Guía del profesor: Divisibilidad por 4, 6 y 8

Comprueba cualquier número entero para 4, 6 y 8 en segundos: lee las dos o tres últimas cifras, o combina los criterios del 2 y del 3, y entiende por qué funciona.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Divisibilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Comprobar si un número entero es divisible por 4 con sus dos últimas cifras, incluido el truco de las decenas
Comprobar si un número entero es divisible por 8 con sus tres últimas cifras
Comprobar la divisibilidad por 6 combinando los criterios del 2 y del 3, y explicar por qué hacen falta los dos
Justificar los criterios del 4 y del 8 con 100 = 4 × 25 y 1000 = 8 × 125
Aplicar los criterios a los años bisiestos y a problemas de envasado en grupos de 6 y de 8

Requisitos previos

• Reglas de divisibilidad: qué significan divisible y resto
• Divisibilidad por 2, 5 y 10: criterios de la última cifra
• Divisibilidad por 3 y 9: el criterio de la suma de las cifras para el 3
• Valor posicional: unidades, decenas, centenas, unidades de millar

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué el criterio del 4 mira dos cifras, el del 8 tres cifras, pero el del 2 solo una cifra?
2. ¿Cómo sería un criterio para el 16? ¿Cuántas cifras habría que mirar?
3. Todo múltiplo de 8 es múltiplo de 4. ¿Por qué no se cumple al revés?
4. ¿Por qué podemos comprobar el 6 con los criterios del 2 y del 3, pero no el 8 con los del 2 y del 4?
5. Alguien nació el 29 de febrero de 2000. ¿Cada cuánto celebra un cumpleaños de verdad?

Conceptos erróneos comunes

Un número que termina en 4 o en 8 siempre es divisible por 4 (como 34 o 38)

Remediación: Escribid los múltiplos de 4 hasta 100 y mirad cómo terminan: 04, 08, 12, 16, 20... El alumnado ve que la última cifra sola no decide y luego descubre el patrón de las decenas (decenas pares: 0, 4, 8; decenas impares: 2, 6).

Divisible por 2 y por 4 significa divisible por 8, igual que 2 y 3 dan 6

Remediación: Comprobad 12, 20 y 28. Después comparad los factores: 2 y 3 no tienen divisor común, 2 y 4 comparten el 2. Introducid la expresión primos entre sí.

Todo año divisible por 4 es bisiesto

Remediación: Mostrad 1900 en un calendario antiguo: febrero tuvo 28 días. Explicad la regla del 400 con la duración media del año, 365,2425 días.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar coloreando los múltiplos de 4 hasta 100 en una tabla del cien para ver el patrón de las dos últimas cifras
• Usar solo números de cuatro cifras y un criterio cada vez
• Dejar que comprueben cada resultado con la calculadora para que confíen en los criterios

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar pruebas del 4, del 6 y del 8 en una misma serie y pedir que nombren el criterio usado
• Resolver problemas de cifra que falta, como la menor cifra que hace 73_ divisible por 4
• Contar los años bisiestos de un siglo

Para estudiantes avanzados:

• Encontrar y justificar un criterio para el 16 (cuatro últimas cifras, porque 10.000 = 16 × 625)
• Explicar el truco de las tres mitades para el 8 y por qué bastan tres
• Investigar qué otros divisores se pueden comprobar combinando dos criterios primos entre sí

Alineación con estándares

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Encontrar todos los pares de factores de un número entero. Reconocer que un número entero es múltiplo de cada uno de sus factores.
4.NBT.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.B.6)
Hallar cocientes y restos enteros con estrategias basadas en el valor posicional.
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números enteros y usar la propiedad distributiva con factores comunes.

