Guía del profesor: Fracciones impropias

Aprende qué son las fracciones impropias, en qué se diferencian de las fracciones propias y por qué son iguales o mayores que 1.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Fundamentos de Fracciones. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Definir una fracción impropia como una fracción cuyo numerador es mayor o igual que su denominador
Clasificar fracciones en propias e impropias comparando el numerador y el denominador
Decidir si una fracción es menor que 1, igual a 1 o mayor que 1
Situar fracciones impropias en la recta numérica más allá del 1
Reconocer fracciones impropias que equivalen a números enteros, como $\frac{6}{3} = 2$

Requisitos previos

• Qué son las fracciones: numerador, denominador y partes iguales
• Fracciones equivalentes: el mismo valor escrito de formas distintas
• Tablas de multiplicar y divisiones básicas

Iniciadores de discusión

1. ¿Se pueden comer más porciones de las que tiene una pizza? ¿Cómo lo escribirías como fracción?
2. ¿Por qué $\frac{5}{5}$ es igual a 1? ¿Puedes encontrar otras tres fracciones iguales a 1?
3. ¿ $\frac{100}{99}$ es mayor o menor que 1? ¿Cómo lo sabes sin calcular?
4. ¿Por qué alguien escribiría $\frac{7}{4}$ en lugar de decir uno y tres cuartos?

Conceptos erróneos comunes

Una fracción siempre es menor que 1

Remediación: Contad en voz alta fracciones unitarias más allá de una unidad: un cuarto, dos cuartos, tres cuartos, cuatro cuartos, cinco cuartos. Mostrad cómo los saltos continúan en una recta numérica de 0 a 3.

Una fracción con el numerador igual al denominador es propia

Remediación: Coloread todas las partes de una tira de fracciones: $\frac{4}{4}$ llena la tira entera. Las fracciones propias nunca llenan la tira entera, así que $\frac{4}{4}$ va con las fracciones impropias.

Un numerador mayor siempre significa una fracción mayor

Remediación: Comparad $\frac{9}{8}$ y $\frac{5}{4}$ en la recta numérica: $\frac{9}{8}$ está solo un octavo después del 1, mientras que $\frac{5}{4}$ está un cuarto después del 1. Mirad siempre el numerador y el denominador juntos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Usar tiras de fracciones o pizzas de papel para que los alumnos construyan ellos mismos más de una unidad
• Trabajar al principio solo con medios y cuartos
• Practicar contar en voz alta más allá de una unidad: cuatro cuartos, cinco cuartos, seis cuartos

Para estudiantes de nivel:

• Clasificar grupos mezclados de fracciones propias e impropias
• Situar fracciones impropias con denominadores 2, 3 y 4 en una recta numérica de 0 a 3
• Encontrar fracciones impropias que equivalen a números enteros

Para estudiantes avanzados:

• Comparar fracciones impropias con denominadores distintos, como $\frac{9}{4}$ y $\frac{7}{3}$
• Encontrar todas las fracciones con denominador 5 que están entre 2 y 3
• Anticipar los números mixtos descomponiendo fracciones impropias en unidades y un resto

Alineación con estándares

3.NF.A.2.B (CCSS.MATH.CONTENT.3.NF.A.2.B)
Representar una fracción a/b en la recta numérica marcando a longitudes de 1/b desde 0
3.NF.A.3.C (CCSS.MATH.CONTENT.3.NF.A.3.C)
Expresar números enteros como fracciones y reconocer fracciones equivalentes a números enteros
4.NF.B.3.B (CCSS.MATH.CONTENT.4.NF.B.3.B)
Descomponer una fracción en una suma de fracciones con el mismo denominador de más de una manera

Recursos de la lección

visualRecta numérica de fracciones de 0 a 3
Los alumnos cuentan saltos de un cuarto más allá del 1 y del 2 y escriben las fracciones impropias
activityContar porciones de pizza
Los grupos juntan porciones de pizzas de papel de varias pizzas y expresan el total como fracción impropia
worksheet¿Menor que 1, igual a 1 o mayor que 1?
Clasificar fracciones en tres columnas y marcar cada una en una recta numérica

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es mayor o igual que su denominador. Ejemplos:

\frac{5}{4}

\frac{7}{3}

\frac{6}{6}

Una fracción propia tiene el numerador menor que el denominador, como

\frac{3}{4}

. Una fracción propia siempre es menor que 1.

