Inecuaciones de dos pasos

Aprende a resolver inecuaciones que requieren dos operaciones, combinando suma/resta con multiplicación/división.

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Definición

Una inecuación de dos pasos requiere dos operaciones para resolverse. Al igual que las ecuaciones de dos pasos, usamos operaciones inversas en orden inverso.
Estrategia: Deshacer suma/resta PRIMERO, luego multiplicación/división.
2x+5>112x + 5 > 11
Paso 1: Restar 5 de ambos lados: 2x>62x > 6
Paso 2: Dividir ambos lados entre 2: x>3x > 3
¡Recuerda la regla de INVERSIÓN! Cuando multiplicas o divides por un número negativo, ¡invierte el signo de desigualdad!
−3x+7≤16-3x + 7 \leq 16
Paso 1: Restar 7: −3x≤9-3x \leq 9
Paso 2: Dividir entre −3-3 (¡INVERTIR!): x≥−3x \geq -3

Pruébalo ahora

Resuelve: 2x+3>112x + 3 > 11

Ejemplos resueltos

Resuelve: 3x+7>223x + 7 > 22
1

Identificar las operaciones sobre x

xx se multiplica por 3, luego se suma 7 → Operaciones: ×3, luego +7
2

Deshacer primero la suma

Restar 7 de ambos lados: 3x+7−7>22−73x + 7 - 7 > 22 - 7 → 3x>153x > 15
3

Deshacer la multiplicación

Dividir ambos lados entre 3: 3x3>153\frac{3x}{3} > \frac{15}{3} → x>5x > 5
4

Comprobar con un valor

Prueba x=6x = 6: 3(6)+7=253(6) + 7 = 25, y 25>2225 > 22 ✓ → Solución verificada

Errores comunes

Deshacer operaciones en el orden incorrecto

Por qué está mal: Los estudiantes intentan dividir primero en lugar de manejar la suma/resta primero.

Correcto: Siempre deshaz la suma/resta ANTES de la multiplicación/división. ¡Piensa en PEMDAS al revés!

Olvidar invertir al dividir entre negativo

Por qué está mal: Después de varios pasos, los estudiantes pierden la pista de si dividen entre positivo o negativo.

Correcto: ¡Rodea el coeficiente con un círculo! Si es negativo y divides, escribe un gran recordatorio INVERTIR.

Aplicar operaciones solo a un lado

Por qué está mal: Con dos pasos, los estudiantes a veces olvidan aplicar la segunda operación a ambos lados.

Correcto: Lo que hagas al lado izquierdo, DEBES hacerlo al lado derecho. Comprueba ambos lados en cada paso.

Distribuir incorrectamente con signos negativos

Por qué está mal: En problemas como 5−4x≥175 - 4x \geq 17, los estudiantes manejan mal el coeficiente negativo.

Correcto: Lleva un registro cuidadoso de los signos. 5−4x5 - 4x significa +5+5 y −4x-4x. El coeficiente de xx es −4-4.

Visual interactivo

a

x > 5·(5, ∞)

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

a

x ≤ -3·(−∞, -3]

Haz clic en los números para seleccionarlos. Ajusta el rango para explorar diferentes valores.

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
Resuelve: 2x+3>112x + 3 > 11

Por qué es importante

Las inecuaciones de dos pasos aparecen constantemente en la planificación y toma de decisiones de la vida real:
  • Presupuesto: Si un plan de teléfono cuesta 15 euros al mes más 50 euros de activación, y puedes gastar como máximo 200 euros este año, ¿cuántos meses puedes mantenerlo?
  • Distancia y viaje: Si ya has recorrido 30 km y tu coche consume 8 litros por cada 100 km, con 20 litros de combustible restantes, ¿hasta dónde puedes llegar?
  • Negocios: Una empresa tiene 1000 euros de costes fijos más 5 euros por artículo. Para obtener beneficio, los ingresos deben superar los costes.
  • Notas: Si tu promedio actual es 72% en 4 exámenes, ¿qué nota necesitas en el 5º examen para alcanzar al menos 75%?
¡Dominar las inecuaciones de dos pasos es esencial para resolver problemas complejos del mundo real!

Aplicaciones del mundo real

Presupuesto de plan telefónico

Los planes móviles a menudo tienen una tarifa mensual fija más cargos por datos o minutos adicionales.