Recursos de la lección

visualExplicador de divisibilidad
Muestra 45.136 = 45 × 1000 + 136 y resalta las cifras que lee cada criterio del 2, del 4 y del 8
gameAdivina 2, 3 y 6
El alumnado adivina sí o no para el 2, el 3 y el 6 en cada número, luego descubre el criterio y suma puntos
activityCaza de años bisiestos
El alumnado anota los años de nacimiento de su familia y comprueba cuáles fueron bisiestos
worksheetProblemas de envasado
Pedidos de huevos, magdalenas y botellas para meter en cajas de 6 y de 8

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un criterio de divisibilidad te dice si un número es divisible por otro número (división con resto

0

) sin hacer toda la división. En esta lección aprendes los criterios del

4

, del

8

y del

6

Divisible por 4: las dos últimas cifras

Un número entero es divisible por

4

cuando el número que forman sus dos últimas cifras es divisible por

4

7316: \quad 16 = 4 \times 4 \;\Rightarrow\; 7316 \div 4 = 1829

¿Por qué?

7316 = 73 \times 100 + 16

, y

100 = 4 \times 25

. Cualquier número entero de centenas es múltiplo de

4

, así que solo las dos últimas cifras pueden dejar resto.

Truco rápido con la cifra de las decenas: si la cifra de las decenas es par, la última cifra tiene que ser

0

4

8

. Si la cifra de las decenas es impar, la última cifra tiene que ser

2

6

Divisible por 8: las tres últimas cifras

Un número entero es divisible por

8

cuando el número que forman sus tres últimas cifras es divisible por

8

, porque

1000 = 8 \times 125

45.136: \quad 136 = 8 \times 17 \;\Rightarrow\; 45.136 \div 8 = 5642

Divisible por 6: los criterios del 2 y del 3 a la vez

Un número entero es divisible por

6

cuando es divisible por

2

y por

3

: la última cifra es par y la suma de las cifras es divisible por

3

. Funciona porque

6 = 2 \times 3

2

3

son primos entre sí.

5742: \quad \text{última cifra } 2 \text{ (par)}, \quad 5 + 7 + 4 + 2 = 18 = 3 \times 6 \;\Rightarrow\; 5742 \div 6 = 957

Una cadena de criterios

\text{divisible por } 8 \;\Rightarrow\; \text{divisible por } 4 \;\Rightarrow\; \text{divisible por } 2

La cadena solo va en un sentido:

12

es divisible por

4

pero no por

8

Ejemplos resueltos

¿Es

7316

divisible por

4

Separa las dos últimas cifras

7316 = 73 \times 100 + 16

→ Dos últimas cifras:

16

Recuerda por qué las centenas no importan

100 = 4 \times 25

, así que

7300

es múltiplo de

4

→ Solo decide

16

Comprueba las dos últimas cifras

16 = 4 \times 4

→

16

es divisible por

4

Concluye y comprueba

7316 \div 4 = 1829

→ Divisible, resto

0

Respuesta: Sí. Las dos últimas cifras forman 16, que es divisible por 4, así que 7316 es divisible por 4 (7316 ÷ 4 = 1829).

Errores comunes

Mirar solo la última cifra para el $4$ : " $2134$ termina en $4$ , así que es divisible por $4$ "

Por qué está mal: El criterio del $4$ lee las dos últimas cifras, porque $10$ no es múltiplo de $4$ . Aquí $34 = 4 \times 8 + 2$ .

Correcto: Comprueba las dos últimas cifras: $34$ deja resto $2$ , así que $2134$ no es divisible por $4$ .

Mirar solo las dos últimas cifras para el $8$ : " $3124$ termina en $24 = 8 \times 3$ , así que es divisible por $8$ "

Por qué está mal: $100$ no es múltiplo de $8$ ( $100 = 8 \times 12 + 4$ ), así que la cifra de las centenas todavía cuenta. El criterio del $8$ necesita las tres últimas cifras.

Correcto: Comprueba $124$ : $124 = 8 \times 15 + 4$ . Así que $3124$ no es divisible por $8$ (resto $4$ ).

Creer que divisible por $2$ y por $4$ significa divisible por $8$

Por qué está mal: $12$ es divisible por $2$ y por $4$ , pero $12 \div 8 = 1{,}5$ . Combinar criterios solo funciona si los dos números son primos entre sí, como $2$ y $3$ para el $6$ . $2$ y $4$ tienen el factor común $2$ .

