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Guía del profesor: Tablas de verdad

Aprende a construir paso a paso la tabla de verdad de una expresión compuesta y a usarla para encontrar tautologías, contradicciones y expresiones equivalentes.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Lógica booleana. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Determinar el número de filas de una tabla de verdad con 2n2^n
  • Rellenar de forma sistemática las columnas de las variables de una tabla de verdad con 2 y 3 variables
  • Construir la columna final de una expresión compuesta con columnas auxiliares
  • Reconocer tautologías, contradicciones y contingencias a partir de la columna final
  • Usar tablas de verdad para decidir si dos expresiones son lógicamente equivalentes
Requisitos previos
  • • Comprender los enunciados verdaderos y falsos (Introducción a la lógica booleana, Enunciados verdaderos y falsos)
  • • Las operaciones Y, O y NO y sus tablas de verdad básicas
  • • Las potencias de 2, como 23=82^3 = 8
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué sería poco práctico escribir a mano una tabla con 10 variables? ¿Cuántas filas tendría?
  • 2. Dos amigos dicen la misma regla con palabras distintas. ¿Cómo podría una tabla de verdad decidir quién tiene razón?
  • 3. ¿Se te ocurre una frase que sea siempre verdadera, pase lo que pase? ¿Por qué es una tautología?
  • 4. ¿Por qué basta una sola fila distinta para demostrar que dos expresiones no son equivalentes?
Conceptos erróneos comunes

El número de filas es 2×n2 \times n en lugar de 2n2^n

Remediación: Construye con la clase las tablas para 1, 2 y 3 variables y cuenta las filas: 2, 4, 8. Pide a los alumnos que predigan el caso de 4 variables y lo comprueben con un diagrama de árbol que se ramifica en V y F en cada nivel.

Un NO delante de una variable niega toda la expresión

Remediación: Pon ¬P∧Q\neg P \land Q y ¬(P∧Q)\neg(P \land Q) uno al lado del otro y haz que construyan las dos tablas. Las columnas finales distintas muestran que los paréntesis cambian el significado.

Si dos expresiones coinciden en la mayoría de las filas, son equivalentes

Remediación: Compara ¬(P∧Q)\neg(P \land Q) con ¬P∧¬Q\neg P \land \neg Q: coinciden en dos filas y se diferencian en dos. Insiste en que la equivalencia se comprueba en todas las filas, como dos hojas de soluciones que deben coincidir en cada pregunta.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Empezar con un NO y un Y o un O, con solo 2 variables y 4 filas
  • • Dar tablas impresas con las columnas de las variables ya rellenas
  • • Usar rotuladores de colores: verde para V, rojo para F, para que se vean los patrones

Para estudiantes de nivel:

  • • Construir tablas completas con 3 variables y dos columnas auxiliares
  • • Clasificar una lista de expresiones como tautología, contradicción o contingencia
  • • Demostrar las dos leyes de De Morgan con tablas de verdad

Para estudiantes avanzados:

  • • Encontrar una expresión que corresponda a una columna final dada (tabla de verdad al revés)
  • • Investigar por qué una tabla con 10 variables tiene 210=10242^{10} = 1024 filas y comentar por qué se usan ordenadores
  • • Demostrar la ley distributiva P∧(Q∨R)≡(P∧Q)∨(P∧R)P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)
Alineación con estándares
  • CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)

    Prestar atención a la precisión

  • CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 (MP7)

    Buscar y usar la estructura

  • CCSS.MATH.PRACTICE.MP3 (MP3)

    Construir argumentos sólidos y analizar el razonamiento de otros

Recursos de la lección
  • visualTabla de verdad interactiva

    Los alumnos rellenan la columna de resultado para Y y O y comprueban sus respuestas

  • activityDetectives de filas

    Las parejas reciben una tabla con una fila que falta y otra repetida, y deben encontrarlas y corregirlas

  • worksheet¿Equivalentes o no?

