Cociente de potencias de igual base

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Simplifica $\frac{7^9}{7^3}$ .
1. a) $7^6$
2. b) $7^3$
3. c) $7^{12}$
4. d) $1^6$
Respuesta: $7^6$
$\frac{7^9}{7^3} = 7^{9-3} = 7^6$ . Los exponentes se restan, no se dividen ( $7^3$ ) ni se suman ( $7^{12}$ ), y la base sigue siendo $7$ .
2.
$\frac{x^{11}}{x^4} = x^{\square}$ . ¿Qué número va en el recuadro?
Respuesta: 7
Se simplifican $4$ de los $11$ factores $x$ , así que quedan $11 - 4 = 7$ : $x^7$ .
3.
Simplifica $\frac{2^8}{2^5}$ y calcula su valor.
Respuesta: 8
1. Resta los exponentes: $8 - 5$ 3
2. Calcula $2^3$ 8
4.
¿Qué expresión es igual a $\frac{a^{10}}{a^2}$ (con $a \neq 0$ )?
1. a) $a^{12}$
2. b) $a^5$
3. c) $a^{20}$
4. d) $a^8$
Respuesta: $a^8$
$\frac{a^{10}}{a^2} = a^{10-2} = a^8$ . La opción $a^5$ sale de dividir los exponentes, el error más frecuente.
5.
Calcula $\frac{10^9}{10^6}$ .
Respuesta: 1000
$\frac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3 = 1000$ .
6.
Simplifica $\frac{y^7}{y^2}$ tachando los factores comunes.
Respuesta: y^5
1. ¿Cuántos factores $y$ hay arriba? 7
2. ¿Cuántos factores se simplifican? 2
3. ¿Cuántos factores $y$ quedan? Ese es el nuevo exponente. 5
7.
Ana simplificó $\frac{x^{12}}{x^3}$ y obtuvo $x^4$ . ¿Qué hizo mal?
1. a)Dividió las bases
2. b)Restó los exponentes en el orden equivocado
3. c)Dividió los exponentes en lugar de restarlos
4. d)Nada, $x^4$ es correcto
Respuesta: Dividió los exponentes en lugar de restarlos
$12 \div 3 = 4$ : Ana dividió los exponentes. Lo correcto es $\frac{x^{12}}{x^3} = x^{12-3} = x^9$ .
8.
$\frac{15x^8}{3x^5} = \square\, x^3$ . ¿Qué número va en el recuadro?
Respuesta: 5
$15 \div 3 = 5$ y $x^{8-5} = x^3$ , así que $\frac{15x^8}{3x^5} = 5x^3$ .
9.
Simplifica $\frac{20m^9}{5m^4}$ .
Respuesta: 4m^5
1. Divide los coeficientes: $20 \div 5$ 4
2. ¿Cuál es el exponente de $m$ en el resultado? 5
10.
Simplifica $\frac{24a^7b^4}{8a^3b}$ .
1. a) $16a^4b^3$
2. b) $3a^4b^3$
3. c) $3a^{10}b^5$
4. d) $3a^4b^4$
Respuesta: $3a^4b^3$
$24 \div 8 = 3$ , $a^{7-3} = a^4$ y $b^{4-1} = b^3$ , así que el resultado es $3a^4b^3$ .
11.
Calcula $\frac{3^{10}}{3^7}$ .
Respuesta: 27
$\frac{3^{10}}{3^7} = 3^{10-7} = 3^3 = 27$ , sin calcular $3^{10} = 59049$ .
12.
Simplifica $\frac{18p^6q^5}{6p^2q^3}$ .
Respuesta: 3p^4q^2
1. Divide los coeficientes: $18 \div 6$ 3
2. ¿Cuál es el exponente de $p$ en el resultado? 4
3. ¿Cuál es el exponente de $q$ en el resultado? 2
13.
Simplifica $\frac{4^3 \cdot 4^5}{4^6}$ y calcula su valor.
Respuesta: 16
1. Regla del producto arriba: ¿cuál es el exponente de $4^3 \cdot 4^5$ ? 8
2. Regla del cociente: ¿cuál es el exponente de $\frac{4^8}{4^6}$ ? 2
3. Calcula $4^2$ 16
14.
¿Qué expresión NO es igual a $x^6$ (con $x \neq 0$ )?
1. a) $\frac{x^2 \cdot x^7}{x^3}$
2. b) $\frac{x^9}{x^3}$
3. c) $\frac{x^{12}}{x^2}$
4. d) $\frac{x^{10}}{x^4}$
Respuesta: $\frac{x^{12}}{x^2}$
$\frac{x^9}{x^3} = x^6$ , $\frac{x^2 \cdot x^7}{x^3} = x^{9-3} = x^6$ y $\frac{x^{10}}{x^4} = x^6$ , pero $\frac{x^{12}}{x^2} = x^{10}$ . ( $12$ entre $2$ da $6$ , esa es la trampa.)
15.
$\frac{x^{\square}}{x^4} = x^9$ . ¿Qué número va en el recuadro?
Respuesta: 13
La regla da $\square - 4 = 9$ , así que $\square = 13$ . Comprobación: $\frac{x^{13}}{x^4} = x^{13-4} = x^9$ .
16.
Simplifica $\frac{6x^5 \cdot 3x^4}{9x^7}$ .
Respuesta: 2x^2
1. Multiplica los coeficientes del numerador: $6 \cdot 3$ 18
2. ¿Cuál es el exponente de $x^5 \cdot x^4$ ? 9
3. Divide los coeficientes: $18 \div 9$ 2
4. ¿Cuál es el exponente de $x$ en el resultado? 2
17.
Simplifica $\frac{5a^3 \cdot 4a^6}{10a^2 \cdot a^4}$ .
Respuesta: 2a^3
1. Coeficiente del numerador: $5 \cdot 4$ 20
2. Exponente de $a$ en el numerador 9
3. Exponente de $a$ en el denominador ( $a^2 \cdot a^4$ ) 6
4. Coeficiente del resultado: $20 \div 10$ 2
5. Exponente de $a$ en el resultado 3
18.
Un disco duro tiene $2^{40}$ bytes. Una película ocupa $2^{32}$ bytes. ¿Cuántas películas caben en el disco?
Respuesta: 256
1. ¿Cuál es el exponente de $\frac{2^{40}}{2^{32}}$ ? 8
2. Calcula $2^8$ 256