−5)>3x + (-5) > 3 NO requiere inversión!

Hacer operaciones diferentes en cada lado

Por qué está mal: A diferencia de las ecuaciones, la diferencia visual en las desigualdades puede confundir a los estudiantes.

Correcto: Igual que las ecuaciones: lo que haces a la izquierda, DEBES hacerlo a la derecha también.

Escribir la respuesta en la dirección equivocada

Por qué está mal: Después de resolver, los estudiantes escriben 5>x5 > x en vez de x<5x < 5.

Correcto: La convención es escribir la variable a la izquierda: x<5x < 5 es más claro que 5>x5 > x.

Visual interactivo

a

x ≥ 7·[7, ∞)

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

a

x < -5·(−∞, -5)

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
Resuelve: x+5>9x + 5 > 9

Por qué es importante

Las desigualdades de un paso son la base para resolver desigualdades más complejas y aparecen en todas partes en la vida real:
  • Presupuesto: Si tienes 50 euros y quieres ahorrar al menos 20, ¿cuánto puedes gastar? (50−x≥2050 - x \geq 20)
  • Gestión del tiempo: Si necesitas al menos 8 horas de sueño y te despiertas a las 7, ¿a qué hora debes dormir? (7−t≥87 - t \geq 8)
  • Deportes: ¿Cuántos puntos más necesita un equipo para ganar? (puntos+x>rival\text{puntos} + x > \text{rival})
  • Cocina: Si una receta es para 4 personas y necesitas alimentar al menos 12, ¿cuántas porciones? (4n≥124n \geq 12)
¡Dominar las desigualdades de un paso te prepara para desigualdades de varios pasos y resolución de problemas reales!

Aplicaciones del mundo real

Presupuesto y ahorro

Cuando necesitas ahorrar una cantidad mínima, las desigualdades ayudan a determinar cuánto puedes gastar.

Ejemplo:

Tienes 75 euros y quieres guardar al menos 30 euros para emergencias. ¿Cuánto puedes gastar? 75−x≥3075 - x \geq 30, así que x≤45x \leq 45.

1Inténtalo tú mismo

Ganas 12 euros por hora en tu trabajo de medio tiempo. Quieres ganar al menos 60 euros esta semana.

¿Cuántas horas debes trabajar?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

¿Qué desigualdad corresponde a las horas hh?

Límites de temperatura

Los experimentos científicos a menudo requieren temperaturas dentro de ciertos rangos.

Ejemplo:

Una reacción química requiere que la temperatura permanezca bajo 100°C. Si la habitación está a 25°C y el calor aumenta 15° por minuto: 25+15t<10025 + 15t < 100.

2Inténtalo tú mismo

Un congelador debe mantener los alimentos a −18°C-18°C o menos. La temperatura actual es −10°C-10°C, y baja 2°C2°C por hora.

¿Después de cuántas horas alcanzará el congelador la temperatura requerida?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Después de hh horas la temperatura es −10−2h-10 - 2h. ¿Qué desigualdad corresponde?

Deportes y juegos

Determinar qué puntuaciones se necesitan para ganar o clasificarse.

Ejemplo:

Tu equipo tiene 48 puntos. Cada canasta vale 2 puntos. ¿Cuántas canastas más para llegar a 60? 48+2b≥6048 + 2b \geq 60, así que b≥6b \geq 6.

3Inténtalo tú mismo

Una clavadista necesita al menos 50 puntos para clasificarse. Cada salto se puntúa sobre 10, y ha completado 4 saltos con un promedio de 8,5.

¿Qué promedio necesita en sus 2 saltos restantes?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Si su total de 4 saltos es 4×8,5=344 \times 8{,}5 = 34, ¿qué desigualdad corresponde?

Puntos clave

  • 1Resuelve desigualdades de un paso usando operaciones inversas, igual que las ecuaciones
  • 2Suma y resta: simplemente aplica la operación inversa
  • 3Multiplicación y división por números POSITIVOS: aplica la operación inversa normalmente
  • 4CRÍTICO: Al multiplicar o dividir por un número NEGATIVO, INVIERTE el signo de desigualdad
  • 5Siempre comprueba tu respuesta sustituyendo un valor del conjunto solución

Preguntas frecuentes

Cuando multiplicas números por −1-1, su orden se invierte. Por ejemplo, 3>23 > 2 pero −3<−2-3 < -2. La inversión mantiene la desigualdad VERDADERA después de la operación.
Cuando multiplicas números por −1-1, su orden se invierte. Por ejemplo, 3>23 > 2 pero −3<−2-3 < -2. La inversión mantiene la desigualdad VERDADERA después de la operación.
¡No! Solo invierte al MULTIPLICAR o DIVIDIR por un negativo. Sumar −5-5 a ambos lados no invierte nada.
Elige cualquier número de tu conjunto solución y sustitúyelo en la desigualdad original. Si funciona, ¡es correcta! También prueba un número que NO esté en el conjunto solución para confirmar que falla.
Puedes resolverla normalmente y luego reescribir con la variable a la izquierda. Recuerda: 5>x5 > x es lo mismo que x<5x < 5.

Glosario

Desigualdad de un paso
Una desigualdad que se puede resolver con una sola operación (sumar, restar, multiplicar o dividir)
Operación inversa
La operación que deshace otra: la suma deshace la resta, la multiplicación deshace la división
Conjunto solución
Todos los valores que hacen verdadera la desigualdad
Invertir el signo
Cambiar la dirección de una desigualdad (por ej., >> se convierte en <<) al multiplicar o dividir por un negativo

Tarjeta de fórmulas

Regla Suma/Resta

x+a>b⇒x>b−ax + a > b \Rightarrow x > b - a

Resta $a$ de ambos lados (sin inversión)

Multiplicación positiva

ax>b⇒x>baax > b \Rightarrow x > \frac{b}{a} (cuando a>0a > 0)

Divide ambos lados entre $a$ (sin inversión)

Multiplicación negativa

ax>b⇒x<baax > b \Rightarrow x < \frac{b}{a} (cuando a<0a < 0)

Divide entre $a$ ¡E INVIERTE el signo!

Regla de inversión

−x>c⇒x<−c-x > c \Rightarrow x < -c

Multiplica por $-1$ e invierte la desigualdad

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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