Demostraciones en párrafo

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
En una demostración en párrafo, ¿qué conector introduce una nueva afirmación (una conclusión) y no una justificación?
1. a)ya que
2. b)por lo tanto
3. c)porque
4. d)por definición de
Respuesta: por lo tanto
Por lo tanto introduce una nueva afirmación que se deduce de lo anterior. Porque, ya que y por definición de introducen justificaciones.
2.
Una demostración en párrafo contiene la frase: *Como $a$ es impar, $a = 2m + 1$ para algún entero $m$ .* ¿Qué justificación usa esta frase?
1. a)La definición de entero impar
2. b)La propiedad de la igualdad (resta)
3. c)La conclusión de la demostración
4. d)El teorema de los ángulos opuestos por el vértice
Respuesta: La definición de entero impar
Un entero impar es, por definición, el que se puede escribir como $2m + 1$ con $m$ entero. La frase usa esa definición.
3.
$\angle 1$ y $\angle 2$ forman un par lineal, y $\angle 1 = 72^\circ$ . ¿Cuántos grados mide $\angle 2$ ?
Respuesta: 108
Como los ángulos forman un par lineal, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ , así que $\angle 2 = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
4.
Una demostración en párrafo muestra que tres enteros consecutivos $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ suman $3(n + 1)$ . Para $20 + 21 + 22$ , ¿la suma es el triple de qué número?
Respuesta: 21
Con $n = 20$ la suma es $3(n + 1) = 3 \times 21 = 63$ . Comprobación: $20 + 21 + 22 = 63$ . El número es el central, 21.
5.
Dos rectas se cortan. $\angle 1 = 58^\circ$ , $\angle 2$ está al lado y $\angle 3$ es opuesto a $\angle 1$ . Sigue la demostración del teorema de los ángulos opuestos por el vértice para hallar $\angle 3$ .
Respuesta: 58
1. $\angle 1$ y $\angle 2$ forman un par lineal. ¿Cuántos grados es $\angle 1 + \angle 2$ ? 180
2. Entonces, ¿cuántos grados mide $\angle 2$ ? 122
3. $\angle 2$ y $\angle 3$ también forman un par lineal. ¿Cuántos grados mide $\angle 3$ ? 58
6.
Sigue la demostración de que impar + impar es par con los impares $a = 7$ y $b = 11$ , escritos como $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$ .
Respuesta: 18
1. Como $7 = 2m + 1$ , ¿cuánto vale $m$ ? 3
2. Como $11 = 2n + 1$ , ¿cuánto vale $n$ ? 5
3. ¿Cuánto es $m + n + 1$ ? 9
4. Entonces, ¿cuánto vale $a + b = 2(m + n + 1)$ ? 18
7.
Falta una frase en esta demostración de que la suma de dos enteros impares es par: *Sean $a$ y $b$ impares. Entonces $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$ para enteros $m$ y $n$ . [ ? ] Como $m + n + 1$ es un entero, $a + b$ es par.* ¿Qué frase completa el hueco?
1. a)Así que $a + b = 2(m + n) + 1$ .
2. b)Por ejemplo, $3 + 5 = 8$ es par.
3. c)Sumando se obtiene $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
4. d)Por lo tanto, $a = b$ .
Respuesta: Sumando se obtiene $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ .
Solo la suma $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ une el inicio con la última frase. $2(m + n) + 1$ es una cuenta errónea, $a = b$ nunca se dio y un ejemplo no demuestra nada en general.
8.
¿Qué frase de esta demostración en párrafo es incorrecta? (1) Sea $a$ par y $b$ cualquier entero, así que $a = 2k$ para un entero $k$ . (2) Entonces $ab = 2kb$ . (3) Así que $ab = 2(kb)$ . (4) Como $kb$ es un entero, $ab$ es impar.
1. a)Frase 2
2. b)Frase 1
3. c)Frase 3
4. d)Frase 4
Respuesta: Frase 4
Las frases 1 a 3 son correctas. La frase 4 saca la conclusión equivocada: el doble de un entero es par por definición, no impar.
9.
Una demostración a dos columnas empieza con el dato $4x - 7 = 21$ y termina con $x = 7$ . En la versión en párrafo, la segunda frase dice: *Sumando 7 a ambos lados se obtiene $4x = \square$ por la propiedad de la igualdad (suma).* ¿Qué número va en el recuadro?
Respuesta: 28
$4x - 7 + 7 = 21 + 7$ , así que $4x = 28$ . Dividir entre 4 da después $x = 7$ , la última fila de la tabla.
10.
La demostración de que un par por cualquier entero es par escribe $a = 2k$ y obtiene $ab = 2(kb)$ . Para $a = 6$ y $b = 5$ , ¿cuánto vale $kb$ ?
