Guía del profesor: Expresiones booleanas

Aprende a escribir y evaluar expresiones booleanas con 1 y 0, a aplicar la precedencia NO, Y, O y a construir su tabla de verdad completa.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Lógica booleana. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Escribir expresiones booleanas con variables, los valores 1 y 0 y los símbolos $\land$ , $\lor$ , $\neg$
Aplicar la precedencia de operadores (paréntesis, NO, Y, O) para evaluar una expresión con entradas dadas
Explicar cómo los paréntesis cambian el valor de una expresión booleana
Construir la tabla de verdad completa de una expresión con 2 o 3 variables usando $2^n$ filas
Decidir si dos expresiones son equivalentes comparando sus tablas de verdad

Requisitos previos

• Las operaciones Y, O y NO y las proposiciones compuestas (lecciones La operación Y (AND), La operación O, La operación NO, Proposiciones booleanas compuestas)
• Construir tablas de verdad con columnas auxiliares (lección Tablas de verdad)
• La jerarquía de operaciones en aritmética y las potencias de 2, como $2^3 = 8$

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué crees que los matemáticos acordaron una precedencia de operadores en lugar de calcular siempre de izquierda a derecha?
2. Escribe una regla de tu instituto, por ejemplo quién puede usar la biblioteca, como expresión booleana. ¿Dónde necesitas paréntesis?
3. Si dos expresiones coinciden en 7 de 8 entradas, ¿son equivalentes? ¿Por qué?
4. Con 0 y 1, Y funciona como la multiplicación. ¿Por qué O no funciona exactamente como la suma?

Conceptos erróneos comunes

Las expresiones booleanas se evalúan de izquierda a derecha

Remediación: Compara con $2 + 3 \times 4$ en aritmética y luego evalúa $1 \lor 1 \land 0$ de las dos maneras. Solo el orden NO, Y, O da el resultado acordado, y órdenes distintos dan respuestas distintas.

NO delante de una variable niega todo el resto de la expresión

Remediación: Evalúa $\neg A \land B$ y $\neg(A \land B)$ para $A = B = 0$ uno al lado del otro. Los resultados 0 y 1 muestran que, sin paréntesis, NO solo afecta a la variable siguiente.

Los valores pueden pasar de 1, como en $1 \lor 1 = 2$

Remediación: Recuerda que 1 y 0 son etiquetas para verdadero y falso, no cantidades. Pregunta: ¿'verdadero O verdadero' es más verdadero? El resultado sigue siendo 1.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con expresiones de un solo operador y un NO, con 2 variables
• Pedir que reescriban cada expresión con todos sus paréntesis antes de evaluarla
• Usar colores: rodear las partes NO de un color, las partes Y de otro, y evaluar los colores en orden

Para estudiantes de nivel:

• Evaluar expresiones con 3 variables y operadores mezclados para entradas dadas
• Construir tablas de verdad completas con columnas auxiliares para 2 y 3 variables
• Decidir si parejas de expresiones son equivalentes a partir de sus tablas de verdad

Para estudiantes avanzados:

• Encontrar una expresión cuya tabla de verdad coincida con una columna final dada
• Traducir reglas de un programa o de una hoja de cálculo a expresiones booleanas y probarlas
• Buscar una expresión más corta con la misma tabla de verdad y comprobarla fila por fila

Alineación con estándares

HSA.SSE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.1)
Interpretar expresiones que representan una cantidad en función de su contexto
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Prestar atención a la precisión
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 (MP7)
Buscar y utilizar la estructura

Recursos de la lección

visualTabla de verdad interactiva
Los alumnos completan la columna de resultados de Y, O y NO con 2 variables y comprueban sus respuestas
activityCarrera de paréntesis
Los equipos reciben las mismas entradas y una expresión sin paréntesis, añaden paréntesis para cambiar el resultado y explican por qué
worksheetEvaluar y comparar
Expresiones para evaluar con entradas dadas y parejas de expresiones para comparar con tablas de verdad completas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una expresión booleana es una fórmula formada por variables booleanas (letras como

A

B

C

), los valores

1

(verdadero) y

0

(falso) y los operadores Y (

\land

), O (

\lor

) y NO (

\neg

). Igual que

3 + 4 \times 2

en aritmética, una expresión booleana tiene un único valor, pero ese valor siempre es

1

0

Los tres operadores con 1 y 0:

$\neg A$ invierte el valor: $\neg 1 = 0$ y $\neg 0 = 1$
$A \land B$ vale $1$ solo cuando $A$ y $B$ valen $1$ los dos
$A \lor B$ vale $1$ cuando al menos uno de los dos vale $1$

Precedencia de operadores: primero los paréntesis, luego NO, luego Y, luego O.

