Guía del profesor: Producto de potencias de igual base

Aprende por qué al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes, con números, letras y coeficientes.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Potencias y Raíces. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar la regla contando los factores de cada potencia
Multiplicar potencias de igual base sumando los exponentes
Reconocer el exponente 1 escondido en una base sin exponente escrito
Simplificar productos como $3x^2 \cdot 4x^3$ multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes
Saber cuándo no se aplica la regla (bases distintas, suma)

Requisitos previos

• Introducción a los Exponentes: base, exponente y qué significa $2^5$
• Leyes de los exponentes: la visión general de todas las reglas
• Multiplicar números enteros en cualquier orden (propiedad conmutativa)

Iniciadores de discusión

1. Sin calcular, ¿cómo puedes saber que $2^3 \cdot 2^4$ es $2^7$ ?
2. Un compañero escribe $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ . ¿Cómo lo convencerías de que está mal?
3. ¿Por qué se pueden sumar los exponentes en $x^2 \cdot x^5$ pero no en $x^2 + x^5$ ?
4. ¿Qué exponente tiene $x$ cuando no hay ninguno escrito, y cómo lo sabes?

Conceptos erróneos comunes

Multiplicar los exponentes ( $x^3 \cdot x^4 = x^{12}$ )

Remediación: Pide que escriban cada factor y los cuenten. Compara con números: $2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128 = 2^7$ , mientras que $2^{12} = 4096$ .

Multiplicar las bases ( $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ )

Remediación: Pregunta qué número se repite como factor. Cada factor sigue siendo 2, así que la base sigue siendo 2. Una comprobación con la calculadora ( $4^7 = 16\,384$ ) muestra lo lejos que está el resultado.

Olvidar una letra sin exponente ( $x \cdot x^4 = x^4$ )

Remediación: Al principio, escribir $x = x^1$ cada vez y contar los factores: $x \cdot (x \cdot x \cdot x \cdot x)$ tiene 5 factores, así que el resultado es $x^5$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Escribir todos los factores antes de usar la regla y luego contarlos
• Empezar con bases pequeñas (2 y 3) y comprobar cada respuesta con la calculadora
• Usar la representación de factores: contar los factores de cada potencia y luego todos juntos

Para estudiantes de nivel:

• Simplificar productos con coeficientes, como $4x^3 \cdot 2x^5$
• Hallar un exponente que falta: $3^{\square} \cdot 3^4 = 3^{10}$
• Encontrar y corregir errores en soluciones resueltas

Para estudiantes avanzados:

• Escribir productos como una sola potencia de 2, como $4^3 \cdot 2^5 = 2^{11}$
• Hallar un exponente desconocido: $x^n \cdot x^3 \cdot x^n = x^{11}$
• Explicar por qué $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ se cumple para cualquier par de números enteros positivos $m$ y $n$

Alineación con estándares

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para obtener expresiones numéricas equivalentes
6.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.A.1)
Escribir y calcular expresiones numéricas con exponentes naturales
HSA.SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usar la estructura de una expresión para encontrar formas de reescribirla

Recursos de la lección

visualPotencias como factores repetidos
Los 3 factores de $2^3$ y los 4 factores de $2^4$ aparecen uno al lado del otro, $3 + 4 = 7$ factores en total, así que el producto es $2^7$ . Con los deslizadores se cambian los dos exponentes.
activityTarjetas de factores
Por parejas, escriben potencias como $3^2$ y $3^4$ , ponen cada factor en su propia tarjeta y cuentan las tarjetas para hallar el producto.
worksheetPráctica del producto de potencias
Números, letras y coeficientes, de $2^3 \cdot 2^4$ a $2a^3b \cdot 5a^4b^2$ , además de buscar errores en soluciones resueltas.

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La regla del producto de potencias de igual base dice: cuando multiplicas dos potencias con la misma base, dejas la base y sumas los exponentes.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Por qué funciona: cuenta los factores.

2^3

significa tres factores

2

, y

2^4

significa cuatro factores

2

. Al multiplicar las dos potencias, todos los factores quedan en una sola fila:

2^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2)}_{3 \text{ factores}} \cdot \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}_{4 \text{ factores}} = 2^{7}

Tres factores y cuatro factores son siete factores, así que los exponentes se suman:

3 + 4 = 7

. Comprobación con números:

8 \cdot 16 = 128 = 2^7

Recuerda:

La base no cambia: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , nunca $4^7$ .
Los exponentes se suman, no se multiplican: $2^7$ , no $2^{12}$ .
Las bases tienen que ser iguales: $2^3 \cdot 5^2$ no se puede escribir como una sola potencia.
Una base sin exponente escrito tiene exponente $1$ : $x = x^1$ .

Ejemplos resueltos

Simplifica $3^2 \cdot 3^5$ y comprueba el resultado.

Comprueba las bases

Las dos potencias tienen base $3$ → Misma base, así que se aplica la regla

Suma los exponentes

$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ → $3^7$

Comprueba contando factores

$(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ tiene $2 + 5 = 7$ factores $3$ → $3^7$ ✓

Comprueba con números

$3^2 = 9$ , $3^5 = 243$ , $9 \cdot 243 = 2187$ → $3^7 = 2187$ ✓

Respuesta: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Errores comunes

Multiplicar los exponentes: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Por qué está mal: Los exponentes cuentan factores. Tres factores y cuatro factores son $3 + 4 = 7$ factores, no $3 \cdot 4 = 12$ . Comprobación: $8 \cdot 16 = 128$ , pero $2^{12} = 4096$ . Los exponentes se multiplican en la potencia de una potencia, como $(2^3)^4$ .

Correcto: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Multiplicar las bases: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Por qué está mal: Cada factor de la fila sigue siendo un $2$ . Nada se convierte en $4$ . Y $4^7 = 16\,384$ , mucho más que el producto real, $128$ .

