Producto de potencias de igual base

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué expresión es igual a $5^2 \cdot 5^6$ ?
1. a) $5^8$
2. b) $10^8$
3. c) $5^{12}$
4. d) $25^8$
Respuesta: $5^8$
Misma base $5$ , así que se suman los exponentes: $5^{2+6} = 5^8$ . $5^{12}$ multiplica los exponentes, y $25^8$ y $10^8$ cambian la base.
2.
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{\square}$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 7
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ . Comprobación: $8 \cdot 16 = 128 = 2^7$ .
3.
¿Qué producto se puede escribir como una sola potencia con la regla del producto de potencias de igual base?
1. a) $2^3 \cdot 5^2$
2. b) $5^2 \cdot 3^3$
3. c) $7^3 \cdot 7^5$
4. d) $2^4 + 2^3$
Respuesta: $7^3 \cdot 7^5$
Solo $7^3 \cdot 7^5$ es un producto con la misma base: $7^{3+5} = 7^8$ . $2^3 \cdot 5^2$ y $5^2 \cdot 3^3$ tienen bases distintas, y $2^4 + 2^3$ es una suma, no un producto.
4.
$x \cdot x^6 = x^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente?
Respuesta: 7
$x = x^1$ , así que $x^1 \cdot x^6 = x^{1+6} = x^7$ .
5.
Escribe $3^2 \cdot 3^3$ como una sola potencia y calcula su valor.
Respuesta: 243
1. ¿Cuántos factores 3 hay en $3^2$ ? 2
2. ¿Cuántos factores 3 hay en $3^3$ ? 3
3. En total son $2 + 3$ factores. Completa $3^2 \cdot 3^3 = 3^{\square}$ . 5
4. ¿Cuál es el valor de $3^5$ ? 243
6.
Simplifica $10^2 \cdot 10^4$ y escribe el resultado como un número normal.
Respuesta: 1000000
1. Las dos potencias tienen base 10. Suma los exponentes $2 + 4$ . 6
2. Escribe $10^6$ como un número normal. 1000000
7.
Simplifica $4x^3 \cdot 2x^5$ .
1. a) $8x^{15}$
2. b) $8x^8$
3. c) $6x^8$
4. d) $8x^2$
Respuesta: $8x^8$
Multiplica los coeficientes: $4 \cdot 2 = 8$ . Suma los exponentes: $x^{3+5} = x^8$ . Así que $4x^3 \cdot 2x^5 = 8x^8$ .
8.
$y^4 \cdot y^2 \cdot y^3 = y^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente?
Respuesta: 9
$4 + 2 + 3 = 9$ , así que el producto es $y^9$ .
9.
Sam escribe $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ . ¿Qué ha hecho mal?
1. a)Tendría que haber multiplicado los exponentes
2. b)Tendría que haber restado los exponentes
3. c)Nada, el resultado es correcto
4. d)Ha multiplicado las bases en vez de dejar la base 2
Respuesta: Ha multiplicado las bases en vez de dejar la base 2
La base tiene que seguir siendo 2: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ . El resultado de Sam, $4^7 = 16\,384$ , es demasiado grande. Sumar los exponentes, $3 + 4 = 7$ , estaba bien; solo cambió la base.
10.
Simplifica $3x^2 \cdot 4x^3$ y luego calcula su valor para $x = 2$ .
Respuesta: 384
1. Multiplica los coeficientes $3 \cdot 4$ . 12
2. Suma los exponentes de $x$ : $2 + 3$ . 5
3. Así que el producto es $12x^5$ . ¿Cuál es su valor para $x = 2$ ? 384
11.
Simplifica $5a \cdot 2a^4$ .
Respuesta: 10a^5
1. Multiplica los coeficientes $5 \cdot 2$ . 10
2. ¿Qué exponente tiene $a$ en $5a$ ? 1
3. Suma los exponentes de $a$ : $1 + 4$ . 5
12.
Un rectángulo mide $2^5$ cm de largo y $2^3$ cm de ancho. Calcula su área en cm².
Respuesta: 256
1. El área es $2^5 \cdot 2^3$ . Escríbela como $2^{\square}$ : ¿cuál es el exponente? 8
2. ¿Cuánto es $2^8$ ? 256
13.
$3^{\square} \cdot 3^4 = 3^{10}$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 6
Los exponentes se suman: $\square + 4 = 10$ , así que el exponente que falta es $6$ . Comprobación: $3^6 \cdot 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$ .
14.
¿Qué producto NO es igual a $2^{10}$ ?
1. a) $2 \cdot 2^9$
2. b) $2^4 \cdot 2^6$
3. c) $2^2 \cdot 2^5$
4. d) $2^5 \cdot 2^5$
Respuesta: $2^2 \cdot 2^5$
$2^2 \cdot 2^5 = 2^{2+5} = 2^7 = 128$ , no $2^{10} = 1024$ . Obtener $10$ aquí sería multiplicar los exponentes $2 \cdot 5$ , que es el error típico. Los demás están bien: $4 + 6 = 10$ , $1 + 9 = 10$ y $5 + 5 = 10$ .
15.
Calcula el valor de $(-2)^3 \cdot (-2)^4$ .
Respuesta: -128
$(-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{3+4} = (-2)^7$ . Siete factores negativos dan un resultado negativo: $(-2)^7 = -128$ . Comprobación: $-8 \cdot 16 = -128$ .
16.
Simplifica $2a^3b \cdot 5a^4b^2$ .
Respuesta: 10a^7b^3
1. Multiplica los coeficientes $2 \cdot 5$ . 10
2. Exponente de $a$ : suma $3 + 4$ . 7
3. Exponente de $b$ : suma los exponentes de $b$ y $b^2$ . 3
17.
Escribe $4^3 \cdot 2^5$ como una sola potencia de 2 y calcula su valor.
Respuesta: 2048
1. Escribe 4 como potencia de 2: $4 = 2^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 2
2. $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2$ . Escríbelo como $2^{\square}$ : ¿cuál es el exponente? 6
3. Ahora $2^6 \cdot 2^5 = 2^{\square}$ . ¿Cuál es el exponente? 11
4. ¿Cuánto es $2^{11}$ ? 2048
18.
Halla $n$ si $x^n \cdot x^3 \cdot x^n = x^{11}$ .
Respuesta: 4
1. Los exponentes se suman: $n + 3 + n = 11$ . ¿Cuánto es $2n$ ? 8
2. ¿Cuánto vale $n$ ? 4