Guía del profesor: Puertas lógicas

Aprende cómo las puertas AND, OR, NOT, XOR, NAND y NOR convierten unos y ceros en decisiones, y cómo hallar la salida de un circuito pequeño.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Lógica booleana. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar qué es una puerta lógica y qué representan las entradas y salidas 1 y 0
Recordar las tablas de verdad de las puertas AND, OR, NOT, XOR, NAND y NOR
Hallar la salida de un circuito de 2 o 3 puertas para unas entradas dadas
Escribir la expresión booleana de un circuito descrito con palabras
Describir usos reales de las puertas lógicas, como las alarmas y el semisumador

Requisitos previos

• Las operaciones Y, O y NO y sus tablas de verdad (La operación Y (AND), La operación O, La operación NO)
• Construir tablas de verdad de 2 y 3 variables (Tablas de verdad)
• Evaluar expresiones booleanas con paréntesis (Proposiciones booleanas compuestas, Expresiones booleanas)

Iniciadores de discusión

1. ¿Dónde se toma en tu casa una decisión con AND (dos cosas tienen que cumplirse)? ¿Y dónde con OR?
2. La luz de una escalera se puede encender desde arriba y desde abajo. ¿Qué puerta lo describe y por qué?
3. ¿Por qué una fábrica podría preferir construir todos sus chips con un solo tipo de puerta?
4. ¿Cómo puede una máquina que solo conoce 1 y 0 sumar números como 25 + 17?

Conceptos erróneos comunes

OR significa una cosa o la otra, pero no las dos

Remediación: En el lenguaje diario, o a menudo significa o bien. Pon las columnas OR y XOR una al lado de la otra y señala la fila con entradas 1, 1. Usa un timbre con un botón en la puerta principal y otro en la puerta trasera: si se pulsan los dos a la vez, suena igual (OR).

$1 + 1 = 2$ también vale para las puertas

Remediación: Recuerda que la salida de una puerta es un solo cable, que solo puede estar encendido o apagado. Escribe $1 + 1 = 1$ (OR) junto a $1 + 1 = 10_2$ (suma binaria con un semisumador) y comentad la diferencia.

En un circuito, cada puerta trabaja con las entradas originales

Remediación: Pide a los alumnos que escriban el valor de cada cable, puerta por puerta, como en una carrera de relevos en la que cada corredor solo recibe el testigo del anterior.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con AND, OR y NOT, con la imagen de un interruptor (encendido = 1, apagado = 0)
• Dar una tabla de puertas impresa para consultar mientras siguen los circuitos
• Usar circuitos de solo 2 puertas con las entradas ya escritas

Para estudiantes de nivel:

• Seguir circuitos de 3 puertas para varias combinaciones de entrada
• Escribir expresiones booleanas de circuitos descritos con palabras, y al revés
• Construir la tabla del semisumador y reconocer en ella las puertas XOR y AND

Para estudiantes avanzados:

• Mostrar cómo se construyen NOT, AND y OR solo con puertas NAND
• Diseñar un circuito de mayoría con tres entradas y contar sus filas con salida 1
• Investigar el sumador completo y cómo 4 de ellos suman dos números de 4 bits

Alineación con estándares

CCSS.MATH.PRACTICE.MP4 (MP4)
Modelar con matemáticas
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Prestar atención a la precisión
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 (MP7)
Buscar y utilizar la estructura

Recursos de la lección

visualTabla interactiva de puertas
Los alumnos cambian entre las seis puertas, leen cada tabla de verdad y ven el símbolo de las puertas AND, OR, NOT y XOR
activityCircuito humano
Los alumnos hacen de puertas, levantan tarjetas con 1 o 0 y pasan su salida al siguiente alumno del circuito
worksheetSigue el circuito
Circuitos de 2 y 3 puertas descritos con palabras: hallar la salida y escribir la expresión booleana

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una puerta lógica es un circuito electrónico diminuto con una o dos entradas y una salida. Cada entrada y cada salida vale 1 o 0:

1 = hay tensión (nivel alto), que significa verdadero
0 = no hay tensión (nivel bajo), que significa falso

Cada puerta realiza una operación booleana. Las puertas son la versión física de las operaciones Y, O y NO de las lecciones anteriores. En electrónica se usan casi siempre sus nombres en inglés: AND (Y), OR (O) y NOT (NO).

Las puertas de dos entradas (entradas

A

B

, las filas empiezan por

0, 0

$A$	$B$	AND	OR	XOR	NAND	NOR
0	0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	1	0
1	1	1	1	0	0	0

La puerta NOT (también llamada inversor) tiene una sola entrada y la invierte: la entrada 0 da la salida 1 y la entrada 1 da la salida 0.

