Guía del profesor: Demostraciones en párrafo

Aprende a escribir una demostración con frases enlazadas y palabras como ya que y por lo tanto, a pasar de dos columnas a párrafo y a detectar huecos en una demostración.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Demostraciones matemáticas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Escribir una demostración en párrafo en la que cada afirmación tenga una justificación explícita
Usar conectores (ya que, porque, por lo tanto, se deduce que) para unir afirmaciones y justificaciones
Convertir una demostración a dos columnas en una demostración en párrafo y al revés
Demostrar propiedades de enteros pares, impares y consecutivos y el teorema de los ángulos opuestos por el vértice
Encontrar y corregir huecos en una demostración en párrafo dada

Requisitos previos

• Introducción a las demostraciones matemáticas: hipótesis, conclusión y por qué los ejemplos no demuestran nada
• Demostración directa: escribir los enteros pares e impares como $2k$ y $2k + 1$
• Demostraciones a dos columnas: afirmaciones, justificaciones y propiedades de la igualdad
• Par lineal: los ángulos sobre una línea recta suman $180^\circ$

Iniciadores de discusión

1. ¿Cuándo preferirías una demostración en párrafo a una a dos columnas, y por qué?
2. ¿Qué diferencia hay entre ya que y por lo tanto en una demostración?
3. ¿Por qué es un problema escribir $a = 2k + 1$ y $b = 2k + 1$ para dos números impares?
4. Si una demostración es correcta pero muy difícil de leer, ¿ha cumplido su función?

Conceptos erróneos comunes

Una demostración en párrafo es una explicación informal, así que se pueden omitir las justificaciones

Remediación: Muestra una demostración a dos columnas y su versión en párrafo una al lado de la otra y resalta cada justificación en ambas. Cada fila de la tabla tiene que aparecer en algún lugar del párrafo.

Usar la misma letra para números distintos no es un problema

Remediación: Pide al alumnado que sustituya $a = 3$ y $b = 5$ : con $a = 2k + 1$ y $b = 2k + 1$ no hay un único $k$ que funcione. La demostración solo cubre, sin decirlo, el caso $a = b$ .

Revisar una demostración es solo revisar las cuentas

Remediación: Da demostraciones con el álgebra correcta pero con un caso olvidado o una suposición sin justificar, y pide que marquen la frase exacta donde está el hueco.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar plantillas de frases: Ya que ___, sabemos que ___ por ___.
• Partir de demostraciones a dos columnas y convertirlas fila a fila
• Hacer comprobaciones numéricas como $14 + 15 + 16$ antes de la demostración general

Para estudiantes de nivel:

• Escribir en párrafo las demostraciones de impar más impar, par por cualquier entero y tres enteros consecutivos
• Volver a convertir demostraciones en párrafo en tablas a dos columnas
• Revisar las demostraciones de un compañero y marcar cada justificación que falte

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar que la suma de cinco enteros consecutivos es divisible entre 5
• Demostrar que el producto de dos enteros impares es impar
• Escribir en párrafo una demostración de que los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$ usando una paralela

Alineación con estándares

HSG-CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Demostrar teoremas sobre rectas y ángulos, entre ellos que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestar atención a la precisión

Recursos de la lección

visualTarjeta de conectores
Una tarjeta que clasifica los conectores en palabras de justificación (ya que, porque) y de conclusión (así que, por lo tanto)
activityTiras de demostración
Una demostración en párrafo cortada en frases; el alumnado las ordena y nombra la justificación de cada una
worksheetDos columnas, un párrafo
Convertir cuatro demostraciones a dos columnas en párrafos y cuatro demostraciones en párrafo en tablas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una demostración en párrafo es una demostración escrita con frases enlazadas en lugar de una tabla. Contiene exactamente la misma lógica que una demostración a dos columnas: cada afirmación sigue necesitando una justificación, pero la justificación se escribe dentro de la frase.

Una buena demostración en párrafo tiene tres partes:

1.Inicio: indica lo que se da y pon a cada objeto su propia letra (*Sean $a$ y $b$ enteros impares.*)
2.Cadena: cada frase hace una afirmación y da su justificación (una definición, una propiedad de la igualdad, un teorema anterior).
3.Final: la última frase dice exactamente lo que había que demostrar, a menudo seguida de c. q. d. o de $\blacksquare$ .

