Hipérbolas en forma estándar

Aprende a escribir y graficar hipérbolas en forma estándar, identifica características clave como centro, vértices, focos y asíntotas.

Avanzado30 minLección
Ficha imprimible

Definición

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia absoluta de las distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

Formas estándar

Eje transverso horizontal (se abre hacia la izquierda y derecha):
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Eje transverso vertical (se abre hacia arriba y abajo):
(y−k)2a2−(x−h)2b2=1\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1
Donde:
  • (h,k)(h, k) es el centro
  • aa es la distancia del centro a cada vértice
  • bb se usa para encontrar las asíntotas
  • c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2} es la distancia del centro a cada foco
Relación clave: Para hipérbolas, c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 (a diferencia de las elipses donde c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2)

Pruébalo ahora

¿Qué ecuación representa una hipérbola con eje transverso horizontal?

Ejemplos resueltos

Encuentra el centro, vértices, focos y asíntotas de (x−2)216−(y+3)29=1\frac{(x-2)^2}{16} - \frac{(y+3)^2}{9} = 1
1

Identificar la forma

El término en xx es positivo, así que el eje transverso es horizontal (se abre izquierda/derecha) → Hipérbola horizontal
2

Encontrar el centro (h,k)(h, k)

De (x−2)2(x-2)^2 y (y−(−3))2(y-(-3))^2: h=2h = 2, k=−3k = -3 → Centro: (2,−3)(2, -3)
3

Encontrar aa y bb

a2=16a^2 = 16, entonces a=4a = 4; b2=9b^2 = 9, entonces b=3b = 3 → a=4a = 4, b=3b = 3
4

Encontrar los vértices

Los vértices están a aa unidades a la izquierda y derecha del centro: (2±4,−3)(2 \pm 4, -3) → Vértices: (−2,−3)(-2, -3) y (6,−3)(6, -3)
5

Encontrar cc para los focos

c=a2+b2=16+9=25=5c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 → c=5c = 5
6

Encontrar los focos

Los focos están a cc unidades del centro a lo largo del eje transverso: (2±5,−3)(2 \pm 5, -3) → Focos: (−3,−3)(-3, -3) y (7,−3)(7, -3)
7

Encontrar las asíntotas

Para horizontal: y−k=±ba(x−h)y - k = \pm\frac{b}{a}(x - h), entonces y+3=±34(x−2)y + 3 = \pm\frac{3}{4}(x - 2) → Asíntotas: y=34x−92y = \frac{3}{4}x - \frac{9}{2} y y=−34x−32y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}

Errores comunes

Confundir las posiciones de a2a^2 y b2b^2 en formas horizontales vs verticales

Por qué está mal: En la forma estándar, a2a^2 siempre está bajo el término POSITIVO, sea xx o yy.

Correcto: Identifica primero qué variable tiene el término positivo. Eso te indica la orientación, y a2a^2 está bajo ese término.

Usar c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2 (la fórmula de la elipse) en lugar de c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

Por qué está mal: Las hipérbolas y las elipses tienen diferentes relaciones entre aa, bb y cc.

Correcto: Para hipérbolas, c>ac > a y c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2. Para elipses, c<ac < a y c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2.

Invertir las pendientes de las asíntotas para hipérbolas verticales

Por qué está mal: La fórmula de las asíntotas cambia según la orientación.

Correcto: Horizontal: pendiente =±ba= \pm\frac{b}{a}. Vertical: pendiente =±ab= \pm\frac{a}{b}. Recuerda: aa siempre está en el denominador en la dirección donde se abre la hipérbola.

Olvidar el ±\pm al ubicar vértices y focos

Por qué está mal: Las hipérbolas tienen dos ramas, así que hay dos vértices y dos focos.

Correcto: Siempre encuentra AMBOS vértices y AMBOS focos sumando y restando la distancia apropiada desde el centro.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-10-50510-10-505xyCF₁F₂
  • c = √(a² + b²) = 5
  • b/a = 0,75
Asíntota(x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1
  • Centro: (2; -3)
  • Focos: (-3; -3), (7; -3)
  • Vértices: (-2; -3), (6; -3)
  • Asíntotas: y = 0,75x - 4,5, y = -0,75x - 1,5

Gráfica de la función

-15-10-505-10-50510xyCF₁F₂
Asíntota(y − 1)²/25 − (x + 4)²/16 = 1
  • Centro: (-4; 1)
  • Focos: (-4; -5,4), (-4; 7,4)
  • Vértices: (-4; -4), (-4; 6)
  • Asíntotas: y = 1,25x + 6, y = -1,25x - 4

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = -3 + 0.75*sqrt((x - 2)^2 - 16)

y = -3 - 0.75*sqrt((x - 2)^2 - 16)

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

15 problemas
Problema 1 de 15
Fácil
¿Qué ecuación representa una hipérbola con eje transverso horizontal?