Cómo recordarlas:

AND (Y): salida 1 solo cuando las dos entradas valen 1
OR (O): salida 1 cuando al menos una entrada vale 1
XOR (O exclusivo): salida 1 cuando las entradas son distintas
NAND (NO Y): lo contrario de AND, salida 0 solo cuando las dos entradas valen 1
NOR (NO O): lo contrario de OR, salida 1 solo cuando las dos entradas valen 0

Notación: en ingeniería se suele escribir

A \cdot B

para AND,

A + B

para OR y

\overline{A}

para NOT. Significan exactamente lo mismo que

A \land B

A \lor B

\neg A

. XOR se escribe

A \oplus B

, NAND es

\overline{A \cdot B}

y NOR es

\overline{A + B}

. Cuidado: aquí

1 + 1 = 1

, porque

+

significa OR.

Un circuito conecta puertas: la salida de una puerta se convierte en entrada de la siguiente. Para hallar la salida final, ve de las entradas a la salida, puerta por puerta.

La tabla interactiva de esta lección llama

A

B

a las entradas y escribe 1 y 0. Dibuja el símbolo de cada puerta, también de NAND y NOR.

Ejemplos resueltos

Las entradas son $A = 1$ y $B = 0$ . Halla la salida de una puerta AND, OR, XOR, NAND y NOR.

Puerta AND

AND necesita que las dos entradas valgan 1, pero $B = 0$ → AND: $0$

Puerta OR

OR necesita al menos un 1, y $A = 1$ → OR: $1$

Puerta XOR

Las entradas $1$ y $0$ son distintas → XOR: $1$

Puerta NAND

NAND es lo contrario de AND: AND dio $0$ , así que se invierte → NAND: $1$

Puerta NOR

NOR es lo contrario de OR: OR dio $1$ , así que se invierte → NOR: $0$

Respuesta: AND $= 0$ , OR $= 1$ , XOR $= 1$ , NAND $= 1$ , NOR $= 0$ . NAND y NOR son siempre lo contrario de AND y OR.

Errores comunes

Creer que una puerta OR da $0$ cuando las dos entradas valen $1$

Por qué está mal: Esa es la puerta XOR. OR vale 1 cuando al menos una entrada vale 1, y eso incluye el caso en que las dos valen 1.

Correcto: OR: $1 \lor 1 = 1$ . XOR: $1 \oplus 1 = 0$ . Solo XOR exige que las entradas sean distintas.

Leer $A + B$ como una suma normal y escribir $1 + 1 = 2$

Por qué está mal: En la notación de puertas, $+$ significa OR, y la salida de una puerta solo puede ser 0 o 1.

Correcto: Con puertas, $1 + 1 = 1$ (OR). El valor 2 solo aparece al sumar números binarios, y entonces se escribe $10$ con una cifra de acarreo.

Tratar NAND como NOT A AND NOT B, es decir, como $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Por qué está mal: NAND invierte la salida de AND, no las entradas. Para $A = 1$ , $B = 0$ : NAND da $\overline{1 \cdot 0} = 1$ , pero $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$ .

Correcto: NAND $= \overline{A \cdot B}$ : primero AND, después NOT. La barra cubre todo el producto.

Meter las entradas originales en la última puerta de un circuito

Por qué está mal: En un circuito, cada puerta solo recibe los cables conectados a ella. La última puerta suele recibir las salidas de puertas anteriores, no A, B y C.

Correcto: Ve de las entradas a la salida, escribe la salida de cada puerta a su lado y usa esos valores en la puerta siguiente.

Por qué es importante

Todos los aparatos digitales que tienes están hechos de puertas lógicas:

Chips de ordenador: un procesador contiene miles de millones de transistores conectados como puertas, y todo lo que hace (sumar, comparar, guardar) se reduce a AND, OR y NOT con unos y ceros
Sumar números: dos puertas, una XOR y una AND, bastan para sumar dos cifras binarias, y cadenas de estos circuitos suman números enteros
Alarmas y sistemas de seguridad: una alarma suena cuando está activada Y la puerta de entrada O una ventana está abierta
Coches y máquinas: el aviso del cinturón se enciende cuando el motor está en marcha Y el cinturón NO está abrochado; una prensa solo funciona si las dos manos pulsan dos botones (AND)
Luz en casa: una luz que se enciende desde dos sitios (escalera, pasillo) es un circuito XOR

En las lecciones anteriores escribiste expresiones booleanas en papel. Las puertas lógicas son esas mismas expresiones construidas en hardware, así que aprender a leer un circuito es aprender a leer el idioma de los ordenadores.

Aplicaciones del mundo real

Alarmas

Una alarma doméstica es un pequeño circuito lógico: los sensores dan 1 o 0 y las puertas deciden si la sirena recibe un 1.

Ejemplo:

Con el interruptor de activación $A$ , el sensor de la puerta de entrada $D$ y el sensor de la ventana $W$ , la alarma suena cuando $Y = A \land (D \lor W) = 1$ .

1Inténtalo tú mismo

Una alarma usa $Y = A \land (D \lor W)$ : $A = 1$ cuando el sistema está activado, $D = 1$ cuando la puerta de entrada está abierta, $W = 1$ cuando la ventana está abierta.