Los conectores unen las frases:

*ya que*, *porque*, *por definición de* introducen una justificación
*así que*, *por lo tanto*, *luego*, *se deduce que* introducen una nueva afirmación

\text{datos} \;\Rightarrow\; \text{afirmación + justificación} \;\Rightarrow\; \dots \;\Rightarrow\; \text{lo que había que demostrar}

Ejemplos resueltos

Una demostración a dos columnas muestra: dado $3x + 5 = 20$ , demostrar que $x = 5$ . Sus filas son (1) $3x + 5 = 20$ , dado; (2) $3x = 15$ , propiedad de la igualdad (resta); (3) $x = 5$ , propiedad de la igualdad (división). Reescríbela como demostración en párrafo.

Convierte la primera fila en una frase de inicio

La fila 1 es el dato, así que el párrafo empieza: *Sabemos que $3x + 5 = 20$ .* → Frase de inicio escrita

Une la fila 2 con su justificación

*Restando 5 a ambos lados se obtiene $3x = 15$ por la propiedad de la igualdad (resta).* → $3x = 15$

Une la fila 3 con su justificación

*Dividiendo ambos lados entre 3 se obtiene $x = 5$ por la propiedad de la igualdad (división).* → $x = 5$

Escribe la conclusión

*Por lo tanto, $x = 5$ .* Las palabras por lo tanto marcan la conclusión, la última fila de la tabla. → Demostración en párrafo terminada

Respuesta: Sabemos que $3x + 5 = 20$ . Restando 5 a ambos lados se obtiene $3x = 15$ por la propiedad de la igualdad (resta). Dividiendo ambos lados entre 3 se obtiene $x = 5$ por la propiedad de la igualdad (división). Por lo tanto, $x = 5$ . c. q. d.

Errores comunes

Escribir una cadena de ecuaciones sin palabras

Por qué está mal: Una lista como $a = 2m + 1$ , $a + b = 2(m + n + 1)$ no dice de dónde sale cada línea ni qué demuestra. El lector tiene que adivinar las justificaciones.

Correcto: Añade una justificación a cada afirmación (*Como $a$ es impar, $a = 2m + 1$ ...*) y termina con una frase que diga la conclusión.

Usar la misma letra para dos números distintos

Por qué está mal: Escribir $a = 2k + 1$ y $b = 2k + 1$ obliga a que $a = b$ , así que la demostración solo cubre sumas como $7 + 7$ .

Correcto: Dale a cada objeto su propia variable: $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$ .

Demostrar con ejemplos

Por qué está mal: $3 + 5 = 8$ y $7 + 9 = 16$ son pares, pero unos pocos ejemplos nunca pueden cubrir todos los números impares.

Correcto: Usa variables que representen todos los casos posibles. Los ejemplos solo sirven como comprobación después de la demostración.

Usar la conclusión como justificación

Por qué está mal: Escribir *Como $a + b$ es par, es igual a $2(m + n + 1)$ * supone justo lo que quieres demostrar (razonamiento circular).

Correcto: Las palabras como, ya que y porque solo pueden apuntar a hechos que ya tienes: los datos, las definiciones, las propiedades o las frases anteriores.

Por qué es importante

La mayoría de las demostraciones que leerás en libros de texto, olimpiadas y en la universidad están escritas en párrafo, así que saber leerlas y escribirlas es fundamental:

Exámenes y olimpiadas: los correctores puntúan el razonamiento, y un párrafo claro muestra cada paso
Comunicación: una demostración en párrafo se lee como una explicación que podrías dar a un compañero
Revisión: escribir la justificación junto a cada afirmación saca a la luz huecos que una simple lista de ecuaciones esconde
Más allá de las matemáticas: abogados, científicos y programadores construyen sus argumentos igual, afirmación tras afirmación y cada una con su motivo

Cuando pasas con soltura del formato a dos columnas al párrafo, puedes elegir el que mejor encaje con cada problema.

Aplicaciones del mundo real

Acertijos con el calendario

Tres días seguidos en una fila del calendario son enteros consecutivos, así que la demostración de esta lección explica un truco numérico clásico.

Ejemplo:

Elige 12, 13 y 14: la suma es $39 = 3 \times 13$ , el triple del día central.

1Inténtalo tú mismo

Una amiga elige tres fechas consecutivas, 23, 24 y 25, y tú dices la suma sin sumarlas una a una.

¿Cuál es la suma de las tres fechas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la demostración: la suma es el triple del número central.