Por qué es importante

Las hipérbolas aparecen en toda la ciencia e ingeniería:
  • Navegación: LORAN (navegación de largo alcance) usa curvas hiperbólicas de señales de radio para determinar posiciones de barcos y aviones
  • Astronomía: Algunos cometas siguen órbitas hiperbólicas, pasando por el sol una vez y sin volver jamás
  • Acústica: Las galerías de susurros y los patrones de estallido sónico siguen formas hiperbólicas
  • Física: La trayectoria de partículas alfa dispersadas por núcleos atómicos traza curvas hiperbólicas
  • Arquitectura: Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuralmente eficientes e icónicas
¡Comprender la forma estándar te permite extraer toda la información clave sobre una hipérbola directamente de su ecuación!

Aplicaciones del mundo real

Navegación LORAN

La navegación de largo alcance usa la diferencia de tiempo de señales de radio de dos estaciones. Todos los puntos con la misma diferencia de tiempo forman una hipérbola con las estaciones como focos.

Ejemplo:

Si dos estaciones LORAN están a 480 km de distancia y un barco recibe señales con una diferencia de tiempo correspondiente a 160 km, el barco está en una hipérbola con 2a=1602a = 160 km.

1Inténtalo tú mismo

Dos estaciones de radio están en (−150,0)(-150, 0) y (150,0)(150, 0). Un barco mide que está 100 unidades más cerca de una estación que de la otra.

¿Cuál es la ecuación de la hipérbola en la que está el barco?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La diferencia de distancias es 2a=1002a = 100, entonces a=50a = 50. Con c=150c = 150:

Diseño de torres de enfriamiento

Las torres de enfriamiento hiperbólicas usan la resistencia estructural de la forma. El perfil hiperbólico permite que cáscaras delgadas se sostengan a sí mismas.

Ejemplo:

Una torre de enfriamiento tiene un diámetro de cintura (punto más estrecho) de 60 metros a una altura de 50 metros, con la ecuación del hiperboloide basada en la forma estándar.

2Inténtalo tú mismo

Una sección transversal de torre de enfriamiento sigue x2900−(y−50)21600=1\frac{x^2}{900} - \frac{(y-50)^2}{1600} = 1 (en metros). Encuentra el ancho de la cintura.

¿Cuál es el diámetro en el punto más estrecho (los vértices)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Los vértices ocurren en y=50y = 50 (altura del centro). Encuentra xx en y=50y = 50:

Puntos clave

  • 1Las hipérbolas tienen dos formas estándar: horizontal (x−h)2a2−(y−k)2b2=1\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 y vertical (y−k)2a2−(x−h)2b2=1\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1
  • 2El término positivo determina la dirección del eje transverso (horizontal o vertical)
  • 3aa es la distancia del centro al vértice, y a2a^2 siempre está bajo el término positivo
  • 4Para hipérbolas, c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 donde cc es la distancia del centro al foco
  • 5Las asíntotas pasan por el centro con pendientes ±ba\pm\frac{b}{a} (horizontal) o ±ab\pm\frac{a}{b} (vertical)

Preguntas frecuentes

Mira qué variable tiene el coeficiente POSITIVO. Si x2x^2 es positivo, la hipérbola se abre izquierda/derecha (horizontal). Si y2y^2 es positivo, se abre arriba/abajo (vertical).
Mira qué variable tiene el coeficiente POSITIVO. Si x2x^2 es positivo, la hipérbola se abre izquierda/derecha (horizontal). Si y2y^2 es positivo, se abre arriba/abajo (vertical).
En una elipse, los focos están entre los vértices (c<ac < a). En una hipérbola, los focos están más allá de los vértices (c>ac > a). Las diferentes fórmulas reflejan esta relación geométrica.
Las asíntotas son líneas a las que la hipérbola se acerca pero nunca toca cuando se extiende al infinito. Ayudan a trazar la hipérbola y definen el 'rectángulo' que contiene los vértices.

Glosario

Hipérbola
El conjunto de todos los puntos donde la diferencia absoluta de las distancias a dos puntos fijos (focos) es constante
Eje transverso
El segmento de línea que conecta los dos vértices, pasando por el centro
Eje conjugado
El segmento de línea perpendicular al eje transverso en el centro, con longitud 2b2b
Asíntota
Una línea a la que la hipérbola se acerca pero nunca interseca cuando se extiende al infinito
Foco (plural: focos)
Uno de dos puntos fijos usados para definir la hipérbola; distancia del centro es c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}
Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Introducción a las secciones cónicas

Avanzado25 min

Introducción a las elipses

Avanzado25 min

Parábolas en forma de vértice

Avanzado25 min

Círculos en forma estándar

Avanzado25 min