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

Así,

A \lor B \land C

significa

A \lor (B \land C)

, y

\neg A \land B

significa

(\neg A) \land B

Ejemplo: evalúa

A \lor B \land \neg C

para

A = 0

B = 1

C = 0

0 \lor 1 \land \neg 0 = 0 \lor 1 \land 1 = 0 \lor 1 = 1

Una expresión con

n

variables tiene

2^n

combinaciones de entradas. Su tabla de verdad muestra el valor de la expresión para cada una de ellas, empezando por la fila en la que todas las variables valen

0

. Dos expresiones son equivalentes cuando sus columnas finales coinciden en todas las filas. (La lección Tablas de verdad empezaba en cambio por la fila en la que todo es verdadero; cualquier orden fijo sirve. Las tablas de verdad interactivas de esta lección también usan

1

0

Ejemplos resueltos

Evalúa $A \land \neg B$ para $A = 1$ y $B = 0$ .

Sustituir los valores

Cambia $A$ por $1$ y $B$ por $0$ → $1 \land \neg 0$

Primero NO

$\neg 0 = 1$ → $1 \land 1$

Después Y

Los dos valores son $1$ , así que Y da $1$

Respuesta: $A \land \neg B = 1$ (verdadero) para $A = 1$ , $B = 0$ .

Errores comunes

Calcular de izquierda a derecha: $1 \lor 0 \land 0 = (1 \lor 0) \land 0 = 0$

Por qué está mal: Y va antes que O, igual que la multiplicación va antes que la suma. Sin paréntesis, la parte Y se calcula primero.

Correcto: $1 \lor 0 \land 0 = 1 \lor (0 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$

Aplicar NO a todo lo que sigue: leer $\neg A \land B$ como $\neg(A \land B)$

Por qué está mal: Sin paréntesis, NO se aplica solo a la variable que va justo después.

Correcto: $\neg A \land B = (\neg A) \land B$ . Para negar todo el Y, escribe $\neg(A \land B)$ .

Sumar como si fueran números: $1 \lor 1 = 2$

Por qué está mal: Una expresión booleana solo puede valer $1$ o $0$ . O pregunta si al menos un valor es $1$ , no los cuenta.

Correcto: $1 \lor 1 = 1$ , $1 \land 1 = 1$ y $\neg 1 = 0$ . El resultado siempre es $1$ o $0$ .

Decir que dos expresiones son equivalentes tras probar solo una o dos entradas

Por qué está mal: $A \land (B \lor C)$ y $A \land B \lor C$ tienen el mismo valor en 6 de las 8 filas y, aun así, son distintas.

Correcto: Construye la tabla completa con $2^n$ filas y compara cada fila. Una fila distinta significa que no son equivalentes.

Por qué es importante

Las expresiones booleanas son el lenguaje que usan los ordenadores para tomar decisiones:

Programación: cada condición if es una expresión booleana, por ejemplo (al menos 12 años Y NO expulsado) O acompañado de un padre o una madre. Si olvidas los paréntesis, el programa deja pasar a las personas equivocadas
Búsquedas y filtros: las tiendas en línea y las bibliotecas combinan filtros como en stock Y (rojo O azul)
Hojas de cálculo: funciones como Y(), O() y NO() deciden qué filas se resaltan
Electrónica: cada chip convierte expresiones booleanas en circuitos de puertas lógicas, como verás en la lección Puertas lógicas
Juegos y casas inteligentes: una puerta se abre o una luz se enciende cuando una expresión de varios sensores vale 1

Si conoces la precedencia de operadores y sabes construir una tabla de verdad, puedes predecir exactamente qué hace una regla en cualquier situación posible.

Aplicaciones del mundo real

Reglas en un programa

Los programadores escriben reglas como expresiones booleanas y prueban todas las combinaciones de entradas antes de publicar el programa.

Ejemplo:

Una atracción de un parque te deja subir si $T \land (H \lor P)$ : $T$ = tienes entrada, $H$ = tienes la altura mínima, $P$ = sube contigo un padre o una madre.

1Inténtalo tú mismo

La regla es $T \land (H \lor P)$ . Una niña tiene entrada ( $T = 1$ ), no tiene la altura mínima ( $H = 0$ ) y sube con su madre ( $P = 1$ ).

¿Cuántos casos de prueba tiene la regla y puede subir la niña?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de casos de prueba como potencia de 2:

Filtros de spam

Un programa de correo decide con una expresión booleana si un mensaje va a la carpeta de spam.

