Guía del profesor: Exponente cero

Aprende por qué cualquier número distinto de cero elevado a cero vale 1 y cómo resolver expresiones como $5x^0$ y $(-3)^0$.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Potencias y Raíces. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Enunciar la regla $a^0 = 1$ para cualquier base distinta de cero
Justificar la regla con el patrón de dividir entre la base y con el cociente de potencias
Calcular expresiones que contienen exponentes cero junto con otras potencias
Distinguir expresiones como $5x^0$ y $(5x)^0$ , o $-3^0$ y $(-3)^0$
Reconocer que $0^0$ es un caso especial que se deja sin definir

Requisitos previos

• Introducción a los Exponentes: base, exponente y cálculo de potencias como $2^5$
• Cociente de potencias de igual base: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Jerarquía de las operaciones, sobre todo las potencias antes de la multiplicación y los signos

Iniciadores de discusión

1. Mucha gente cree que $5^0 = 0$ . ¿Por qué parece una idea lógica y qué tiene de incorrecta?
2. Escribe las potencias de 10 desde $10^3$ hasta $10^0$ . ¿Qué le hace cada paso al número?
3. ¿Por qué la regla del cociente obliga a que $a^0$ sea 1?
4. ¿Cómo le explicarías a un amigo por qué $-2^0$ y $(-2)^0$ dan resultados distintos?
5. ¿Por qué crees que en este nivel se deja $0^0$ sin definir?

Conceptos erróneos comunes

Un exponente cero significa que el resultado es cero ( $a^0 = 0$ )

Remediación: Construir la tabla de potencias de 2 desde $2^4$ hacia abajo. Preguntar qué operación lleva de una fila a la siguiente (dividir entre 2) y dejar que los alumnos calculen $2 \div 2$ ellos mismos.

Un exponente cero deja la base igual ( $a^0 = a$ )

Remediación: Comparar $a^1$ y $a^0$ en la misma tabla. Señalar que el exponente 1 ya da la base, así que el exponente 0 tiene que estar una división más allá.

El exponente cero convierte todo el término en 1 ( $5x^0 = 1$ , $-3^0 = 1$ )

Remediación: Rodear la base a la que afecta el exponente antes de calcular. Reescribir $5x^0$ como $5 \times x^0$ y $-3^0$ como $-(3^0)$ , y comprobarlo con la calculadora.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Usar solo la tabla de patrones con bases pequeñas (2, 3, 10) antes de presentar la regla del cociente
• Escribir $\frac{3 \times 3}{3 \times 3}$ desarrollado y simplificar para ver que da 1
• Dar una tarjeta de referencia con $a^1 = a$ y $a^0 = 1$ una al lado de la otra

Para estudiantes de nivel:

• Calcular expresiones combinadas como $4^0 + 2^3 \times 6^0$
• Clasificar tarjetas con $5x^0$ , $(5x)^0$ , $-3^0$ y $(-3)^0$ en igual a 1 y distinto de 1
• Usar el exponente cero en la forma desarrollada de números enteros y en binario

Para estudiantes avanzados:

• Continuar el patrón por debajo de $2^0$ para predecir $2^{-1}$ y $2^{-2}$ (anticipo de los exponentes negativos)
• Explicar por qué el argumento del patrón no funciona con base 0
• Demostrar que el producto de potencias también obliga a que $a^0 = 1$ : $a^0 \times a^n = a^n$

Alineación con estándares

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para obtener expresiones numéricas equivalentes
6.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.A.1)
Escribir y calcular expresiones numéricas con exponentes naturales

Recursos de la lección

visualSimplificar los factores
Escribir $5^3$ entre $5^3$ como factores repetidos, tachar los factores comunes y ver que queda $1 = 5^0$
visualPotencias de 2 en la recta numérica
Bajar el exponente de $2^6$ a $2^0$ y ver cómo el valor se reduce a la mitad cada vez hasta llegar a 1
activityTablas de patrones
Los alumnos completan tablas de potencias de 2, 3, 5 y 10 hasta el exponente 0 y describen la regla
worksheetCon o sin paréntesis
Parejas como $4y^0$ y $(4y)^0$ , o $-7^0$ y $(-7)^0$ , para calcular una al lado de la otra

