Guía del profesor: Razonamiento inductivo

Aprende a formular una conjetura a partir de casos concretos, a comprobarla con casos nuevos y a refutarla con un contraejemplo.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Razonamiento lógico. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Formular una conjetura a partir de una serie de casos concretos
Comprobar una conjetura con casos nuevos y especiales como $0$ , negativos y fracciones
Encontrar un contraejemplo que muestre que una conjetura es falsa
Explicar por qué el razonamiento inductivo da conclusiones probables y no seguras
Distinguir el razonamiento inductivo del razonamiento deductivo y de la inducción matemática

Requisitos previos

• Introducción al razonamiento lógico: el razonamiento inductivo y el deductivo en una frase cada uno
• Razonamiento deductivo: premisas y una conclusión que se sigue de ellas necesariamente
• Reconocimiento de patrones: encontrar la regla de un patrón numérico
• Números primos, cuadrados perfectos y números pares e impares

Iniciadores de discusión

1. El sol ha salido todas las mañanas de tu vida. ¿Es seguro que saldrá mañana? ¿Qué tipo de razonamiento es ese?
2. ¿Cuántos ejemplos te convencerían de que una afirmación es siempre cierta? ¿Por qué podría no ser suficiente?
3. ¿Por qué basta un solo contraejemplo para rechazar una conjetura, mientras que un millón de ejemplos no la demuestra?
4. ¿Dónde usan el razonamiento inductivo los científicos, los médicos o los detectives?
5. ¿Por qué crees que a los matemáticos les sigue importando demostrar conjeturas que los ordenadores han comprobado miles de millones de veces?

Conceptos erróneos comunes

Si un patrón funciona en los primeros casos, funciona en todos

Remediación: Muestra $n^2 + n + 41$ o el patrón de las regiones del círculo $1, 2, 4, 8, 16, 31$ . Deja que el alumnado prediga el siguiente valor antes de revelar que el patrón se rompe.

Un contraejemplo es solo una excepción y la regla sigue siendo cierta

Remediación: Subraya la palabra "siempre" en la conjetura. Reescríbela incluyendo la excepción ("al duplicar un número positivo se hace más grande") para mostrar que la afirmación original era falsa.

La inducción matemática consiste en adivinar a partir de ejemplos

Remediación: Pon las dos cosas una al lado de la otra: el razonamiento inductivo termina con una conjetura, la inducción matemática termina con una demostración. Remite al alumnado a la lección Inducción matemática del tema Demostraciones.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar los casos ya calculados y pedir solo la conjetura
• Usar fichas o dibujos de puntos para las sumas de impares y los números triangulares
• Ofrecer una lista de casos especiales para probar: 0, 1, un número negativo, una fracción

Para estudiantes de nivel:

• Formular y comprobar conjeturas sobre diagonales de polígonos y apretones de manos
• Encontrar contraejemplos a afirmaciones cotidianas y numéricas
• Explicar por escrito por qué una conjetura es solo probablemente cierta

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar de forma deductiva una conjetura sencilla, como impar + impar = par o que la suma de tres números consecutivos es múltiplo de 3
• Explorar el patrón de las regiones del círculo y encontrar dónde falla la duplicación
• Investigar la conjetura de Goldbach y otros problemas abiertos famosos

Alineación con estándares

MP.3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros: formular conjeturas y construir una secuencia lógica de afirmaciones para estudiar si son ciertas
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Buscar y utilizar la estructura
MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)
Buscar y expresar regularidad en el razonamiento repetido

Recursos de la lección

visualVisualizador de sucesiones
Empieza en 1 con paso 2 para ver los números impares, luego súmalos y compara las sumas con los cuadrados perfectos
activityConjetura o contraejemplo
Los grupos escriben una conjetura en una tarjeta; los demás grupos intentan refutarla con un contraejemplo o apoyarla con casos nuevos
worksheetComprueba antes de fiarte
Afirmaciones sobre duplicar, elevar al cuadrado y n² + n + 41 para comprobar con casos especiales

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El razonamiento inductivo consiste en observar casos concretos, notar un patrón y hacer una suposición general sobre él. Esa suposición se llama conjetura.

El razonamiento inductivo funciona en cuatro pasos:

1.Observar casos concretos: $1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$
2.Formular una conjetura: la suma de los $n$ primeros números impares es $n^2$
3.Comprobarla con casos nuevos: $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$ , sigue siendo cierta
4.Demostrarla o refutarla: una demostración prueba que siempre es cierta, un solo contraejemplo prueba que es falsa

Una conjetura obtenida por razonamiento inductivo solo es probablemente cierta, nunca segura. La expresión

n^2 + n + 41

da un número primo para

n = 0, 1, 2, \ldots, 39

, cuarenta casos seguidos, y sin embargo para

n = 40

1681 = 41 \times 41

, que no es primo.

