Razonamiento inductivo

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál de estos ejemplos es un razonamiento inductivo?
1. a)Si x + 3 = 7, entonces x = 4.
2. b)Todos los cuadrados tienen 4 lados. Esta figura es un cuadrado, así que tiene 4 lados.
3. c)Todo múltiplo de 10 termina en 0. 70 es múltiplo de 10, así que 70 termina en 0.
4. d)El autobús llegó tarde todas las mañanas de esta semana, así que probablemente mañana también llegará tarde.
Respuesta: El autobús llegó tarde todas las mañanas de esta semana, así que probablemente mañana también llegará tarde.
El ejemplo del autobús usa varias observaciones concretas (las mañanas de esta semana) para predecir lo que probablemente pasará. Los otros tres parten de una regla general o de una ecuación y llegan a una conclusión que tiene que ser cierta: eso es razonamiento deductivo.
2.
Usa la conjetura "la suma de los $n$ primeros números impares es $n^2$ " para hallar $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ sin sumar uno a uno.
Respuesta: 36
Hay $6$ números impares, así que la conjetura da $6^2 = 36$ . Sumarlos lo confirma: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$ .
3.
Unos puntos se colocan en triángulos: la figura 1 tiene $1$ punto, la figura 2 tiene $3$ , la figura 3 tiene $6$ y la figura 4 tiene $10$ . Si el patrón continúa, ¿cuántos puntos tiene la figura 6?
Respuesta: 21
1. ¿Cuántos puntos se añaden de la figura 3 a la figura 4? 4
2. Se añaden $2, 3, 4$ puntos. ¿Cuántos puntos tiene la figura 5? 15
3. ¿Cuántos puntos tiene la figura 6? 21
4.
¿Qué número es un contraejemplo de la conjetura "todos los números primos son impares"?
1. a)2
2. b)9
3. c)15
4. d)7
Respuesta: 2
$2$ es primo (sus únicos divisores son $1$ y $2$ ) y es par, así que rompe la conjetura. $9$ y $15$ son impares pero no primos, y $7$ es primo e impar, así que ninguno de ellos es un contraejemplo.
5.
Conjetura: "duplicar un número siempre lo hace más grande". ¿Qué número es igual a su doble y es, por tanto, un contraejemplo?
Respuesta: 0
$2 \times 0 = 0$ , así que duplicar $0$ no lo hace más grande. Basta un contraejemplo para demostrar que la conjetura es falsa. (Los negativos también la rompen: $2 \times (-3) = -6$ , que es más pequeño.)
6.
Un girasol mide $2$ cm tras la semana 1, $5$ cm tras la semana 2, $8$ cm tras la semana 3 y $11$ cm tras la semana 4. Si el patrón continúa, ¿cuánto medirá tras la semana 8 (en cm)?
Respuesta: 23
1. ¿Cuántos centímetros crece el girasol cada semana? 3
2. ¿Cuánto mide tras la semana 5? 14
3. ¿Cuánto mide tras la semana 8? 23
7.
Conjetura: la suma de los $n$ primeros números impares es $n^2$ . Compruébala con $n = 5$ y luego úsala para predecir la suma de los $20$ primeros impares.
Respuesta: 400
1. ¿Cuánto es $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ ? 25
2. ¿ $25$ es el cuadrado de qué número? 5
3. Según la conjetura, ¿cuál es la suma de los 20 primeros impares? 400
8.
Tom suma $1 + 5$ , $9 + 3$ y $15 + 7$ , obtiene siempre un número par y concluye: "la suma de dos impares siempre es par". ¿Qué tipo de razonamiento ha usado Tom?
1. a)Razonamiento circular
2. b)Inducción matemática
3. c)Razonamiento inductivo
4. d)Razonamiento deductivo
Respuesta: Razonamiento inductivo
Tom pasó de tres casos concretos a una conclusión general: eso es razonamiento inductivo. Su conjetura resulta ser cierta, pero tres ejemplos no la demuestran. La inducción matemática, a pesar de su nombre, es un método de demostración deductivo.
9.
Un triángulo tiene $0$ diagonales, un cuadrilátero $2$ , un pentágono $5$ , un hexágono $9$ , un heptágono $14$ y un octógono $20$ . Continúa el patrón: ¿cuántas diagonales tiene un eneágono (9 lados)?
Respuesta: 27
Las diferencias aumentan de $1$ en $1$ : la siguiente es $7$ , así que $20 + 7 = 27$ . La fórmula $\frac{n(n - 3)}{2}$ coincide: $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ .
10.
Observa estos productos: $11 \times 11 = 121$ , $111 \times 111 = 12321$ , $1111 \times 1111 = 1234321$ . Formula una conjetura y predice $11111 \times 11111$ .
Respuesta: 123454321
1. ¿Cuál es la cifra central (la mayor) de $1234321$ ? 4
2. Con cinco unos, ¿cuál debería ser la cifra central? 5
3. Escribe el resultado previsto de $11111 \times 11111$ . 123454321
11.