Ejemplo:

Un plan cuesta 25 euros al mes más 3 euros por GB de datos adicionales. Si puedes gastar como máximo 40 euros: 25+3g≤4025 + 3g \leq 40, entonces g≤5g \leq 5 GB.

1Inténtalo tú mismo

Tu plan telefónico cuesta 20 euros mensuales. Cada SMS adicional cuesta 0,10 euros. Tienes un presupuesto de como máximo 35 euros para este mes.

¿Cuántos SMS adicionales puedes enviar?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige la inecuación para SMS tt:

Ahorrar para una compra

Cuando quieres comprar algo pero también necesitas mantener un saldo mínimo.

Ejemplo:

Tienes 180 euros ahorrados. Después de gastos semanales de 12 euros, quieres que te queden al menos 60 euros. ¿Cuántas semanas hasta que debas parar? 180−12s≥60180 - 12s \geq 60.

2Inténtalo tú mismo

Tienes 250 euros ahorrados. Cada semana gastas 15 euros en almuerzo. Quieres mantener al menos 100 euros para emergencias.

¿Durante cuántas semanas puedes permitirte este presupuesto de almuerzo?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige la inecuación:

Requisitos de temperatura

Los procesos industriales a menudo requieren temperaturas dentro de rangos específicos.

Ejemplo:

Un químico debe calentarse desde 20°C, subiendo 5°C por minuto, pero debe mantenerse bajo 80°C. ¿Cuánto tiempo puede calentarse? 20+5t<8020 + 5t < 80, entonces t<12t < 12 minutos.

3Inténtalo tú mismo

Un congelador comienza a 10°C y enfría a una tasa de 3°C por minuto. La seguridad alimentaria requiere que la temperatura alcance como máximo -8°C.

¿Después de cuántos minutos estará el congelador suficientemente frío?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige la inecuación:

Puntos clave

  • 1Las inecuaciones de dos pasos requieren dos operaciones inversas para resolverse
  • 2El orden importa: Deshaz la suma/resta PRIMERO, luego la multiplicación/división
  • 3Trabaja en orden inverso de PEMDAS (SADMEP)
  • 4CRÍTICO: Al multiplicar o dividir por un número NEGATIVO, INVIERTE el signo de desigualdad
  • 5Siempre comprueba tu solución sustituyendo un valor del conjunto solución

Preguntas frecuentes

Las inecuaciones de un paso necesitan solo una operación (como x+5>8x + 5 > 8). Las inecuaciones de dos pasos necesitan dos operaciones en secuencia (como 2x+5>112x + 5 > 11).
Las inecuaciones de un paso necesitan solo una operación (como x+5>8x + 5 > 8). Las inecuaciones de dos pasos necesitan dos operaciones en secuencia (como 2x+5>112x + 5 > 11).
¡No! Solo invierte cuando MULTIPLIQUES o DIVIDAS por un número negativo. Sumar o restar negativos NO requiere inversión.
Cuando aislas xx dividiendo ambos lados entre −3-3, DEBES invertir el signo de desigualdad porque −3-3 es negativo.
Técnicamente sí, pero generalmente hace las cosas más difíciles. Seguir el orden estándar (deshacer +/− primero, luego ×/÷) es más confiable.

Glosario

Inecuación de dos pasos
Una inecuación que requiere dos operaciones inversas para resolverse (ej. 2x+5>112x + 5 > 11)
Operaciones inversas
Operaciones que se anulan mutuamente: suma/resta y multiplicación/división
Coeficiente
El número que multiplica a una variable (ej. en −3x-3x, el coeficiente es −3-3)
Conjunto solución
Todos los valores que hacen verdadera la inecuación

Tarjeta de fórmulas

Forma estándar

ax+b>cax + b > c

Inecuación de dos pasos con el término variable primero

Paso 1: Aislar término variable

ax+b−b>c−b⇒ax>c−bax + b - b > c - b \Rightarrow ax > c - b

Deshacer primero suma/resta

Paso 2: Resolver para la variable

axa>c−ba\frac{ax}{a} > \frac{c-b}{a} o INVERTIR si a<0a < 0

Dividir entre coeficiente, invertir si negativo

Resumen regla de inversión

Solo invertir si × o ÷ por negativo

Sumar/restar nunca requiere inversión

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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