Correcto: Para el $8$ usa su propio criterio (tres últimas cifras). Para el $6$ sí puedes combinar el $2$ y el $3$ .

Comprobar solo una parte del criterio del $6$ : " $27$ es divisible por $3$ , así que es divisible por $6$ "

Por qué está mal: El $6$ necesita las dos pruebas. $27$ es impar, así que no pasa la prueba del $2$ . Igualmente, $26$ es par, pero la suma de sus cifras, $8$ , no pasa la prueba del $3$ .

Correcto: Un número es divisible por $6$ solo si es par y la suma de sus cifras es divisible por $3$ , por ejemplo $5742$ .

Por qué es importante

Estos tres criterios aparecen siempre que las cosas van en grupos de 4, 6 u 8:

Calendario: un año es bisiesto cuando es divisible por $4$ , con una regla especial para los años que cierran siglo, como $1900$ y $2000$
Envasado: los huevos y las bebidas se venden en paquetes de $6$ , los lápices de colores y las botellas en cajas de $8$ . ¿Llenan $1734$ magdalenas cajas de $6$ sin que sobre ninguna?
Informática: $1$ byte son $8$ bits, y los tamaños de memoria son múltiplos de $8$
Fracciones: si ves un factor $4$ , $6$ u $8$ en el numerador y el denominador, simplificas rápido, como $\frac{24}{32} = \frac{3}{4}$ tras dividir los dos entre $8$
Comprobar: un vistazo a las últimas cifras te dice si una cuenta como $7316 \div 4$ da exacta antes de hacerla

Las ideas detrás de los criterios (

100 = 4 \times 25

1000 = 8 \times 125

6 = 2 \times 3

) son también el primer paso hacia los criterios del 12, 15, 18 y más.

Aplicaciones del mundo real

Años bisiestos en un siglo

El calendario añade un día (el 29 de febrero) en cada año divisible por 4, pero se salta los años que cierran siglo y no son divisibles por 400.

Ejemplo:

$2024$ es bisiesto ( $24 = 4 \times 6$ ), $2000$ lo fue ( $2000 = 400 \times 5$ ), pero $1900$ no ( $1900 \div 400 = 4{,}75$ ).

1Inténtalo tú mismo

Cuentas los años bisiestos de 2001 a 2100, incluido 2100.

¿Cuántos años bisiestos hay en este periodo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de años bisiestos:

Envasar de seis en seis

Panaderías, granjas de huevos y fabricantes de bebidas envasan de 6 en 6. Los criterios del 2 y del 3 les dicen antes de contar si no sobrará nada.

Ejemplo:

$4320$ huevos llenan cajas de $6$ sin que sobre ninguno: $4320$ es par y $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ es divisible por $3$ , así que $4320 \div 6 = 720$ cajas.

2Inténtalo tú mismo

Una panadería tiene 1734 magdalenas y las mete en cajas de 6.

¿Cuántas cajas llenas puede preparar sin que sobre ninguna magdalena?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la división que da el número de cajas:

Cajas de ocho

Las botellas y las latas suelen viajar en cajas de 8. En un pedido grande, solo las tres últimas cifras deciden si las cajas salen exactas.

Ejemplo:

$1560$ lápices caben en cajas de $8$ : las tres últimas cifras $560 = 8 \times 70$ , así que $1560 \div 8 = 195$ cajas.

3Inténtalo tú mismo

Un almacén recibe 23.512 botellas para cargarlas en cajas de 8.

