Guía del profesor: Dividir en notación científica

Divide números en notación científica: divide los coeficientes, resta los exponentes y normaliza el resultado para que el coeficiente quede entre 1 y 10.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Notación Científica. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Dividir dos números en notación científica dividiendo los coeficientes y restando los exponentes
Normalizar un cociente cuyo coeficiente es menor que 1
Aplicar bien la regla del cociente cuando uno o los dos exponentes son negativos
Redondear un coeficiente con infinitas cifras decimales a un número dado de cifras significativas
Resolver problemas reales (viaje de la luz, densidad de población, cantidad por habitante) dividiendo en notación científica

Requisitos previos

• Escribir números en notación científica y pasarlos de nuevo a notación decimal
• Multiplicar en notación científica (multiplicar coeficientes, sumar exponentes)
• La regla del cociente de potencias: $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$
• Restar números enteros negativos, por ejemplo $-4 - (-7) = 3$

Iniciadores de discusión

1. Si divides dos números cuyos coeficientes están entre 1 y 10, ¿cuál es el mayor y el menor coeficiente que puede salir? ¿Por qué?
2. La luz del Sol tiene unos 8 minutos. ¿Qué significaría eso si el Sol se apagara de repente?
3. ¿Por qué el resultado crece al dividir entre un número con exponente negativo?
4. Un titular habla de una deuda de 2,4 billones. ¿Por qué una cifra por habitante puede decir más?

Conceptos erróneos comunes

Tratar los exponentes como los coeficientes y dividirlos ( $10^8 \div 10^2 = 10^4$ )

Remediación: Desarrollar un caso pequeño: escribir $10^5 \div 10^2$ como fracción de dieces y simplificar. Los alumnos ven que quedan tres dieces, así que los exponentes se restan. Luego comprobar con la calculadora: $10^5 \div 10^2 = 1000$ .

Pensar que $0{,}4 \times 10^3$ ya es un resultado final en notación científica

Remediación: Dejar la regla $1 \le a < 10$ a la vista en la pizarra y hacer de la revisión del coeficiente un último paso fijo. Pedir que comparen $0{,}4 \times 10^3$ y $4 \times 10^2$ en notación decimal para ver que son iguales.

Creer que el resultado de una división siempre es menor que el número dividido

Remediación: Mostrar $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7}) = 3 \times 10^3$ . Dividir entre un número menor que 1 hace el resultado más grande, igual que $6 \div 0{,}5 = 12$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con coeficientes que se dividen de forma exacta y solo exponentes positivos, por ejemplo $(8 \times 10^6) \div (2 \times 10^2)$
• Usar una tabla de dos columnas: coeficientes a la izquierda, potencias de diez a la derecha
• Representar $-4 - (-7)$ como $-4 + 7$ en la recta numérica antes de usarlo como exponente

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar cálculos que necesitan normalizarse con otros que no
• Incluir exponentes negativos en el divisor, en el dividendo o en ambos
• Resolver problemas sobre el viaje de la luz y la densidad de población

Para estudiantes avanzados:

• Redondear cocientes con infinitas cifras a un número dado de cifras significativas y hablar de precisión
• Combinar operaciones: $\frac{(3 \times 10^5)(4 \times 10^{-2})}{6 \times 10^7}$
• Buscar datos reales (distancia a Marte, PIB de un país) y estimar los cocientes antes de calcular

Alineación con estándares

8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Operar con números en notación científica, incluidos problemas en los que se usan a la vez la notación decimal y la científica
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Usar números de la forma una cifra por una potencia entera de 10 para estimar y comparar cantidades muy grandes o muy pequeñas
8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para obtener expresiones numéricas equivalentes

Recursos de la lección

visualDivisor en notación científica
Herramienta interactiva que divide los coeficientes, resta los exponentes y normaliza paso a paso, con controles deslizantes para nuevos números
activity¿Cuánto por persona?
Los alumnos buscan una cifra nacional (presupuesto, consumo de energía o de agua) y la población, y dividen en notación científica
worksheet¿Normalizar o no?
Veinte cocientes: los alumnos deciden si el resultado necesita normalizarse y corrigen el exponente

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Para dividir números en notación científica, separa el cálculo en dos partes sencillas: divide los coeficientes y divide las potencias de diez restando los exponentes (regla del cociente

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Después revisa el coeficiente. En notación científica debe cumplir

1 \le a < 10

. Al dividir, el nuevo coeficiente puede salir menor que 1, y entonces hay que normalizarlo: mueve la coma decimal un lugar a la derecha (multiplica el coeficiente por

10

) y resta

1

al exponente.