Para distinguirlas, compara el numerador con el denominador:

Numerador menor que el denominador: propia, menor que 1 ( $\frac{3}{4} < 1$ )
Numerador igual al denominador: impropia, exactamente 1 ( $\frac{4}{4} = 1$ )
Numerador mayor que el denominador: impropia, más que 1 ( $\frac{7}{4} > 1$ )

Piensa en

\frac{7}{4}

como siete cuartos. Cuatro cuartos forman una unidad entera y sobran tres cuartos:

\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4}

Cuando el numerador es un múltiplo del denominador, la fracción impropia es un número entero:

\frac{6}{3} = 6 \div 3 = 2

Ejemplos resueltos

Clasifica estas fracciones: $\frac{3}{5}$ , $\frac{8}{5}$ y $\frac{5}{5}$ . ¿Cuáles son propias y cuáles impropias?

Mira $\frac{3}{5}$

Numerador $3$ , denominador $5$ : $3 < 5$ → Propia, menor que 1

Mira $\frac{8}{5}$

Numerador $8$ , denominador $5$ : $8 > 5$ → Impropia, más que 1

Mira $\frac{5}{5}$

$5 = 5$ , así que los cinco quintos juntos forman una unidad entera → Impropia, exactamente 1

Respuesta: $\frac{3}{5}$ es propia. $\frac{8}{5}$ y $\frac{5}{5}$ son impropias, y $\frac{5}{5} = 1$ .

Errores comunes

Pensar que una fracción nunca puede ser mayor que 1

Por qué está mal: Las fracciones se suelen presentar como partes de una sola unidad, así que parece imposible tener más partes de las que tiene la unidad. Pero una fracción cuenta partes iguales, y se pueden contar más partes de las que caben en una unidad.

Correcto: $\frac{7}{4}$ significa siete cuartos: una unidad (cuatro cuartos) más otros tres cuartos, así que $\frac{7}{4} > 1$ .

Decir que $\frac{4}{4}$ es una fracción propia

Por qué está mal: Parece una fracción normal, pero una fracción propia tiene que ser menor que 1, y $\frac{4}{4}$ es exactamente 1.

Correcto: Cuando el numerador es igual al denominador, la fracción es impropia y vale 1: $\frac{4}{4} = \frac{9}{9} = 1$ .

Colocar $\frac{5}{4}$ entre 0 y 1 en la recta numérica

Por qué está mal: Muchos alumnos dejan de contar cuartos al llegar al 1. Pero después de $\frac{4}{4}$ los saltos simplemente siguen, y $\frac{5}{4}$ es la siguiente marca.

Correcto: Sigue contando después del 1: $\frac{4}{4} = 1$ , así que $\frac{5}{4}$ está un cuarto a la derecha del 1.

Pensar que impropia significa incorrecta

Por qué está mal: En el lenguaje cotidiano, impropio suena a error, pero en matemáticas es solo el nombre de las fracciones que valen 1 o más.

Correcto: $\frac{9}{4}$ es una respuesta totalmente correcta. A menudo es incluso la forma más útil para calcular.

Por qué es importante

Las cantidades mayores que una unidad entera están en todas partes, y las fracciones impropias las describen contando partes iguales:

Cocina: seis cuartos de taza de harina son $\frac{6}{4}$ tazas, es decir, más de una taza
Tiempo: cinco cuartos de hora son $\frac{5}{4}$ de hora, o sea, 75 minutos
Compartir comida: comer 9 porciones de pizzas cortadas en 8 porciones cada una es comer $\frac{9}{8}$ de una pizza
Sumar fracciones: $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4}$ , así que los resultados a menudo son fracciones impropias

Además, las fracciones impropias son la forma más cómoda para calcular. Por eso te las encontrarás una y otra vez cuando sumes, multipliques y dividas fracciones.

Aplicaciones del mundo real

Cocinar con cacitos medidores

Las recetas se miden a menudo con cacitos pequeños, y varios cacitos superan fácilmente una taza.

Ejemplo:

Tres cacitos de $\frac{1}{2}$ taza de leche son $\frac{3}{2}$ tazas, es decir, más de 1 taza.

1Inténtalo tú mismo

Tu único cacito medidor tiene capacidad para $\frac{1}{4}$ de taza. Una receta de tortitas necesita 6 cacitos de harina.