Respuesta: 15
$6 = 2 \times 3$ , así que $k = 3$ y $kb = 3 \times 5 = 15$ . Comprobación: $ab = 30 = 2 \times 15$ .
11.
Convierte esta demostración en párrafo en una a dos columnas: *Sabemos que $2(x + 3) = 18$ . Por la propiedad distributiva, $2x + 6 = 18$ . Restando 6 a ambos lados se obtiene $2x = 12$ . Dividiendo ambos lados entre 2 se obtiene $x = 6$ .* Completa las afirmaciones.
Respuesta: 6
1. Fila 2 (propiedad distributiva): $2x + \square = 18$ . ¿Qué número va en el recuadro? 6
2. Fila 3 (propiedad de la igualdad (resta)): $2x = \square$ 12
3. Fila 4 (propiedad de la igualdad (división)): $x = \square$ 6
4. ¿Cuántas filas tiene la demostración a dos columnas, contando el dato? 4
12.
Tres enteros consecutivos suman 96. Usa el resultado de la demostración, $n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)$ , para hallarlos.
Respuesta: 31, 32, 33
1. Como $3(n + 1) = 96$ , ¿cuánto vale $n + 1$ , el entero central? 32
2. ¿Cuál es el entero menor $n$ ? 31
3. ¿Cuál es el entero mayor $n + 2$ ? 33
13.
Sigue la demostración de que un par por cualquier entero es par con $a = 14$ y $b = 9$ : escribe $a = 2k$ y luego $ab = 2(kb)$ .
Respuesta: 126
1. Como $14 = 2k$ , ¿cuánto vale $k$ ? 7
2. ¿Cuánto es $kb$ ? 63
3. Entonces, ¿cuánto vale $ab = 2(kb)$ ? 126
14.
Un alumno escribe: *Sean $a$ y $b$ impares, así que $a = 2k + 1$ y $b = 2k + 1$ . Entonces $a + b = 4k + 2 = 2(2k + 1)$ , así que $a + b$ es par.* ¿Cuál es el hueco de esta demostración?
1. a)Una demostración debe usar números, no letras
2. b)No hay ningún hueco, la demostración está completa
3. c) $4k + 2$ es siempre impar
4. d)Usar la misma $k$ para ambos números solo lo demuestra cuando $a = b$
Respuesta: Usar la misma $k$ para ambos números solo lo demuestra cuando $a = b$
Escribir los dos números con la misma $k$ obliga a que $a = b$ , así que la demostración solo cubre sumas como $7 + 7$ . El álgebra es correcta y $4k + 2$ es par. La corrección es $a = 2m + 1$ , $b = 2n + 1$ .
15.
Una demostración en párrafo muestra que cinco enteros consecutivos suman $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2)$ . Usa este resultado para calcular $21 + 22 + 23 + 24 + 25$ .
Respuesta: 115
Con $n = 21$ : $5(n + 2) = 5 \times 23 = 115$ . Comprobación: $21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 115$ .
16.
Dos ángulos opuestos por el vértice miden $(3x + 10)^\circ$ y $(5x - 30)^\circ$ . Razona como en una demostración en párrafo: como los ángulos opuestos por el vértice son iguales, $3x + 10 = 5x - 30$ . Halla $x$ , el ángulo y el ángulo de al lado.
Respuesta: 20
1. Resta $3x$ a ambos lados y suma 30. La ecuación queda $\square = 2x$ . ¿Qué número va en el recuadro? 40
2. ¿Cuánto vale $x$ ? 20
3. ¿Cuántos grados mide cada ángulo opuesto por el vértice? 70
4. El ángulo de al lado forma un par lineal con él. ¿Cuántos grados mide? 110
17.
Dos rectas se cortan. $\angle 1 = (2x + 15)^\circ$ y $\angle 2 = (4x + 45)^\circ$ forman un par lineal, y $\angle 3$ es opuesto por el vértice a $\angle 1$ . Halla $x$ , $\angle 1$ y $\angle 3$ .
Respuesta: 55
1. Como los ángulos forman un par lineal, $6x + 60 = 180$ . ¿Cuánto vale $6x$ ? 120
2. ¿Cuánto vale $x$ ? 20
3. ¿Cuántos grados mide $\angle 1$ ? 55
4. ¿Cuántos grados mide $\angle 3$ ? 55
18.
Demuestra que la suma de tres enteros pares consecutivos $2n$ , $2n + 2$ , $2n + 4$ es divisible entre 6 y después prueba el resultado con 18, 20 y 22.
Respuesta: 60
1. Suma: $2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + \square$ . ¿Qué número va en el recuadro? 6
2. Así que la suma es $6(n + 1)$ . Para 18, 20, 22 tenemos $2n = 18$ . ¿Cuánto vale $n$ ? 9
3. ¿Cuánto vale $6(n + 1)$ ? 60
4. Divide la suma entre 6. ¿Qué número entero obtienes? 10