Tablas de verdad

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuántas filas tiene una tabla de verdad con 3 variables?
1. a)9
2. b)3
3. c)8
4. d)6
Respuesta: 8
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ filas. 6 sería $2 \times 3$ , y faltarían combinaciones.
2.
¿Cuántas filas necesita una tabla de verdad para $P$ y $Q$ ?
Respuesta: 4
$2^2 = 4$ filas: VV, VF, FV y FF.
3.
Rellena las columnas de las variables de una tabla de verdad para $P$ , $Q$ y $R$ en el orden estándar.
Respuesta: 8
1. ¿Cuántas filas necesita la tabla? 8
2. La columna $P$ empieza con un bloque de V. ¿Cuántas V hay en ese primer bloque? 4
3. La columna $Q$ cambia el doble de veces. ¿Cuántas V hay en su primer bloque? 2
4. ¿Cuántas V hay en el primer bloque de la columna $R$ ? 1
4.
En el orden estándar de una tabla de verdad de 8 filas, ¿qué patrón tiene la última columna $R$ ?
1. a)F, F, F, F, V, V, V, V
2. b)V, V, F, F, V, V, F, F
3. c)V, F, V, F, V, F, V, F
4. d)V, V, V, V, F, F, F, F
Respuesta: V, F, V, F, V, F, V, F
La última columna alterna en bloques de 1: V, F, V, F, V, F, V, F. Los bloques de 4 son de $P$ y los de 2 de $Q$ .
5.
Una tabla de verdad tiene 64 filas. ¿Cuántas variables tiene la expresión?
Respuesta: 6
$2^6 = 64$ , así que la expresión tiene 6 variables (2, 4, 8, 16, 32, 64 son seis duplicaciones).
6.
Construye la tabla de verdad de $\neg P \land Q$ . ¿En qué fila es verdadera? Usa el orden estándar de las filas (la fila 1 es $P$ = V, $Q$ = V).
Respuesta: 3
1. ¿Cuántas filas tiene la tabla? 4
2. ¿En cuántas filas es verdadero $\neg P$ ? 2
3. ¿En qué fila (número del 1 al 4) son verdaderos a la vez $\neg P$ y $Q$ ? 3
7.
¿En cuántas de las 4 filas de la tabla de verdad es verdadera $\neg P \lor Q$ ?
Respuesta: 3
$\neg P$ : F, F, V, V y $Q$ : V, F, V, F. O da V, F, V, V, así que la expresión es verdadera en 3 filas y solo es falsa cuando $P$ es verdadero y $Q$ falso.
8.
¿Qué expresión es una tautología?
1. a) $P \land Q$
2. b) $P \lor \neg P$
3. c) $\neg P \lor Q$
4. d) $P \land \neg P$
Respuesta: $P \lor \neg P$
$P \lor \neg P$ siempre es verdadera: uno de $P$ y $\neg P$ siempre es verdadero. $P \land \neg P$ siempre es falsa, y $P \land Q$ y $\neg P \lor Q$ son falsas en al menos una fila cada una.
9.
¿En cuántas de las 8 filas es verdadera $P \land (Q \lor R)$ ?
Respuesta: 3
1. ¿En cuántas de las 8 filas es verdadero $Q \lor R$ ? 6
2. ¿En cuántas filas es verdadero $P$ ? 4
3. ¿En cuántas filas son verdaderos a la vez $P$ y $Q \lor R$ ? 3
10.
¿En cuántas de las 8 filas de la tabla de verdad es verdadera $P \lor (Q \land R)$ ?
Respuesta: 5
$P$ es verdadero en las filas 1 a 4, lo que da 4 filas verdaderas. En las filas 5 a 8 ( $P$ falso), $Q \land R$ solo es verdadero en la fila 5. Total: $4 + 1 = 5$ filas.
11.
Comprueba con una tabla de verdad si $(P \lor Q) \lor \neg Q$ es una tautología.