El razonamiento deductivo va en sentido contrario: parte de hechos que se sabe que son ciertos y llega a una conclusión que tiene que ser cierta. El razonamiento inductivo encuentra ideas, el razonamiento deductivo las demuestra.

Cuidado con los nombres: la inducción matemática (del tema Demostraciones) es un método de demostración deductivo, no razonamiento inductivo.

Ejemplos resueltos

Suma los primeros números impares: $1$ , $1 + 3$ , $1 + 3 + 5$ , $1 + 3 + 5 + 7$ . Formula una conjetura y úsala para predecir la suma de los $10$ primeros números impares.

Observa los casos

$1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$ , $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ → Sumas: $1, 4, 9, 16$

Busca un patrón

$1 = 1^2$ , $4 = 2^2$ , $9 = 3^2$ , $16 = 4^2$ → Cada suma es un cuadrado perfecto

Formula una conjetura

Con $n$ números impares la suma parece ser $n \times n$ → Suma de los $n$ primeros impares $= n^2$

Compruébala con un caso nuevo

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ → La conjetura supera la prueba

Úsala para predecir

$n = 10$ : $10^2 = 100$

Respuesta: Conjetura: la suma de los $n$ primeros números impares es $n^2$ . La suma de los $10$ primeros impares debería ser $100$ (y esta conjetura de hecho está demostrada).

Errores comunes

Pensar que una conjetura está demostrada porque funcionó en muchos casos

Por qué está mal: Los ejemplos solo pueden apoyar una conjetura. $n^2 + n + 41$ es primo para $40$ valores seguidos y aun así falla en $n = 40$ .

Correcto: Llámala conjetura hasta que esté demostrada. Di "probablemente cierta", no "cierta".

Creer que un solo contraejemplo no basta para rechazar una conjetura

Por qué está mal: Una conjetura afirma algo sobre todos los casos. Si falla aunque sea un caso, la afirmación "siempre" es falsa.

Correcto: Basta un contraejemplo. $2$ es primo y par, así que "todos los primos son impares" es falso.

Probar solo números enteros positivos fáciles

Por qué está mal: Muchas conjeturas fallan en $0$ , en los números negativos o en las fracciones. "Elevar al cuadrado hace más grande un número" funciona para $2, 3, 10$ pero falla para $\frac{1}{2}$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .

Correcto: Prueba a propósito casos especiales: $0$ , $1$ , negativos, fracciones y números grandes.

Confundir la inducción matemática con el razonamiento inductivo

Por qué está mal: Los nombres se parecen, pero la inducción matemática es un método de demostración deductivo con un caso base y un paso inductivo.

Correcto: El razonamiento inductivo formula una conjetura a partir de ejemplos. La inducción matemática demuestra una afirmación para todos los números naturales.

Por qué es importante

La mayoría de las ideas nuevas empiezan con un razonamiento inductivo, en matemáticas y en la vida:

El tiempo: los meteorólogos comparan muchos días pasados con nubes, viento y presión parecidos y predicen lo que probablemente pasará mañana
La ciencia: una científica repite un experimento muchas veces y enuncia una ley que encaja con todos los resultados, hasta que un resultado nuevo la contradice
Las matemáticas: teoremas famosos empezaron como conjeturas encontradas al comprobar ejemplos; algunas, como la conjetura de Goldbach, siguen sin demostrarse
La vida diaria: si el autobús ha llegado tarde todas las mañanas de esta semana, mañana sales antes de casa

Conocer sus límites es igual de importante: un solo contraejemplo basta para tumbar una conjetura, da igual cuántos ejemplos la apoyaran.

Aplicaciones del mundo real

Previsión del tiempo

Los meteorólogos comparan el día de hoy con muchos días pasados que se le parecían. Lo que solía pasar después se convierte en la previsión, y por eso las previsiones dan probabilidades, no certezas.

Ejemplo:

Si en $80$ de $100$ días pasados con estas nubes y este viento llovió al día siguiente, la previsión anuncia un $80\%$ de probabilidad de lluvia.

1Inténtalo tú mismo

La temperatura por la mañana fue de $8°C$ el lunes, $10°C$ el martes, $12°C$ el miércoles y $14°C$ el jueves.