    Pares de expresiones para comparar con tablas de verdad completas, incluidas las dos leyes de De Morgan

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las variables de una expresión y muestra, en cada fila, el valor de la expresión completa.
¿Cuántas filas? Cada variable puede ser V (verdadero) o F (falso), así que cada variable nueva duplica el número de filas:
filas=2n(n=nuˊmero de variables)\text{filas} = 2^n \quad (n = \text{número de variables})
Así, 2 variables necesitan 22=42^2 = 4 filas y 3 variables necesitan 23=82^3 = 8 filas.
Construir una tabla en 4 pasos:
  1. 1.Cuenta las variables y escribe 2n2^n filas vacías.
  2. 2.Rellena las columnas de las variables en un orden fijo: la primera columna es mitad V y luego mitad F; cada columna siguiente cambia el doble de veces; la última columna alterna V, F, V, F.
  3. 3.Añade una columna auxiliar para cada parte de la expresión, empezando por la más interna (un NO sobre una sola variable, después los paréntesis).
  4. 4.Combina las columnas auxiliares para obtener la columna final.
Ejemplo: P∧¬QP \land \neg Q
PPQQ¬Q\neg QP∧¬QP \land \neg Q
VVFF
VFVV
FVFF
FFVF
La columna final lo dice todo: esta expresión es verdadera en una sola fila, cuando PP es verdadero y QQ es falso.
Cómo leer la columna final:
  • Todo V: la expresión es una tautología (siempre verdadera).
  • Todo F: es una contradicción (siempre falsa).
  • Dos expresiones con la misma columna final en todas las filas son lógicamente equivalentes.

Ejemplos resueltos

Construye la tabla de verdad de P∨¬QP \lor \neg Q.

1

Contar las filas

Hay 2 variables, PP y QQ, así que necesitamos 22=42^2 = 4 filas

2

Rellenar las columnas de las variables

PP: V, V, F, F (mitad V, mitad F). QQ: V, F, V, F (alternando) → Las 4 combinaciones aparecen una vez

3

Añadir la columna auxiliar ¬Q\neg Q

Invierte cada valor de QQ: V, F, V, F se convierte en F, V, F, V → ¬Q\neg Q: F, V, F, V

4

Combinar con O

Fila por fila: V O F = V, V O V = V, F O F = F, F O V = V → P∨¬QP \lor \neg Q: V, V, F, V

Errores comunes

Escribir muy pocas filas, por ejemplo 6 filas para 3 variables

Por qué está mal: El número de filas no es 2×n2 \times n. Cada variable duplica el número de combinaciones, así que 3 variables dan 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8 filas.

Correcto: Usa siempre 2n2^n filas: 4 para 2 variables, 8 para 3 variables, 16 para 4 variables.

Rellenar las columnas de las variables en un orden al azar

Por qué está mal: Sin un sistema es fácil escribir dos veces la misma combinación y olvidar otra. Entonces la tabla da un veredicto equivocado.

Correcto: Sigue el patrón fijo: primera columna en bloques de la mitad de las filas, cada columna siguiente en bloques la mitad de largos, última columna alternando V, F.

Tratar ¬P∧Q\neg P \land Q como si fuera ¬(P∧Q)\neg(P \land Q)

Por qué está mal: Sin paréntesis, NO afecta solo a la variable que va justo después. La versión con paréntesis invierte el resultado de todo el Y.

Correcto: Haz una columna auxiliar exactamente para lo que afecta el NO: solo ¬P\neg P, o primero P∧QP \land Q y después su negación.

Decir que dos expresiones son equivalentes tras comprobar solo algunas filas

Por qué está mal: Dos expresiones pueden coincidir en varias filas y aun así diferir en una. ¬(P∧Q)\neg(P \land Q) y ¬P∧¬Q\neg P \land \neg Q coinciden en las filas 1 y 4, pero no en las filas 2 y 3.

Correcto: Compara las columnas finales en todas y cada una de las filas. Equivalentes significa idénticas en las 2n2^n filas.

Por qué es importante

Una tabla de verdad es la forma más fiable de comprobar un enunciado lógico, porque no se deja ningún caso:
  • Programación: antes de publicar una condición como (socio O cupón) Y NO bloqueado, los testers comprueban todas las combinaciones de entradas
  • Electrónica: los ingenieros diseñan circuitos con tablas de verdad y sustituyen un circuito complicado por otro más sencillo y barato que hace lo mismo
  • Seguridad y alarmas: una alarma con 4 sensores tiene 24=162^4 = 16 estados posibles, y en cada uno de ellos debe reaccionar correctamente
  • Argumentos y debates: una tabla de verdad muestra si dos frases dicen de verdad lo mismo o solo se parecen
  • Acertijos y juegos: los acertijos lógicos se resuelven descartando las filas que no pueden ser verdaderas
Ya sabes cómo funcionan Y, O y NO por separado. Las tablas de verdad te permiten combinarlos en cualquier expresión y seguir estando seguro del resultado.

Aplicaciones del mundo real

Sistemas de alarma

Los ingenieros de seguridad enumeran cada estado de los sensores para asegurarse de que la alarma reacciona bien en todos los casos.