Respuesta: 0
1. ¿En cuántas de las 4 filas es verdadero $P \lor Q$ ? 3
2. ¿En cuántas filas es verdadero $\neg Q$ ? 2
3. ¿En cuántas filas es verdadera $(P \lor Q) \lor \neg Q$ ? 4
4. ¿Cuántas filas son falsas? (0 filas falsas significa tautología) 0
12.
¿Qué expresión es lógicamente equivalente a $\neg(P \lor Q)$ ?
1. a) $P \land Q$
2. b) $\neg P \lor \neg Q$
3. c) $\neg P \land \neg Q$
4. d) $\neg P \lor Q$
Respuesta: $\neg P \land \neg Q$
$\neg(P \lor Q)$ : F, F, F, V. $\neg P \land \neg Q$ : F, F, F, V. Las columnas coinciden en todas las filas (De Morgan). $\neg P \lor \neg Q$ da F, V, V, V, que es distinto.
13.
Comprueba con una tabla de verdad si $(P \land Q) \land \neg P$ es una contradicción. Usa el orden estándar de las filas (la fila 1 es $P$ = V, $Q$ = V).
Respuesta: 0
1. ¿Cuál es la única fila (número del 1 al 4) en la que $P \land Q$ es verdadero? 1
2. ¿En cuántas filas es verdadero $\neg P$ ? 2
3. ¿En cuántas filas es verdadera $(P \land Q) \land \neg P$ ? 0
14.
¿Qué muestra la tabla de verdad de $(P \lor Q) \land \neg P$ ?
1. a)Es una contradicción
2. b)Es equivalente a $P$
3. c)Ninguna de las dos: verdadera en exactamente 1 fila
4. d)Es una tautología
Respuesta: Ninguna de las dos: verdadera en exactamente 1 fila
$P \lor Q$ : V, V, V, F y $\neg P$ : F, F, V, V. Y da F, F, V, F. Es verdadera en exactamente 1 fila (la fila 3), así que no es ni tautología ni contradicción, y no es equivalente a $P$ (V, V, F, F).
15.
¿En cuántas de las 4 filas es verdadera $(P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)$ ?
Respuesta: 2
$P \land \neg Q$ solo es verdadero en la fila 2 (V, F) y $\neg P \land Q$ solo en la fila 3 (F, V). O da F, V, V, F: 2 filas verdaderas. La expresión es verdadera justo cuando $P$ y $Q$ son distintos.
16.
Comprueba con una tabla de verdad si $P \land (Q \lor R)$ y $(P \land Q) \lor (P \land R)$ son equivalentes.
Respuesta: 0
1. ¿Cuántas filas tiene la tabla? 8
2. ¿En cuántas filas es verdadera $P \land (Q \lor R)$ ? 3
3. ¿En cuántas filas es verdadera $(P \land Q) \lor (P \land R)$ ? 3
4. ¿En cuántas filas se diferencian las dos columnas finales? 0
17.
Un alumno afirma que $\neg(P \land Q)$ es equivalente a $\neg P \land \neg Q$ . Compruébalo con una tabla de verdad. Usa el orden estándar de las filas (la fila 1 es $P$ = V, $Q$ = V).
Respuesta: 2
1. ¿En cuántas de las 4 filas es verdadera $\neg(P \land Q)$ ? 3
2. ¿En cuántas filas es verdadera $\neg P \land \neg Q$ ? 1
3. ¿En cuántas filas se diferencian las dos columnas finales? 2
4. ¿Cuál es el número de la primera fila en la que se diferencian? 2
18.
Construye la tabla de verdad de $\neg P \lor (Q \land \neg R)$ . ¿En cuántas de las 8 filas es verdadera?
Respuesta: 5
1. ¿En cuántas de las 8 filas es verdadero $\neg P$ ? 4
2. ¿En cuántas filas es verdadero $Q \land \neg R$ ? 2
3. ¿En cuántas filas es verdadera $\neg P \lor (Q \land \neg R)$ ? 5
4. ¿Cuántas filas son falsas? 3