¿En cuántas de todas las combinaciones de entrada posibles suena la alarma?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de combinaciones de entrada como potencia de 2:

Sumar en un chip

Cada suma que hace un ordenador está construida con semisumadores y sumadores completos hechos de puertas.

Ejemplo:

Un semisumador calcula la cifra de suma $S = A \oplus B$ y la cifra de acarreo $C = A \land B$ de dos cifras binarias.

2Inténtalo tú mismo

Un semisumador recibe las entradas $A = 1$ y $B = 1$ . Da $S = A \oplus B$ y $C = A \land B$ , y el resultado se lee como el número binario $CS$ .

¿Cuánto valen S y C, y qué número normal representa el resultado?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la suma que hace el circuito:

Construir chips con puertas NAND

A los fabricantes de chips les gustan las puertas NAND, porque cualquier otra puerta se puede construir solo con puertas NAND.

Ejemplo:

Conecta las dos entradas de una puerta NAND a la misma señal $A$ : la salida es $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ , así que funciona como una puerta NOT.

3Inténtalo tú mismo

Un pequeño encapsulado de chip contiene 4 puertas NAND. Una puerta NOT necesita 1 puerta NAND y una puerta AND necesita 2 (una NAND seguida de una NAND usada como NOT). Una diseñadora necesita 3 puertas AND y 2 puertas NOT.

¿Cuántas puertas NAND y cuántos encapsulados necesita?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de puertas NAND como un solo cálculo:

Puntos clave

1Una puerta lógica recibe entradas que valen 1 (hay tensión) o 0 (no hay tensión) y da una salida, también 1 o 0
2AND da 1 solo cuando las dos entradas valen 1; OR da 1 cuando al menos una entrada vale 1; NOT invierte su única entrada
3XOR da 1 cuando las entradas son distintas; NAND y NOR son lo contrario de AND y OR
4Notación de puertas: $A \cdot B$ (AND), $A + B$ (OR), $\overline{A}$ (NOT), $A \oplus B$ (XOR), y aquí $1 + 1 = 1$
5Para hallar la salida de un circuito, ve de las entradas a la salida y apunta la salida de cada puerta
6Nombra la salida de cada puerta como una expresión y obtendrás la expresión booleana de todo el circuito

Preguntas frecuentes

¿Por qué las puertas usan 1 y 0 en vez de verdadero y falso?

Dentro de un chip solo hay tensiones. Una tensión alta representa 1 (verdadero) y una baja, 0 (falso). Usar solo dos niveles hace los circuitos rápidos y fiables, porque una señal algo más débil se sigue leyendo claramente como 1.

¿Qué diferencia hay entre OR y XOR?

Solo se diferencian en una fila: cuando las dos entradas valen 1. OR da

1

(al menos una está encendida) y XOR da

0

(las entradas no son distintas). XOR es la puerta de o una o la otra, pero no las dos.

¿Por qué son tan populares las puertas NAND?

Cualquier otra puerta se puede construir solo con puertas NAND. Por ejemplo, una NAND con las dos entradas unidas es una puerta NOT. Así una fábrica puede hacer chips con un único tipo de puerta. Verás el álgebra que lo explica en la lección Álgebra de Boole.

¿Puedo comprobar las puertas con aritmética normal?

Sí, con 0 y 1: AND es

A \times B

, NOT es

1 - A

, OR es

A + B - A \times B

y XOR es

A + B - 2 \times A \times B

. Por ejemplo, OR para

1, 1

1 + 1 - 1 = 1

. Pruébalo en la calculadora.

Glosario

Puerta lógica: Un circuito electrónico que realiza una operación booleana con entradas que valen 1 o 0
Entrada / salida: Las señales que entran en una puerta y la única señal que sale de ella
Circuito: Puertas conectadas por cables, en las que la salida de una puerta es entrada de otra
Inversor: Otro nombre de la puerta NOT, que cambia 1 por 0 y 0 por 1
O exclusivo (XOR): Una puerta cuya salida vale 1 cuando sus entradas son distintas, escrita $A \oplus B$
Semisumador: Un circuito de una puerta XOR y una puerta AND que suma dos cifras binarias: $S = A \oplus B$ , $C = A \land B$

Tarjeta de fórmulas

AND (Y)

Y = A \cdot B = A \land B

1 solo cuando las dos entradas valen 1

OR (O)

Y = A + B = A \lor B

1 cuando al menos una entrada vale 1

NOT (NO)

Y = \overline{A} = \neg A

Invierte la entrada

XOR

Y = A \oplus B

1 cuando las entradas son distintas

NAND

Y = \overline{A \cdot B}

Lo contrario de AND: 0 solo cuando las dos entradas valen 1

NOR

Y = \overline{A + B}

Lo contrario de OR: 1 solo cuando las dos entradas valen 0

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Alarmas

Sumar en un chip

Construir chips con puertas NAND

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

AND (Y)

OR (O)

NOT (NO)

XOR

NAND

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