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La regla del exponente cero dice que cualquier número distinto de cero elevado a

0

es igual a

1

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Así,

7^0 = 1

100^0 = 1

(-5)^0 = 1

\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1

¿Por qué? Fíjate en el patrón. Cada vez que el exponente baja

1

, se divide entre la base:

Potencia	Valor
$2^4$	$16$
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$
$2^1$	$2$
$2^0$	$2 \div 2 = 1$

El cociente de potencias de igual base lo confirma. Una potencia dividida entre sí misma da

1

, y la regla del cociente da exponente

0

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \quad \text{y} \quad \frac{a^n}{a^n} = 1

Fíjate a qué afecta el exponente. Un exponente solo afecta a la base que tiene justo delante:

$5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 1 = 5$ , pero $(5x)^0 = 1$
$-3^0 = -(3^0) = -1$ , pero $(-3)^0 = 1$

Caso especial: en este nivel,

0^0

se deja sin definir. La regla

a^0 = 1

solo vale para

a \neq 0

Ejemplos resueltos

Usa el patrón de las potencias de $3$ para hallar $3^0$ .

Empieza por una potencia que conozcas

$3^3 = 3 \times 3 \times 3$ → $3^3 = 27$

Baja el exponente 1: divide entre 3

$27 \div 3 = 9$ → $3^2 = 9$

Bájalo otra vez: divide entre 3

$9 \div 3 = 3$ → $3^1 = 3$

Un último paso hasta el exponente 0

$3 \div 3 = 1$ → $3^0 = 1$

Respuesta: $3^0 = 1$

Errores comunes

Escribir $a^0 = 0$ , por ejemplo $9^0 = 0$

Por qué está mal: El exponente $0$ no significa multiplicar por cero. Al bajar por el patrón se divide entre la base, y $9 \div 9 = 1$ .

Correcto: $9^0 = 1$ , porque $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ y $\frac{9}{9} = 1$

Escribir $a^0 = a$ , por ejemplo $9^0 = 9$

Por qué está mal: Esa es la regla del exponente $1$ : $9^1 = 9$ . El exponente $0$ está un paso más abajo, así que se divide otra vez entre $9$ .

Correcto: $9^1 = 9$ pero $9^0 = 1$

Escribir $5x^0 = 1$

Por qué está mal: El exponente solo afecta a $x$ , no al coeficiente $5$ . Solo $x^0$ se convierte en $1$ .

Correcto: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$ , mientras que $(5x)^0 = 1$

Escribir $-3^0 = 1$

Por qué está mal: Sin paréntesis, la base es $3$ , no $-3$ . El signo menos se queda delante del resultado.

Correcto: $-3^0 = -(3^0) = -1$ , mientras que $(-3)^0 = 1$

Por qué es importante

El exponente cero aparece en todos los sitios donde se usan potencias:

Valor posicional: las unidades corresponden a $10^0 = 1$ , así que $345 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0$
Ordenadores: la cifra de la derecha de un número binario vale $2^0 = 1$
Modelos de crecimiento: en $P = 500 \times 2^t$ , el valor inicial en $t = 0$ es $500 \times 2^0 = 500$
Álgebra: para simplificar $\frac{x^4}{x^4}$ o $3x^0$ necesitas la regla cada vez

a^0

fuera

0

, las unidades no valdrían nada y todos los modelos de crecimiento empezarían en cero. Solo el valor

1

hace que todas las propiedades de las potencias sigan funcionando.

Aplicaciones del mundo real

Valor posicional y potencias de diez

Cada posición de nuestro sistema de numeración es una potencia de diez. Las unidades corresponden a $10^0 = 1$.

Ejemplo:

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ , y el último término vale $2 \times 1 = 2$ .

1Inténtalo tú mismo

Una profesora escribe $6072$ en forma desarrollada: $6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ .

¿Cuánto vale el último término, $2 \times 10^0$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el último término como una operación:

Números binarios en los ordenadores

Los ordenadores guardan los números en binario. Cada posición binaria es una potencia de dos, y la de la derecha vale $2^0 = 1$.

Ejemplo:

El número binario $1011$ significa $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ .

2Inténtalo tú mismo

Un sensor envía el número binario $101$ , que significa $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ .

¿Qué número es en nuestro sistema decimal de siempre?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la suma de los valores posicionales:

Valor inicial de un modelo de crecimiento

Los biólogos describen una población que se duplica cada hora con $P = P_0 \times 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.

Ejemplo:

Para $P = 200 \times 2^t$ , a las 3 horas $P = 200 \times 2^3 = 1600$ , y al principio $P = 200 \times 2^0 = 200$ .

3Inténtalo tú mismo

Un cultivo de bacterias crece según $P = 500 \times 2^t$ , donde $t$ es el número de horas desde el inicio.

¿Cuántas bacterias hay al principio, cuando $t = 0$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sustituye $t = 0$ en la fórmula:

Puntos clave

1Para cualquier número $a$ distinto de cero: $a^0 = 1$
2Patrón: cada vez que el exponente baja 1, se divide entre la base, así que $2^1 = 2$ pasa a $2^0 = 2 \div 2 = 1$
3Cociente de potencias: $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ , y un número dividido entre sí mismo es $1$
4El exponente solo afecta a la base que tiene justo delante: $5x^0 = 5$ pero $(5x)^0 = 1$
5Con negativos, los paréntesis importan: $-3^0 = -1$ pero $(-3)^0 = 1$
6 $a^0$ nunca es $0$ ni $a$ ; en este nivel, $0^0$ se deja sin definir

Preguntas frecuentes

¿Por qué $a^0$ es 1 y no 0?

Porque cada vez que el exponente baja 1 se divide entre la base. Desde

5^1 = 5

, un paso más abajo da

5 \div 5 = 1

. La regla del cociente dice lo mismo:

\frac{5^3}{5^3} = 5^0

, y cualquier número distinto de cero dividido entre sí mismo es

1

¿Cuánto vale $0^0$ ?

En este nivel,

0^0

se deja sin definir. El argumento del patrón obliga a dividir entre la base, y no se puede dividir entre

0

. Por eso la regla se escribe

a^0 = 1

para

a \neq 0

¿La regla funciona con números negativos y fracciones?

Sí, siempre que la base no sea cero y toda la base esté entre paréntesis:

(-8)^0 = 1

\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1

¿Por qué mi calculadora da $-1$ para $-3^0$ ?

La calculadora sigue la jerarquía de las operaciones: la potencia va antes que el signo menos, así que calcula

-(3^0) = -1

. Escribe

(-3)^0

con paréntesis para obtener

1

Glosario

Exponente cero: Un exponente igual a $0$ . Para cualquier base distinta de cero, $a^0 = 1$ .
Base: El número que se eleva a una potencia. En $(-3)^0$ la base es $-3$ , en $-3^0$ es $3$ .
Cociente de potencias de igual base: Al dividir potencias de igual base se restan los exponentes: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
Coeficiente: El número que va delante de una variable. En $5x^0$ el coeficiente es $5$ , y el exponente no le afecta.
Sin definir: Una expresión a la que no se le asigna ningún valor. En este nivel, $0^0$ se deja sin definir.

Tarjeta de fórmulas

Regla del exponente cero

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Cualquier número distinto de cero elevado a cero es 1

Por qué funciona

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1

La regla del cociente y dividir un número entre sí mismo dan el mismo resultado

Coeficiente delante

c \cdot x^0 = c \quad (x \neq 0)

Solo la variable se convierte en 1, el coeficiente se queda

Paréntesis y negativos

(-a)^0 = 1, \quad -a^0 = -1

Con paréntesis la base es negativa, sin paréntesis el signo menos queda fuera

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Por qué es importante

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Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

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