Si el patrón continúa, ¿qué temperatura hará el sábado por la mañana?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Empieza en los $14$ grados del jueves y suma $2$ días de $2$ grados:

Experimentos científicos

Los científicos repiten mediciones, buscan un patrón y enuncian una regla. Se confía en la regla mientras ningún experimento la contradiga.

Ejemplo:

Al colgar $1$ , $2$ y $3$ pesas iguales de un muelle, se estira $3$ cm, $6$ cm y $9$ cm. La conjetura: $3$ cm de estiramiento por pesa. Con demasiadas pesas el muelle se deforma y la regla deja de cumplirse.

2Inténtalo tú mismo

Un muelle se estira $3$ cm con $1$ pesa, $6$ cm con $2$ pesas y $9$ cm con $3$ pesas.

Según la conjetura, ¿cuánto se estirará con $7$ pesas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica el estiramiento por pesa por el número de pesas:

Organizar un torneo

En un torneo de todos contra todos, cada equipo juega una vez contra cada uno de los demás. Los organizadores pueden hallar el número de partidos a partir de casos pequeños y una conjetura.

Ejemplo:

$2$ equipos juegan $1$ partido, $3$ equipos juegan $3$ y $4$ equipos juegan $6$ . La conjetura $\frac{n(n - 1)}{2}$ encaja en los tres casos, y aquí incluso se puede demostrar: cada uno de los $n$ equipos juega contra $n - 1$ rivales, y cada partido se cuenta dos veces.

3Inténtalo tú mismo

El club de ajedrez de un instituto tiene $8$ jugadores. Cada jugador juega exactamente una vez contra cada uno de los demás.

¿Cuántas partidas se jugarán?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la conjetura $\frac{n(n - 1)}{2}$ con $n = 8$ :

Puntos clave

1El razonamiento inductivo va de casos concretos a una conjetura general
2Comprueba una conjetura con casos nuevos, sobre todo con $0$ , negativos, fracciones y números grandes
3Muchos ejemplos hacen que una conjetura sea probablemente cierta, pero nunca la demuestran
4Un solo contraejemplo basta para demostrar que una conjetura es falsa
5El razonamiento deductivo demuestra una conjetura: el inductivo encuentra la idea, el deductivo la hace segura
6La inducción matemática es un método de demostración deductivo, no razonamiento inductivo

Preguntas frecuentes

Si el razonamiento inductivo puede fallar, ¿por qué lo usamos?

Porque así encontramos ideas que vale la pena demostrar. El razonamiento deductivo necesita una afirmación de partida, y esa afirmación suele surgir al notar un patrón en ejemplos.

¿Cuántos ejemplos necesito para fiarme de una conjetura?

Ningún número de ejemplos da seguridad.

n^2 + n + 41

funciona

40

veces y luego falla. Más ejemplos, y más variados, hacen una conjetura más creíble, pero solo una demostración la hace segura.

¿La inducción matemática es un tipo de razonamiento inductivo?

No. A pesar del nombre, la inducción matemática es una demostración deductiva: demuestras un caso base y demuestras que cada caso implica el siguiente, así que la afirmación es segura para todos los números naturales.

¿Hay conjeturas famosas que nadie ha demostrado todavía?

Sí. La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que

2

es la suma de dos primos, como

10 = 3 + 7

. Los ordenadores la han comprobado para todos los pares hasta

4 \times 10^{18}

, pero sigue sin demostrarse.

Glosario

Razonamiento inductivo: Razonamiento que va de casos concretos a una conclusión general probablemente cierta, pero no segura
Conjetura: Afirmación general que parece cierta por los ejemplos, pero que no se ha demostrado
Contraejemplo: Un caso en el que una afirmación es falsa; muestra que la afirmación no siempre se cumple
Razonamiento deductivo: Razonamiento que parte de hechos y reglas conocidos y llega a una conclusión que tiene que ser cierta
Demostración: Argumento deductivo que muestra que una afirmación es cierta en todos los casos

Tarjeta de fórmulas

El ciclo inductivo

\text{observar} \to \text{conjeturar} \to \text{comprobar} \to \text{demostrar o refutar}

Los ejemplos llevan a una conjetura; las pruebas y la demostración deciden si se cumple

Suma de los n primeros impares

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2

Encontrada por razonamiento inductivo a partir de ejemplos y demostrada después

Diagonales de un polígono

d = \frac{n(n - 3)}{2}

Número de diagonales de un polígono de $n$ lados

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Para estudiantes de nivel:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

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Experimentos científicos

Organizar un torneo

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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