Ejemplo:

Una alarma con 3 sensores de puerta tiene 23=82^3 = 8 estados, desde todas las puertas cerradas hasta todas abiertas.

1Inténtalo tú mismo

Una alarma de casa tiene 4 sensores, y cada uno está encendido (V) o apagado (F). La alarma suena si al menos un sensor está encendido (O).

¿Cuántas filas tiene la tabla de verdad y en cuántas de ellas suena la alarma?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de filas como una potencia de 2:

Probar software

Los programadores prueban una condición con todas las combinaciones de entradas, que es exactamente una tabla de verdad.

Ejemplo:

Una regla de inicio de sesión (contraseña correcta Y NO bloqueado) necesita 22=42^2 = 4 casos de prueba para comprobarse por completo.

2Inténtalo tú mismo

Una tienda en línea hace un descuento si se cumple (M∨C)∧¬B(M \lor C) \land \neg B, donde MM = es socio, CC = tiene un cupón, BB = la cuenta está bloqueada.

¿En cuántas de las combinaciones de entradas recibe el cliente el descuento?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de casos de prueba como una potencia de 2:

Simplificar circuitos

Si dos circuitos tienen la misma tabla de verdad, los ingenieros pueden usar el que tiene menos piezas o piezas más baratas.

Ejemplo:

Las leyes de De Morgan permiten cambiar un NO-Y por un O de dos NO sin cambiar lo que hace el circuito.

3Inténtalo tú mismo

El circuito A calcula ¬(P∨Q)\neg(P \lor Q). El circuito B calcula ¬P∧¬Q\neg P \land \neg Q.

¿Dan los dos circuitos siempre la misma salida?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de filas como una potencia de 2:

Puntos clave

  • 1Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones de valores de verdad y el valor de la expresión en cada fila
  • 2Con nn variables la tabla tiene 2n2^n filas: 4 para 2 variables, 8 para 3 variables
  • 3Rellena las columnas de las variables en un orden fijo: primero bloques de la mitad de las filas, la última columna alternando V, F
  • 4Usa columnas auxiliares para cada parte de la expresión, la más interna primero
  • 5Todo V en la columna final significa tautología; todo F, contradicción
  • 6Dos expresiones son equivalentes cuando sus columnas finales coinciden en todas las filas

Preguntas frecuentes

¿Por qué cada variable nueva duplica las filas?

Cada fila que ya existe se puede continuar con la nueva variable en V o en F. Así, cada fila se divide en dos: 2 filas pasan a ser 4, 4 pasan a ser 8, y así sucesivamente, lo que da 2n2^n.

¿Importa el orden de las filas?

Cualquier orden es correcto siempre que cada combinación aparezca exactamente una vez. El orden estándar (que empieza con todo V) facilita comprobar y comparar tablas. Algunos libros empiezan por F; las filas son las mismas, solo que en orden inverso. Las tablas interactivas de esta lección usan el orden estándar.

¿Cómo se llama una expresión que no es ni tautología ni contradicción?

Se llama contingencia: su valor depende de las entradas. La mayoría de las expresiones cotidianas, como P∧QP \land Q, son contingencias.

¿Siempre necesito columnas auxiliares?

No son obligatorias, pero evitan la mayoría de los errores. Con práctica puedes juntar pasos pequeños de cabeza, pero con 3 variables o paréntesis dentro de paréntesis, las columnas auxiliares son la forma más segura.

Glosario

Tabla de verdad
Una tabla que muestra el valor de una expresión para cada combinación de sus variables
Expresión compuesta
Una expresión formada por variables y operadores, como (P∧Q)∨¬R(P \land Q) \lor \neg R
Columna auxiliar
Una columna extra para una parte de la expresión, que sirve para construir la columna final paso a paso
Tautología
Una expresión que es verdadera en todas las filas, como P∨¬PP \lor \neg P
Contradicción
Una expresión que es falsa en todas las filas, como P∧¬PP \land \neg P
Lógicamente equivalentes
Dos expresiones con el mismo valor en todas las filas, se escribe con ≡\equiv

Tarjeta de fórmulas

Número de filas

filas=2n\text{filas} = 2^n

$n$ es el número de variables: $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$

Tautología

P∨¬PP \lor \neg P

Siempre verdadera: la columna final es toda V

Contradicción

P∧¬PP \land \neg P

Siempre falsa: la columna final es toda F

Leyes de De Morgan

¬(P∧Q)≡¬P∨¬Q,¬(P∨Q)≡¬P∧¬Q\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q, \quad \neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q

Dos equivalencias que puedes demostrar con una tabla de verdad

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