\frac{1{,}2 \times 10^5}{3 \times 10^2} = 0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2

Dos cosas más a tener en cuenta:

Exponentes negativos: restar un número negativo es sumar, así que $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4-(-7)} = 10^3$ .
Cocientes que no terminan: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ , así que redondeas el coeficiente, por ejemplo a $3$ cifras significativas: $2{,}33$ .

Ejemplos resueltos

Calcula

(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)

Divide los coeficientes

8 \div 2 = 4

Resta los exponentes (regla del cociente)

10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6

Junta las partes y revisa el coeficiente

4 \times 10^6

, y

1 \le 4 < 10

→ Ya está normalizado

Respuesta: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

Errores comunes

Dividir los exponentes: $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Por qué está mal: El exponente cuenta cuántos dieces se multiplican. Al dividir se simplifican dieces, así que el exponente se resta, no se divide.

Correcto: Resta: $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (ocho dieces entre dos dieces dejan seis dieces).

Restar en el orden equivocado: $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Por qué está mal: En la división el orden importa. El exponente del número ENTRE el que divides se resta del exponente de arriba.

Correcto: Siempre arriba menos abajo: $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$ , un número pequeño, como es lógico al dividir entre algo mayor.

Normalizar en la dirección equivocada: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Por qué está mal: Si el coeficiente se hace 10 veces mayor, la potencia de diez tiene que hacerse 10 veces menor; si no, el valor pasa de $400$ a $40\,000$ .

Correcto: Coeficiente un lugar hacia arriba, exponente uno hacia abajo: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ . Comprobación: ambos valen $400$ .

Perder un signo con exponentes negativos: $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Por qué está mal: Se perdió el segundo signo menos. Restar $-3$ es lo mismo que sumar $3$ .

Correcto: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$ . Dividir entre un número diminuto da un resultado grande.

Por qué es importante

La división responde a preguntas como "¿cuánto tiempo?", "¿cuántos por ...?" y "¿cuánto le toca a cada uno?". En la ciencia y en las noticias, los números de esas preguntas suelen ser enormes o diminutos:

La luz del Sol: el Sol está a unos $1{,}5 \times 10^{11}$ m y la luz recorre $3 \times 10^8$ m cada segundo. Al dividir ves que la luz del Sol tiene unos $500$ segundos cuando te llega.
Densidad de población: la población de un país dividida entre su superficie da los habitantes por km², el número que usan los geógrafos para comparar países.
Cantidad por habitante: un presupuesto o una deuda nacional dividido entre la población muestra lo que supone para una sola persona.
Biología y química: la masa de una gota de agua dividida entre la masa de una molécula dice cuántas moléculas contiene (unas $10^{21}$ ).

Escribir estos números completos obligaría a contar largas filas de ceros. En notación científica divides dos números pequeños, restas dos exponentes y has terminado.

Aplicaciones del mundo real

Astronomía: tiempo de viaje de la luz

Los astrónomos dividen una distancia entre la velocidad de la luz para saber cuánto tiempo lleva viajando la luz. Por eso vemos el Sol como era hace unos minutos y las estrellas lejanas como eran hace años.

Ejemplo:

La Luna está a unos $3{,}84 \times 10^8$ m. La luz tarda $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ segundos en llegar.

1Inténtalo tú mismo

El Sol está a unos $1{,}5 \times 10^{11}$ m de la Tierra, y la luz recorre $3 \times 10^8$ m por segundo.

