Guía del profesor: Cociente de potencias de igual base

Aprende por qué dividir potencias de igual base significa restar los exponentes y aplica la regla con números, variables y coeficientes.

Presentar lecciónVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Potencias y Raíces. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar la regla del cociente escribiendo las potencias como factores y simplificando los factores comunes
Simplificar cocientes de potencias cuya base es un número o una variable
Dividir monomios dividiendo los coeficientes y restando los exponentes
Combinar la regla del producto y la regla del cociente en una misma expresión

Requisitos previos

• Las potencias como multiplicación repetida (lección Introducción a los Exponentes)
• Multiplicar potencias de igual base (lección Producto de potencias de igual base)
• Simplificar fracciones eliminando factores comunes

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué restamos los exponentes al dividir, pero los sumamos al multiplicar?
2. ¿Cómo podrías calcular $\frac{2^{20}}{2^{17}}$ sin calculadora?
3. Un compañero dice que $\frac{x^{10}}{x^2} = x^5$ . ¿Cómo lo convencerías de que no es así?
4. ¿Qué crees que pasa con $\frac{7^4}{7^4}$ ? ¿Qué da la regla?

Conceptos erróneos comunes

Dividir potencias es dividir los exponentes ( $\frac{x^{10}}{x^2} = x^5$ )

Remediación: Pida a los alumnos que escriban los factores y tachen parejas. Ver que quedan $8$ factores $x$ después de tachar $2$ hace evidente la resta. Después compruebe con números: $\frac{2^{10}}{2^2} = 256 = 2^8$ , no $2^5 = 32$ .

Los coeficientes se restan igual que los exponentes ( $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$ )

Remediación: Descomponga la fracción en $\frac{12}{4} \cdot \frac{x^7}{x^3}$ para que los alumnos vean dos divisiones separadas. Solo la segunda usa la regla de los exponentes.

El orden de la resta da igual

Remediación: Compare $\frac{3^7}{3^2}$ (los factores quedan arriba, resultado mayor que $1$ ) con $\frac{3^2}{3^7}$ (los factores quedan abajo, resultado menor que $1$ ). El exponente de arriba siempre va primero.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Escribir siempre los factores y simplificarlos antes de usar la regla
• Usar bases y exponentes pequeños que se puedan comprobar con la calculadora
• Empezar solo con números y después con una variable sin coeficientes

Para estudiantes de nivel:

• Dividir monomios con coeficientes y dos variables
• Combinar la regla del producto y la del cociente en una misma expresión
• Resolver problemas de división en notación científica

Para estudiantes avanzados:

• Hallar el exponente que falta en igualdades como $\frac{x^{\square}}{x^4} = x^9$
• Investigar qué pasa cuando los dos exponentes son iguales y relacionarlo con el exponente cero
• Simplificar cocientes con tres variables y productos en el numerador y en el denominador

Alineación con estándares

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes
8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Operar con números en notación científica, incluidos problemas que combinan la notación decimal y la científica

Recursos de la lección

visualVisual de factores tachados
Los alumnos ven $5^6$ sobre $5^2$ escritos como factores, con los factores comunes tachados, y después mueven los deslizadores de $m$ y $n$ para ver cómo cambia el exponente $m - n$
activityTacha los factores
Los alumnos escriben las potencias como tiras de factores, tachan los factores que coinciden arriba y abajo y cuentan lo que queda
worksheetPráctica del cociente de potencias
Ejercicios variados con números, variables, coeficientes y la regla del producto

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La regla del cociente de potencias dice: cuando divides dos potencias de igual base, conservas la base y restas los exponentes (exponente de arriba menos exponente de abajo):

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

Por qué funciona: escribe ambas potencias como productos de factores y simplifica los factores comunes, porque cualquier número dividido entre sí mismo es

1

\frac{5^6}{5^2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{5}} = 5^4

Los

2

factores del denominador se simplifican con

2

de los

6

factores del numerador, así que quedan

6 - 2 = 4

factores.

Comprobación con números:

5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25 = 625 = 5^4

En esta lección el exponente de arriba siempre es el mayor (

m > n

). Cuando los dos exponentes son iguales, todo se simplifica (lección Exponente cero); cuando el exponente de abajo es mayor, quedan factores en el denominador (lección Exponentes negativos).

Ejemplos resueltos

Simplifica $\frac{5^6}{5^2}$ y calcula su valor.

Comprueba las bases

Las dos potencias tienen base $5$ → Igual base, se puede aplicar la regla

Resta los exponentes (arriba menos abajo)

$6 - 2 = 4$ → $5^4$

Calcula la potencia

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ → $625$

Comprueba calculando las dos potencias

$5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25$ → $625$ , el mismo resultado

Respuesta: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Errores comunes

Dividir los exponentes: $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Por qué está mal: Dividir potencias no significa dividir exponentes. Los $2$ factores de abajo se simplifican con $2$ de los $8$ factores de arriba, así que quedan $8 - 2$ factores, no $8 \div 2$ .

Correcto: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Restar en el orden equivocado: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Por qué está mal: El exponente del numerador siempre va primero. Aquí arriba hay más factores, así que después de simplificar los factores quedan arriba y el exponente es positivo.

Correcto: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Dividir las bases: $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Por qué está mal: La base indica qué número se multiplica y no cambia. Solo cambia la cantidad de factores.

Correcto: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Restar también los coeficientes: $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Por qué está mal: Los coeficientes son números normales y la raya de fracción significa división: $12 \div 4$ . Solo se restan los exponentes de una misma base.