Lena afirma: "elevar un número al cuadrado siempre lo hace más grande". Comprueba su afirmación con $\frac{1}{2}$ : ¿cuánto es $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ ? Escribe la respuesta como fracción.
Respuesta: 1/4
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , y $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ . Así que $\frac{1}{2}$ es un contraejemplo: elevar al cuadrado un número entre $0$ y $1$ lo hace más pequeño.
12.
La expresión $n^2 + n + 41$ da un número primo para cada $n$ de $0$ a $39$ . Para $n = 40$ da $1681$ . ¿Qué afirmación es correcta?
1. a)La conjetura está demostrada porque funcionó para n = 0 a 39
2. b)Un solo contraejemplo no basta para rechazar la conjetura
3. c)1681 es primo, así que la conjetura sigue en pie
4. d)1681 = 41 × 41, así que n = 40 es un contraejemplo
Respuesta: 1681 = 41 × 41, así que n = 40 es un contraejemplo
$40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41$ , que no es primo. Así que $n = 40$ es un contraejemplo, y un solo contraejemplo basta para demostrar que "siempre primo" es falso, da igual cuántos casos funcionaran antes.
13.
En una fiesta, cada persona da la mano a cada una de las demás exactamente una vez. Con $2$ personas hay $1$ apretón de manos, con $3$ personas hay $3$ y con $4$ personas hay $6$ . ¿Cuántos apretones hay con $10$ personas?
Respuesta: 45
1. Las diferencias son $2$ y $3$ . ¿Cuántos apretones hay con $5$ personas? 10
2. ¿Cuántos apretones hay con $6$ personas? 15
3. La conjetura $\frac{n(n - 1)}{2}$ encaja en todos estos casos. Úsala para $n = 10$ . 45
14.
Comprueba la conjetura " $n^2 + n + 41$ es siempre primo" paso a paso y halla el valor que la rompe en $n = 40$ .
Respuesta: 1681
1. ¿Cuánto vale $n^2 + n + 41$ para $n = 1$ ? 43
2. ¿Cuánto vale $n^2 + n + 41$ para $n = 5$ ? 71
3. ¿Cuánto vale $n^2 + n + 41$ para $n = 40$ ? 1681
4. ¿Cuánto es $1681 \div 41$ ? 41
15.
A partir de los casos $0, 2, 5, 9$ (polígonos de $3$ a $6$ lados) formulamos la conjetura de que un polígono de $n$ lados tiene $\frac{n(n - 3)}{2}$ diagonales. Úsala: ¿cuántas diagonales tiene un polígono de $12$ lados?
Respuesta: 54
$\frac{12 \times (12 - 3)}{2} = \frac{12 \times 9}{2} = \frac{108}{2} = 54$ . Esta conjetura también se ha demostrado de forma deductiva: desde cada uno de los $n$ vértices salen $n - 3$ diagonales, y cada diagonal se cuenta dos veces.
16.
Sam observa: $2^2 - 1 = 3$ , $2^3 - 1 = 7$ , $2^5 - 1 = 31$ , $2^7 - 1 = 127$ , todos primos. Formula la conjetura: "si $p$ es primo, entonces $2^p - 1$ es primo". ¿Qué valor de $p$ es un contraejemplo?
1. a)p = 11
2. b)p = 17
3. c)p = 13
4. d)p = 19
Respuesta: p = 11
$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$ , que no es primo, así que $p = 11$ rompe la conjetura. Los demás dan primos: $2^{13} - 1 = 8191$ , $2^{17} - 1 = 131071$ , $2^{19} - 1 = 524287$ . Cuatro casos a favor no bastaban.
17.
Coloca puntos en una circunferencia y une cada pareja de puntos con un segmento. Cuenta las regiones dentro del círculo: $1$ punto da $1$ región, $2$ puntos dan $2$ , $3$ puntos $4$ , $4$ puntos $8$ , $5$ puntos $16$ . Un dibujo cuidadoso con $6$ puntos, colocados de modo que nunca se corten tres segmentos en un mismo punto, muestra $31$ regiones. Comprueba la conjetura de la duplicación: ¿por cuántas regiones falla su predicción?
Respuesta: 1
1. ¿Por qué número se multiplica cada cantidad para obtener la siguiente? 2
2. ¿Qué predice la conjetura de la duplicación para $6$ puntos? 32
3. El dibujo muestra $31$ regiones. ¿Por cuántas regiones falla la predicción? 1
18.
Conjetura: "la suma de tres números enteros consecutivos es siempre $3$ veces el número del medio". Compruébala de forma inductiva y luego usa la versión deductiva para hallar $49 + 50 + 51$ .
Respuesta: 150
1. ¿Cuánto es $4 + 5 + 6$ ? 15
2. ¿Cuánto es $15 \div 3$ ? (Compáralo con el número del medio.) 5
3. Comprueba otro caso: ¿cuánto es $20 + 21 + 22$ ? 63
4. De forma deductiva: $(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$ . Úsalo para hallar $49 + 50 + 51$ . 150