¿Cuántos segundos tarda la luz en ir del Sol a la Tierra?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Tiempo = distancia ÷ velocidad:

Geografía: densidad de población

La densidad de población es el número de habitantes dividido entre la superficie. Indica lo poblado que está un país o una ciudad, y así comparan los urbanistas lugares de tamaños muy distintos.

Ejemplo:

Alemania tiene unos $8{,}4 \times 10^7$ habitantes en unos $3{,}5 \times 10^5$ km². Densidad: $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$ , unos $240$ habitantes por km².

2Inténtalo tú mismo

Una gran ciudad tiene $3{,}6 \times 10^6$ habitantes en $9 \times 10^2$ km².

¿Cuántas personas viven en un kilómetro cuadrado?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Densidad = habitantes ÷ superficie:

Economía: cantidad por habitante

Las noticias dan cifras nacionales (presupuestos, deudas, gasto total) en miles de millones o en billones. Al dividirlas entre la población se obtiene una cantidad por persona fácil de imaginar.

Ejemplo:

Un país de $4 \times 10^7$ habitantes gasta $1{,}2 \times 10^{11}$ dólares al año en comida: $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$ , unos 3000 dólares por persona.

3Inténtalo tú mismo

La deuda pública de un país es de $2{,}4 \times 10^{12}$ dólares, y allí viven $3 \times 10^8$ personas.

¿Qué parte de la deuda le corresponde a cada persona, en dólares?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Parte = deuda ÷ habitantes:

Puntos clave

1Divide por separado los coeficientes y las potencias de diez: $\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$
2Regla del cociente: resta los exponentes, siempre arriba menos abajo ( $10^3 \div 10^7 = 10^{-4}$ )
3Si el nuevo coeficiente es menor que 1, normaliza: coma un lugar a la derecha, exponente menos 1 ( $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ )
4Restar un exponente negativo es sumar: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{3}$
5Cuando la división de los coeficientes no es exacta, redondea el coeficiente (por ejemplo a 3 cifras significativas) y escribe $\approx$
6La división responde a preguntas de "cuánto tiempo", "cuántos por" y "cuánto a cada uno": viaje de la luz, densidad de población, cantidad por habitante

Preguntas frecuentes

¿Puede salir un coeficiente mayor que 10 al dividir?

No. Los dos coeficientes están entre 1 y 10, así que su cociente siempre es mayor que

0{,}1

y menor que

10

. Por eso, al dividir, solo hay que normalizar en una dirección: un coeficiente menor que 1 avanza un lugar a la derecha y el exponente baja en 1.

¿Por qué se restan los exponentes?

Porque

10^m

son

m

dieces multiplicados. Dividir entre

10^n

simplifica

n

de esos dieces:

\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3

. Es la regla del cociente

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

¿Y si los dos números tienen el mismo exponente?

Entonces las potencias se simplifican a

10^0 = 1

y solo cuentan los coeficientes:

(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3

¿Cuántas cifras significativas debo conservar?

Normalmente tantas como tenga el dato menos preciso del problema. Si los datos tienen 2 o 3 cifras significativas, redondea también el coeficiente a 2 o 3. Conservar más cifras de las que dan los datos aparenta una precisión que no existe.

Glosario

Coeficiente: El número $a$ en $a \times 10^n$ ; en notación científica $1 \le a < 10$
Cociente: El resultado de una división, por ejemplo $4 \times 10^2$ en $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$
Regla del cociente: Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes: $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$
Normalizar: Reescribir un resultado para que el coeficiente quede entre 1 y 10 sin cambiar su valor, por ejemplo $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$
Cifras significativas: Las cifras de un número que informan de su precisión; $2{,}33$ tiene 3 cifras significativas

Tarjeta de fórmulas

Dividir en notación científica

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Divide los coeficientes y resta los exponentes (arriba menos abajo).

Regla del cociente

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

También vale con exponentes negativos: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4+7} = 10^3$.

Normalizar un coeficiente pequeño

c \times 10^k = (10c) \times 10^{k-1}

Úsala cuando el coeficiente $c$ sea menor que 1: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$.

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Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

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Geografía: densidad de población

Economía: cantidad por habitante

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

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Normalizar un coeficiente pequeño

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