Ejemplo:

Un filtro marca un correo como spam si $L \lor S \land \neg K$ : $L$ = el remitente está en una lista negra, $S$ = palabras sospechosas, $K$ = el remitente está en tus contactos.

2Inténtalo tú mismo

La regla es $L \lor S \land \neg K$ . Un correo de una amiga que está en tus contactos ( $K = 1$ ) contiene una palabra sospechosa ( $S = 1$ ), y la remitente no está en la lista negra ( $L = 0$ ). Con 0 y 1, Y funciona como la multiplicación y NO como $1 - x$ .

¿Va el correo a spam?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe $S \land \neg K$ como una operación:

Reglas de una casa inteligente

Dos expresiones distintas pueden controlar un aparato exactamente igual. Una tabla de verdad muestra cuándo una regla larga se puede cambiar por una corta.

Ejemplo:

Una luz del jardín usa la regla $M \lor M \land N$ : $M$ = se detecta movimiento, $N$ = es de noche.

3Inténtalo tú mismo

Una ingeniera quiere cambiar la regla $M \lor M \land N$ por la regla más corta $M$ .

¿Encienden siempre la luz de la misma manera las dos reglas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de filas como potencia de 2:

Puntos clave

1Una expresión booleana combina variables, los valores 1 (verdadero) y 0 (falso) y los operadores $\land$ , $\lor$ , $\neg$
2El valor de una expresión booleana siempre es 1 o 0, nunca 2 o más
3Precedencia de operadores: primero los paréntesis, luego NO, luego Y, luego O
4NO se aplica solo a lo que va justo después: $\neg A \land B$ no es $\neg(A \land B)$
5Una expresión con $n$ variables tiene una tabla de verdad de $2^n$ filas, empezando por la fila en la que todas las variables valen 0
6Dos expresiones son equivalentes cuando sus columnas finales coinciden en todas las filas

Preguntas frecuentes

¿Por qué Y va antes que O?

Es un acuerdo, como la multiplicación antes que la suma. Con 0 y 1, Y se comporta como la multiplicación (

1 \times 0 = 0

), y O se suele comparar con la suma, así que el mismo orden resulta natural.

¿Puedo poner paréntesis en todas partes?

Sí. Los paréntesis que siguen la precedencia de operadores nunca cambian el valor y hacen la expresión más fácil de leer.

A \lor (B \land C)

es lo mismo que

A \lor B \land C

, pero la primera forma muestra el orden de un vistazo.

¿1 y 0 son lo mismo que verdadero y falso?

Sí. 1 representa verdadero y 0 representa falso. Los ordenadores usan 1 y 0 porque lo guardan todo en bits. Las tablas interactivas de esta lección también usan 1 y 0.

¿Hay una forma más rápida que la tabla de verdad para demostrar que dos expresiones son equivalentes?

Sí. El álgebra de Boole tiene leyes (como las leyes de De Morgan) que transforman una expresión en otra paso a paso. Las verás en la lección Álgebra de Boole. Una tabla de verdad es más lenta, pero siempre funciona.

Glosario

Variable booleana: Una letra como $A$ , $B$ o $C$ que solo puede tomar los valores 1 (verdadero) o 0 (falso)
Expresión booleana: Una fórmula formada por variables booleanas, los valores 1 y 0 y los operadores $\land$ , $\lor$ , $\neg$
Precedencia de operadores: La regla que indica qué operador se calcula primero: paréntesis, luego NO, luego Y, luego O
Tabla de verdad: Una tabla que muestra el valor de una expresión para las $2^n$ combinaciones de sus variables
Equivalentes: Dos expresiones son equivalentes cuando tienen el mismo valor en cada fila de la tabla de verdad

Tarjeta de fórmulas

Precedencia de operadores

(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor

Primero los paréntesis, luego NO, luego Y, luego O

NO

\neg 0 = 1, \quad \neg 1 = 0

Invierte el valor de lo que va justo después

Y y O

1 \land 1 = 1, \quad 0 \lor 0 = 0

Y vale 1 solo si los dos valen 1; O vale 0 solo si los dos valen 0

Número de filas

\text{filas} = 2^n

$n$ es el número de variables: $2^2 = 4$, $2^3 = 8$

Más sobre este tema

Guía del profesor: Expresiones booleanas

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Reglas en un programa

Filtros de spam

Reglas de una casa inteligente

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Precedencia de operadores

NO

Y y O

Número de filas

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La operación O