Correcto: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Por qué es importante

Dividimos potencias siempre que los números son muy grandes o muy pequeños:

Informática: los tamaños de memoria son potencias de 2. ¿Cuántos archivos de 1 MB ( $2^{20}$ bytes) caben en 1 GB ( $2^{30}$ bytes)? $\frac{2^{30}}{2^{20}} = 2^{10} = 1024$
Ciencias: las distancias y velocidades en notación científica se dividen restando los exponentes de 10: $\frac{10^8}{10^5} = 10^3$
Cálculo mental: $\frac{2^{20}}{2^{17}} = 2^3 = 8$ sin calcular nunca $2^{20} = 1048576$
Álgebra: simplificar fracciones como $\frac{12x^7}{4x^3}$ es el primer paso hacia las fracciones algebraicas y la resolución de ecuaciones

La regla del cociente convierte una larga división de números enormes en una pequeña resta.

Aplicaciones del mundo real

Fotos en una tarjeta de memoria

La memoria de un ordenador se cuenta en potencias de 2, así que dividir tamaños de almacenamiento es un trabajo para la regla del cociente.

Ejemplo:

1 MB son $2^{20}$ bytes y 1 KB son $2^{10}$ bytes, así que en 1 MB caben $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ KB.

1Inténtalo tú mismo

Una tarjeta de memoria tiene $2^{30}$ bytes. Cada foto ocupa $2^{22}$ bytes.

¿Cuántas fotos caben en la tarjeta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el tamaño de la tarjeta entre el tamaño de una foto:

Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra

Los astrónomos dividen distancias enormes entre velocidades escritas en notación científica: se dividen los números de delante y se restan los exponentes de 10.

Ejemplo:

Una distancia de $6 \times 10^8$ km a $3 \times 10^5$ km por segundo se recorre en $\frac{6}{3} \times 10^{8-5} = 2 \times 10^3 = 2000$ segundos.

2Inténtalo tú mismo

El Sol está a unos $1{,}5 \times 10^8$ km de la Tierra. La luz recorre unos $3 \times 10^5$ km por segundo.

¿Aproximadamente cuántos segundos tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Tiempo = distancia dividida entre velocidad:

Presupuesto por habitante

Los economistas dividen grandes cantidades de dinero entre el número de habitantes para comparar países de distinto tamaño.

Ejemplo:

Si $8 \times 10^9$ dólares se reparten entre $4 \times 10^6$ personas, a cada una le tocan $2 \times 10^3 = 2000$ dólares.

3Inténtalo tú mismo

Un país gasta $6 \times 10^{10}$ dólares al año en escuelas y tiene $2 \times 10^7$ habitantes.

¿Cuántos dólares son por habitante?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el presupuesto entre el número de habitantes:

Puntos clave

1Regla del cociente: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ para $a \neq 0$ : se conserva la base y se restan los exponentes
2La regla funciona porque los factores comunes se simplifican: cada factor de abajo se simplifica con uno de arriba
3Resta siempre arriba menos abajo: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5$
4La base nunca cambia y los exponentes nunca se dividen: $\frac{x^8}{x^2} = x^6$ , no $x^4$
5Con coeficientes, divide los números y resta los exponentes: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$
6En una expresión mixta, simplifica primero el numerador con la regla del producto y después aplica la regla del cociente

Preguntas frecuentes

¿Por qué la regla dice $a \neq 0$ ?

Porque no se puede dividir entre cero. Con

a = 0

el denominador

0^n

valdría

0

y la fracción no tendría ningún valor.

¿Qué pasa cuando los dos exponentes son iguales?

Entonces se simplifican todos los factores, por ejemplo

\frac{4^3}{4^3} = 1

. La regla da

4^{3-3} = 4^0

, y por qué

4^0

vale

1

se explica en la lección Exponente cero.

¿Y si el exponente de abajo es mayor, como en $\frac{2^3}{2^5}$ ?

Simplifica como siempre: se simplifican

3

factores y quedan

2

factores

2

abajo, así que

\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

. Cómo escribirlo con un solo exponente se ve en la lección Exponentes negativos.

¿Puedo usar la regla con bases distintas, como $\frac{6^4}{2^3}$ ?

No. La regla solo cuenta factores de una misma base. Calcula las potencias:

\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162

Glosario

Cociente: El resultado de una división. En $\frac{a^m}{a^n}$ las potencias forman un cociente.
Base: El número o la variable que se multiplica. En $5^6$ la base es $5$ .
Exponente: La cantidad de factores iguales a la base. En $5^6$ el exponente es $6$ .
Factor común: Un factor que aparece arriba y abajo de una fracción, por lo que se simplifica y da $1$ .
Coeficiente: El número que va delante de una variable. En $12x^7$ el coeficiente es $12$ .

Tarjeta de fórmulas

Cociente de potencias

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Igual base $a \neq 0$: se conserva la base y se restan los exponentes (arriba menos abajo)

Con coeficientes

\frac{c\,a^m}{d\,a^n} = \frac{c}{d}\,a^{m-n}

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes

Producto y después cociente

\frac{a^m \cdot a^p}{a^n} = a^{m+p-n}

Se suman los exponentes de arriba y después se resta el exponente de abajo

Más sobre este tema

Guía del profesor: Cociente de potencias de igual base

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Fotos en una tarjeta de memoria

Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra

Presupuesto por habitante

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Cociente de potencias

Con coeficientes

Producto y después cociente

Más sobre este tema

Introducción a los Exponentes

Leyes de los exponentes

Raíces cuadradas y raíces cúbicas

Producto de potencias de igual base