¿Cuántas cajas llenas se completan?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la división que da el número de cajas:

Puntos clave

1Divisible por $4$ : las dos últimas cifras forman un número divisible por $4$ , porque $100 = 4 \times 25$
2Truco para el $4$ : con decenas pares la última cifra es $0$ , $4$ u $8$ ; con decenas impares es $2$ o $6$
3Divisible por $8$ : las tres últimas cifras forman un número divisible por $8$ , porque $1000 = 8 \times 125$
4Divisible por $6$ : par y suma de las cifras divisible por $3$ (las dos pruebas deben cumplirse)
5Divisible por $8$ implica divisible por $4$ , que implica divisible por $2$ , pero no al revés ( $12$ )
6Años bisiestos: divisibles por $4$ , pero los que cierran siglo solo si son divisibles por $400$ ( $2000$ sí, $1900$ no)

Preguntas frecuentes

¿Por qué las dos últimas cifras deciden la divisibilidad por 4?

Todo número entero es un número de centenas más sus dos últimas cifras:

7316 = 73 \times 100 + 16

. Como

100 = 4 \times 25

, cualquier número entero de centenas es divisible por

4

. Por eso el resto del número al dividir entre

4

es el mismo que el de sus dos últimas cifras. La misma idea con

1000 = 8 \times 125

da el criterio del

8

Si un número es divisible por 4, ¿también es divisible por 8?

No siempre.

12

20

28

son divisibles por

4

pero no por

8

. La cadena solo baja: todo múltiplo de

8

es múltiplo de

4

(porque

8 = 4 \times 2

), y todo múltiplo de

4

es par.

¿Puedo construir otros criterios como 6 = 2 y 3?

Sí, pero solo con números primos entre sí (sin divisor común aparte del

1

6 = 2 \times 3

funciona porque

2

3

son primos entre sí.

8 = 2 \times 4

no funciona, porque

2

4

comparten el divisor

2

12

pasa las dos pruebas y aun así no es divisible por

8

. La lección Criterios de divisibilidad combinados lo muestra para

12

15

18

36

¿Por qué los años que cierran siglo tienen que ser divisibles por 400 para ser bisiestos?

Un año dura unos

365{,}2422

días. Un día extra cada

4

años da una media de

365{,}25

días, un poco de más. Si se quitan

3

días extra cada

400

años (

1700

1800

1900

, pero no

2000

), quedan

97

años bisiestos en

400

años:

365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425

días, muy cerca del valor real.

Glosario

Criterio de divisibilidad: Un atajo que dice si un número es divisible por otro sin hacer toda la división, por ejemplo las dos últimas cifras para el $4$ .
Divisible por: Un número entero es divisible por $n$ cuando al dividirlo entre $n$ el resto es $0$ : $7316$ es divisible por $4$ .
Resto: Lo que sobra después de dividir el mayor número entero de veces posible: $34 \div 4 = 8$ con resto $2$ .
Suma de las cifras: La suma de todas las cifras de un número (también llamada suma de dígitos): la suma de las cifras de $5742$ es $5 + 7 + 4 + 2 = 18$ .
Primos entre sí (coprimos): Dos números enteros son primos entre sí cuando su único divisor común es $1$ , como $2$ y $3$ . Entonces ser divisible por los dos equivale a ser divisible por su producto.
Año bisiesto: Un año de $366$ días (con 29 de febrero): divisible por $4$ , pero si cierra siglo solo cuando es divisible por $400$ .

Tarjeta de fórmulas

Divisible por 4

Dos últimas cifras divisibles por

4

Comprueba las dos últimas cifras, porque $100 = 4 \times 25$

Divisible por 8

Tres últimas cifras divisibles por

8

Comprueba las tres últimas cifras, porque $1000 = 8 \times 125$

Divisible por 6

Divisible por

2

y por

3

Última cifra par y suma de las cifras divisible por 3

Año bisiesto

Divisible por

4

; si cierra siglo: por

400

2024 y 2000 son bisiestos, 1900 y 2100 no

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Definición

Divisible por 4: las dos últimas cifras

Divisible por 8: las tres últimas cifras

Divisible por 6: los criterios del 2 y del 3 a la vez

Una cadena de criterios

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Años bisiestos en un siglo

Envasar de seis en seis

Cajas de ocho

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

Divisible por 4

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Divisible por 6

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