¿Cuántas tazas de harina son, escritas como fracción?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Cuenta los cuartos de taza:

El tiempo en cuartos de hora

Un cuarto de hora son 15 minutos, por eso los horarios suelen contar el tiempo en cuartos de hora.

Ejemplo:

Una película que dura 6 cuartos de hora dura $\frac{6}{4}$ de hora, o sea, 90 minutos.

2Inténtalo tú mismo

El entrenamiento de natación dura 5 cuartos de hora.

¿Qué fracción de hora es eso y cuántos minutos son?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Cinco cuartos de hora de 15 minutos cada uno:

Botellas de agua para un equipo

Las bebidas se venden a menudo en botellas de medio litro, y unas pocas botellas suman enseguida varios litros.

Ejemplo:

Dos botellas de medio litro contienen $\frac{2}{2} = 1$ litro de agua.

3Inténtalo tú mismo

Un equipo de fútbol lleva 7 botellas, cada una con $\frac{1}{2}$ litro de agua.

¿Cuántos litros de agua son, escritos como fracción?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Cuenta los medios litros:

Puntos clave

1Una fracción impropia tiene el numerador mayor o igual que el denominador, como $\frac{7}{4}$ o $\frac{5}{5}$
2Una fracción propia tiene el numerador menor que el denominador y siempre es menor que 1
3Si el numerador es igual al denominador, la fracción vale exactamente 1: $\frac{6}{6} = 1$
4Si el numerador es mayor, la fracción vale más que 1 y está a la derecha del 1 en la recta numérica
5Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción es un número entero: $\frac{6}{3} = 2$
6Impropia es solo un nombre, no un error. $\frac{7}{4}$ también se puede escribir como el número mixto $1\frac{3}{4}$ , que verás en las próximas lecciones

Preguntas frecuentes

¿ $\frac{4}{4}$ es una fracción propia o impropia?

Es impropia. Una fracción propia tiene que ser menor que 1, pero

\frac{4}{4}

es exactamente 1. Toda fracción cuyo numerador es igual a su denominador es impropia y vale 1.

¿Por qué se llaman impropias?

El nombre es muy antiguo. Una fracción propia se veía como una verdadera parte de una unidad, y una fracción que vale una unidad o más no encajaba en esa idea, así que se llamó impropia. No significa incorrecta.

¿Se puede escribir cualquier número entero como fracción impropia?

Sí. Multiplica el número entero por cualquier denominador para obtener el numerador:

3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{12}{4}

¿Tengo que convertir siempre una fracción impropia en número mixto?

No. Las dos formas son correctas. Con las fracciones impropias suele ser más fácil calcular, mientras que los números mixtos como

1\frac{3}{4}

muestran el tamaño de un vistazo. Pasar de una forma a otra es el tema de las próximas lecciones.

Glosario

Fracción propia: Una fracción cuyo numerador es menor que el denominador, como $\frac{3}{4}$ . Siempre es menor que 1.
Fracción impropia: Una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador, como $\frac{7}{4}$ o $\frac{4}{4}$ . Vale 1 o más.
Numerador: El número de arriba de una fracción; cuenta cuántas partes iguales hay
Denominador: El número de abajo de una fracción; indica cuántas partes iguales forman una unidad
Número entero: Uno de los números 0, 1, 2, 3, etcétera. Algunas fracciones impropias son números enteros, como $\frac{6}{3} = 2$ .
Número mixto: Un número entero y una fracción propia escritos juntos, como $1\frac{3}{4}$ . Es otra forma de escribir una fracción impropia.

Tarjeta de fórmulas

Fracción propia

\frac{a}{b} < 1 \text{ si } a < b

El numerador es menor que el denominador

Igual a uno

\frac{a}{a} = 1

El numerador es igual al denominador, así que la fracción es impropia y vale 1

Mayor que uno

\frac{a}{b} > 1 \text{ si } a > b

El numerador es mayor que el denominador, así que la fracción es impropia

Número entero

\frac{a}{b} = a \div b

Si $b$ divide a $a$ exactamente, la fracción es un número entero, por ejemplo $\frac{12}{4} = 3$

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Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Cocinar con cacitos medidores

El tiempo en cuartos de hora

Botellas de agua para un equipo

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Fracción propia

Igual a uno

Mayor que uno

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