Tijeras y carreteras que se cruzan

Donde se cruzan dos objetos rectos, como las hojas de unas tijeras, dos carreteras o las vigas de una cubierta, el teorema de los ángulos opuestos por el vértice permite medir un ángulo y conocer al instante el opuesto.

Ejemplo:

Si las hojas de unas tijeras abiertas forman un ángulo de $35^\circ$ , los mangos también forman un ángulo de $35^\circ$ .

2Inténtalo tú mismo

Dos carreteras rectas se cruzan. El ángulo entre ellas en el lado norte mide $62^\circ$ .

¿Cuánto miden el ángulo de al lado y el ángulo opuesto?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa un par lineal y después el siguiente:

Empaquetar por parejas

Tiendas y almacenes suelen empaquetar los artículos de dos en dos. La demostración de que un número par por cualquier entero es par te dice cuándo una cuadrícula de objetos se reparte en parejas sin que sobre nada.

Ejemplo:

Una bandeja con 8 filas de 7 galletas tiene $56 = 2 \times 28$ galletas, así que llenan 28 bolsas de dos.

3Inténtalo tú mismo

Un suelo está cubierto con 6 filas de 13 baldosas. Las baldosas llegaron en cajas de 2.

¿Cuántas cajas completas se usaron y cuántas baldosas sobran?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el total como $2(kb)$ con $6 = 2 \times 3$ :

Puntos clave

1Una demostración en párrafo contiene las mismas afirmaciones y justificaciones que una a dos columnas, escritas como frases enlazadas
2Empieza por los datos y da a cada objeto su propia letra, por ejemplo $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$
3Ya que, porque y por definición introducen justificaciones; así que, por lo tanto y se deduce que introducen nuevas afirmaciones
4Los pares se escriben $2k$ , los impares $2k + 1$ , y tres enteros consecutivos suman $3(n + 1)$
5Los ángulos opuestos por el vértice son iguales porque cada uno forma un par lineal ( $180^\circ$ ) con el mismo ángulo intermedio
6Para revisar una demostración, comprueba cada frase: ¿está justificada la afirmación?, ¿se supone algo que no se dio?, ¿dice la última frase el objetivo?

Preguntas frecuentes

¿Es una demostración en párrafo menos rigurosa que una a dos columnas?

No. Ambos formatos contienen la misma lógica. La demostración en párrafo es solo otra forma de presentarla: cada afirmación sigue necesitando una justificación, que se escribe dentro de la frase en lugar de en una segunda columna.

¿Qué longitud debe tener una demostración en párrafo?

La suficiente para que un compañero pueda seguir cada paso sin preguntar por qué. Para las demostraciones de esta lección, lo habitual son de 3 a 6 frases. El álgebra sencilla, como sacar factor común 2, no necesita una frase propia.

¿Puedo usar ejemplos en una demostración en párrafo?

Solo como comprobación, claramente separada de la demostración. Una frase como *por ejemplo,

3 + 5 = 8

* muestra la idea, pero la demostración en sí debe usar variables que cubran todos los casos.

¿Qué conector debo usar?

Usa ya que o porque delante de una justificación, y así que, por lo tanto o se deduce que delante de una nueva afirmación. Varíalos para que el párrafo se lea con naturalidad, pero asegúrate de que cada afirmación tenga su justificación en la misma frase.

Glosario

Demostración en párrafo: Una demostración escrita con frases enlazadas, en la que cada afirmación va acompañada de su justificación
Demostración a dos columnas: Una demostración en forma de tabla, con las afirmaciones a la izquierda y las justificaciones a la derecha
Conector: Una palabra como ya que, porque, así que o por lo tanto que muestra cómo una frase se relaciona con las anteriores
Par lineal: Dos ángulos adyacentes que juntos forman una línea recta; sus medidas suman $180^\circ$
Ángulos opuestos por el vértice: Dos ángulos enfrentados formados por dos rectas que se cortan; siempre son iguales
Enteros consecutivos: Enteros que se siguen sin saltos, como $n$ , $n + 1$ , $n + 2$

Tarjeta de fórmulas

Entero par

a = 2k

para algún entero $k$

Entero impar

a = 2k + 1

para algún entero $k$

Tres enteros consecutivos

n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1)

La suma es siempre el triple del número central

Par lineal y ángulos opuestos por el vértice

\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ, \quad \angle 1 = \angle 3

Los ángulos de un par lineal suman $180^\circ$; los opuestos por el vértice son iguales

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