Fórmula de Euler para poliedros

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué igualdad es la fórmula de Euler para un poliedro convexo?
1. a) $V + A + C = 2$
2. b) $V - A + C = 2$
3. c) $V + A - C = 2$
4. d) $V - A - C = 2$
Respuesta: $V - A + C = 2$
Se suman vértices y caras y se restan las aristas: $V - A + C = 2$ . En un cubo: $8 - 12 + 6 = 2$ .
2.
Un cubo tiene $8$ vértices, $12$ aristas y $6$ caras. Calcula $V - A + C$ .
Respuesta: 2
$8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$ , justo lo que predice la fórmula de Euler.
3.
Un prisma triangular tiene $6$ vértices y $5$ caras. Usa la fórmula de Euler para hallar el número de aristas.
Respuesta: 9
$6 - A + 5 = 2$ da $11 - A = 2$ , luego $A = 9$ . Comprobación: $3$ aristas en cada triángulo y $3$ que los unen, $3 + 3 + 3 = 9$ .
4.
¿Cuál de estos cuerpos NO es un poliedro?
1. a)Octaedro
2. b)Cubo
3. c)Cilindro
4. d)Pirámide cuadrangular
Respuesta: Cilindro
Un cilindro tiene una superficie curva y bases circulares, que no son polígonos, así que no es un poliedro y la fórmula de Euler no se le aplica.
5.
Un poliedro convexo tiene $20$ caras y $30$ aristas. ¿Cuántos vértices tiene?
Respuesta: 12
$V = 2 + A - C = 2 + 30 - 20 = 12$ . Comprobación: $12 - 30 + 20 = 2$ .
6.
Cuenta los vértices, aristas y caras de un prisma pentagonal y comprueba la fórmula de Euler.
Respuesta: 2
1. ¿Cuántos vértices? (pentágono de arriba y de abajo) 10
2. ¿Cuántas aristas? (arriba, abajo y verticales) 15
3. ¿Cuántas caras? (2 bases y las caras rectangulares) 7
4. Calcula $V - A + C$ 2
7.
Cuenta los vértices, aristas y caras de una pirámide cuadrangular y comprueba la fórmula de Euler.
Respuesta: 2
1. ¿Cuántos vértices? (los de la base y la cúspide) 5
2. ¿Cuántas aristas? (las de la base y las que suben a la cúspide) 8
3. ¿Cuántas caras? (la base y los triángulos) 5
4. Calcula $V - A + C$ 2
8.
¿Qué datos pueden corresponder a un poliedro convexo?
1. a) $V = 8$ , $A = 12$ , $C = 7$
2. b) $V = 9$ , $A = 14$ , $C = 6$
3. c) $V = 6$ , $A = 10$ , $C = 6$
4. d) $V = 7$ , $A = 12$ , $C = 6$
Respuesta: $V = 6$ , $A = 10$ , $C = 6$
$6 - 10 + 6 = 2$ (una pirámide pentagonal), mientras que $7 - 12 + 6 = 1$ , $8 - 12 + 7 = 3$ y $9 - 14 + 6 = 1$ no cumplen la fórmula de Euler.
9.
Un prisma tiene $27$ aristas. ¿Cuántas caras tiene?
Respuesta: 11
$3n = 27$ da $n = 9$ , luego $C = 9 + 2 = 11$ . Comprobación: $V = 18$ y $18 - 27 + 11 = 2$ .
10.
Un poliedro tiene $4$ caras triangulares y $4$ caras hexagonales. Halla su número de aristas y de vértices.
Respuesta: 12
1. ¿Cuántos lados de caras hay en total? 36
2. ¿Cuántas aristas? 18
3. ¿Cuántas caras? 8
4. ¿Cuántos vértices? ( $V = 2 + A - C$ ) 12
11.
Una pirámide tiene una base de $n$ lados. ¿Cuántas aristas tiene?
1. a) $n + 1$
2. b) $2n$
3. c) $n + 2$
4. d) $3n$
Respuesta: $2n$
Hay $n$ aristas en la base y $n$ aristas desde los vértices de la base hasta la cúspide: $n + n = 2n$ . En una pirámide cuadrangular, $2 \times 4 = 8$ .
12.
Una pirámide tiene $9$ caras. Halla el número de lados de su base, sus vértices y sus aristas, y comprueba la fórmula de Euler.
Respuesta: 2
1. ¿Cuántos lados tiene la base? (caras $= n + 1$ ) 8
2. ¿Cuántos vértices? ( $n + 1$ ) 9
3. ¿Cuántas aristas? ( $2n$ ) 16
4. Calcula $V - A + C$ 2
13.
Un poliedro convexo solo tiene caras triangulares y $12$ vértices. ¿Cuántas caras y aristas tiene?
Respuesta: 20
1. Cada cara tiene 3 lados y cada arista pertenece a 2 caras, así que $A = \frac{3C}{2}$ . Entonces $12 - \frac{3C}{2} + C = 2$ queda $12 - \frac{C}{2} = 2$ . ¿Cuánto vale $\frac{C}{2}$ ? 10
2. ¿Cuántas caras? 20
3. ¿Cuántas aristas? ( $\frac{3C}{2}$ ) 30
4. Comprueba: calcula $V - A + C$ 2
14.
Un marco de cuadro triangular es un cuerpo atravesado por un agujero triangular. La parte de arriba y la de abajo están divididas en $3$ trapecios cada una, así que todas las caras son cuadriláteros. Halla $V - A + C$ .
Respuesta: 0
1. ¿Cuántos vértices? (exteriores e interiores, arriba y abajo) 12
2. ¿Cuántas caras? (arriba, abajo, lados exteriores e interiores) 12
3. ¿Cuántas aristas? (todas las caras son cuadriláteros) 24
4. Calcula $V - A + C$ 0
15.
¿Puede un poliedro tener exactamente $5$ caras, todas triangulares?
1. a)Sí, tiene 7 aristas
2. b)No, 15 lados de caras no se pueden agrupar de dos en dos en aristas
3. c)Sí, es una pirámide cuadrangular
4. d)No, necesitaría 0 vértices
Respuesta: No, 15 lados de caras no se pueden agrupar de dos en dos en aristas
Cinco triángulos tienen $5 \times 3 = 15$ lados. Cada arista usa exactamente dos lados, así que $A = 7{,}5$ , que no es un número entero. Ese poliedro no existe. Una pirámide cuadrangular solo tiene $4$ caras triangulares y un cuadrado.
16.
Un prisma tiene $30$ vértices. Halla el número de lados de su base, sus aristas y sus caras, y comprueba la fórmula de Euler.
Respuesta: 2
1. ¿Cuántos lados tiene la base? ( $2n = 30$ ) 15
2. ¿Cuántas aristas? ( $3n$ ) 45
3. ¿Cuántas caras? ( $n + 2$ ) 17
4. Calcula $V - A + C$ 2
17.
Un poliedro convexo tiene $6$ caras cuadradas y $8$ caras hexagonales. ¿Cuántos vértices tiene?
Respuesta: 24
Lados de las caras: $6 \times 4 + 8 \times 6 = 72$ , luego $A = 36$ . Con $C = 14$ : $V = 2 + 36 - 14 = 24$ .
18.
Cuenta los vértices, aristas y caras de una pirámide triangular (tetraedro) y comprueba la fórmula de Euler.
Respuesta: 2
1. ¿Cuántos vértices? 4
2. ¿Cuántas aristas? 6
3. ¿Cuántas caras? 4
4. Calcula $V - A + C$ 2