Correcto: Deja la base: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Sumar exponentes de bases distintas: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ o $5^5$

Por qué está mal: La regla necesita la misma base, porque solo así todos los factores son iguales. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ , mientras que $6^5 = 7776$ .

Correcto: Déjalo como $2^3 \cdot 3^2$ o calcúlalo: $8 \cdot 9 = 72$

Sumar los coeficientes: $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Por qué está mal: Los coeficientes $3$ y $4$ son factores normales, así que se multiplican. Solo se suman los exponentes de una misma base.

Correcto: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Por qué es importante

Esta regla te ahorra escribir largas filas de factores, y aparece por todas partes en matemáticas y ciencias:

Notación científica: $10^3 \cdot 10^4 = 10^7$ , así que mil por diez mil son diez millones.
Memoria del ordenador: $2^{10}$ bytes forman un kilobyte y $2^{10}$ kilobytes forman un megabyte, así que un megabyte tiene $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ bytes.
Duplicar una y otra vez: algo que se duplica 3 veces y luego 4 veces más ha crecido $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ veces.
Álgebra: áreas y volúmenes como $x^2 \cdot x$ o $3x^2 \cdot 4x^3$ hay que simplificarlos antes de resolver ecuaciones o trabajar con polinomios.

Además, es la regla sobre la que se construyen las demás: el cociente de potencias de igual base y la potencia de una potencia salen exactamente igual, contando factores.

Aplicaciones del mundo real

Memoria del ordenador

Los ordenadores cuentan la memoria en potencias de 2, así que los tamaños de memoria se multiplican con esta regla.

Ejemplo:

Un kilobyte son $2^{10}$ bytes y un megabyte son $2^{10}$ kilobytes, así que un megabyte son $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ bytes.

1Inténtalo tú mismo

Un archivo se guarda en $2^6$ bloques, y cada bloque contiene $2^{10}$ bytes.

¿Cuántos bytes ocupa el archivo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica el número de bloques por los bytes de cada bloque, $2^6 \cdot 2^{10}$ , y da el resultado:

Contar con potencias de diez

Las cantidades grandes en tiendas y almacenes se manejan con facilidad como potencias de 10.

Ejemplo:

$10^2$ cajas con $10^3$ tornillos cada una contienen $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ tornillos.

2Inténtalo tú mismo

Un almacén tiene $10^2$ estanterías. Cada estantería tiene $10^3$ cajas, y en cada caja hay $10$ bolígrafos.

¿Cuántos bolígrafos hay en el almacén?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica los tres números, $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10$ , y da el resultado:

Doblar papel

Cada doblez duplica las capas de una hoja de papel, así que el número de capas crece en potencias de 2.

Ejemplo:

Con 2 dobleces hay $2^2 = 4$ capas, con 3 dobleces hay $2^3 = 8$ capas.

3Inténtalo tú mismo

Doblas una hoja de papel por la mitad 3 veces. Después doblas el montón por la mitad 4 veces más.

¿Cuántas capas de papel hay al final?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Los primeros dobleces dan $2^3$ capas, y los siguientes multiplican eso por $2^4$ :

Puntos clave

1Producto de potencias de igual base: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Misma base, se suman los exponentes.
2Funciona porque cuentas factores: $2^3 \cdot 2^4$ tiene $3 + 4 = 7$ factores $2$ .
3La base no cambia: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , no $4^7$ .
4Los exponentes se suman, no se multiplican: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , no $2^{12}$ .
5Una base sin exponente escrito tiene exponente 1: $x \cdot x^4 = x^5$ .
6Con coeficientes, multiplica los números y suma los exponentes de cada base: $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$ . Las bases distintas quedan separadas.

Preguntas frecuentes

¿Por qué se suman los exponentes y no se multiplican?

Cada exponente cuenta factores.

2^3

son 3 factores 2 y

2^4

son 4 factores 2 más, así que en total hay

3 + 4 = 7

factores:

2^7

. Los exponentes se multiplican en otra situación, la potencia de una potencia como

(2^3)^4

, que tiene su propia lección.

¿La regla funciona con más de dos potencias?

Sí. Suma todos los exponentes:

2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64

¿Puedo usar la regla con $2^3 \cdot 3^3$ ?

No, las bases son distintas, así que no puedes sumar los exponentes. Aquí los exponentes son iguales, y entonces ayuda otra regla:

2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216

. Comprobación:

8 \cdot 27 = 216

. Con bases y exponentes distintos, como

2^3 \cdot 3^2

, simplemente calcula:

8 \cdot 9 = 72

¿ $2^3 + 2^4$ es igual a $2^7$ ?

No. Esta regla es solo para la multiplicación.

2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24

, mientras que

2^7 = 128

Glosario

Base: El número o la letra que se multiplica por sí mismo. En $x^5$ la base es $x$ .
Exponente: El número pequeño de arriba que dice cuántos factores de la base hay. En $x^5$ el exponente es $5$ .
Potencia: Una base con un exponente, como $2^7$ , o su valor, $128$ .
Factor: Cada número o letra que se multiplica en un producto. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ tiene tres factores $2$ .
Coeficiente: El número que va delante de una letra. En $12x^5$ el coeficiente es $12$ .
Producto de potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base, se deja la base y se suman los exponentes: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .

Tarjeta de fórmulas

Producto de potencias

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Misma base: se deja la base y se suman los exponentes.

Tres o más potencias

a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}

Suma todos los exponentes de la misma base.

Exponente escondido

a = a^1

Una base sin exponente escrito tiene exponente 1.

Con coeficientes

c\,a^m \cdot d\,a^n = (c \cdot d)\,a^{m+n}

Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

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