Crecimiento y decrecimiento continuos: ficha de ejercicios con soluciones (gratis, imprimible)

1.

Una sustancia se desintegra de forma continua a una tasa del 4% anual. ¿Qué fórmula modela la cantidad

A

después de

t

años, partiendo de

P

?

a) $A = Pe^{-0{,}04t}$
b) $A = P(1{,}04)^t$
c) $A = Pe^{0{,}04t}$
d) $A = Pe^{-4t}$

Respuesta: $A = Pe^{-0{,}04t}$

El decrecimiento continuo usa $A = Pe^{-kt}$ con $k = 0{,}04$ , así que $A = Pe^{-0{,}04t}$ . $Pe^{0{,}04t}$ sería crecimiento, $P(1{,}04)^t$ es crecimiento anual y $Pe^{-4t}$ usa el porcentaje en lugar del decimal.

2.

En el modelo

A = 250e^{0{,}07t}

, ¿cuál es el valor inicial?

a) $0{,}07$
b) $e$
c) $250$
d) $267{,}5$

Respuesta: $250$

En $t = 0$ : $A = 250e^{0} = 250 \times 1 = 250$ . El número delante de $e$ es el valor inicial; $0{,}07$ es la tasa de crecimiento continua.

3.

Usa

A = Pe^{rt}

con

P = 1000

,

r = 0{,}04

y

t = 5

. Usa

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. ¿Cuánto vale

A

? Redondea a un decimal.

Respuesta: 1221.4

$rt = 0{,}04 \times 5 = 0{,}2$ , así que $A = 1000e^{0{,}2} \approx 1000 \times 1{,}2214 = 1221{,}4$ .

4.

Una población sigue

N = 300e^{0{,}12t}

, con

t

en años. ¿Cuál es la tasa de crecimiento continua en porcentaje? Escribe solo el número, sin el signo %.

Respuesta: 12

En $Pe^{rt}$ la tasa es $r = 0{,}12$ . En porcentaje: $0{,}12 \times 100 = 12\%$ . El exponente es positivo, así que la población crece.

5.

Inviertes 1500 dólares al 3% con capitalización continua durante 10 años. Usa

e^{0{,}3} \approx 1{,}3499

. ¿Cuánto tienes al final? Redondea al dólar.

Respuesta: 2025

Escribe la tasa del 3% como decimal. 0.03
¿Cuál es el exponente $rt$ ? 0.3
¿Cuánto es $A = 1500 \times 1{,}3499$ , redondeado a un número entero? 2025

6.

Un cultivo de 400 bacterias crece de forma continua al 25% por hora. ¿Cuántas bacterias hay después de 4 horas? Usa

e \approx 2{,}71828

y redondea a un número entero.

Respuesta: 1087

¿Cuál es el exponente $0{,}25 \times 4$ ? 1
¿Cuánto es $400 \times e^{1}$ , redondeado a un número entero? 1087

7.

¿Qué describe el modelo

N = 50e^{-0{,}3t}

?

a)Crecimiento continuo del 0,3%
b)Decrecimiento continuo del 30%
c)Decrecimiento continuo del 3%
d)Crecimiento continuo del 30%

Respuesta: Decrecimiento continuo del 30%

El exponente $-0{,}3t$ es negativo, así que el modelo es de decrecimiento. La tasa es $0{,}3 = 30\%$ por unidad de tiempo, partiendo de 50.

8.

Dos cuentas empiezan con la misma cantidad, la misma tasa y el mismo tiempo. Una capitaliza anualmente y la otra de forma continua. ¿Cuál termina con más dinero?

a)La anual
b)La continua
c)Terminan con la misma cantidad
d)Depende de la cantidad inicial

Respuesta: La continua

Para cualquier tasa positiva, $e^{r} > 1 + r$ , así que la capitalización continua siempre termina con algo más. Ejemplo: el 5% da un factor $1{,}05$ al año en anual, pero $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ en continua, sea cual sea la cantidad inicial.

9.

200 gramos de una sustancia radiactiva se desintegran de forma continua a una tasa del 5% anual. Usa

e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065

. ¿Cuántos gramos quedan después de 10 años? Redondea a un decimal.

Respuesta: 121.3

El exponente es $-0{,}05 \times 10 = -0{,}5$ , así que $A = 200e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}6065 = 121{,}3$ gramos.

10.

¿Cuánto debes depositar ahora, al 5% con capitalización continua, para tener 10000 dólares dentro de 10 años? Usa

e^{0{,}5} \approx 1{,}6487

y redondea al dólar.

Respuesta: 6065

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ . De $10000 = Pe^{0{,}5}$ se obtiene $P = \frac{10000}{1{,}6487} \approx 6065{,}38 \approx 6065$ dólares.

11.

Un paciente recibe 60 mg de un medicamento. El cuerpo lo elimina de forma continua a una tasa del 20% por hora. Usa

e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488

. ¿Cuántos mg se han eliminado después de 3 horas? Redondea a un decimal.

Respuesta: 27.1

¿Cuál es el exponente $-0{,}2 \times 3$ ? -0.6
¿Cuántos mg quedan? ( $60 \times 0{,}5488$ , un decimal) 32.9
¿Cuántos mg se han eliminado? (un decimal) 27.1

12.

Inviertes 3000 dólares al 4% durante 5 años. Usa

1{,}04^{5} \approx 1{,}2167

y

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Compara la capitalización anual y la continua. Redondea cada cantidad al dólar.

Respuesta: 14

Capitalización anual: ¿cuánto es $3000 \times 1{,}2167$ , redondeado al dólar? 3650
Capitalización continua: ¿cuánto es $3000 \times 1{,}2214$ , redondeado al dólar? 3664
¿Cuántos dólares más da la capitalización continua? 14

13.

¿Cuánto debes depositar hoy, al 4% con capitalización continua, para tener 6000 dólares dentro de 5 años? Usa la calculadora (

e \approx 2{,}71828

) y redondea el resultado final al dólar.

Respuesta: 4912

¿Cuál es el exponente $rt$ ? 0.2
¿Cuánto vale $e^{0{,}2}$ , redondeado a 4 decimales? 1.2214
¿Cuánto es $P = \frac{6000}{e^{0{,}2}}$ , redondeado al dólar? 4912

14.

Oferta A: 6% con capitalización anual. Oferta B: 5,85% con capitalización continua. Usa

e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602

. ¿Qué oferta da más dinero después de un año?

a)No se puede decidir sin el depósito
b)Las dos dan lo mismo
c)La oferta B
d)La oferta A

Respuesta: La oferta B

A multiplica el dinero por $1{,}06$ y B por $e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602$ . Como $1{,}0602 > 1{,}06$ , la oferta B es algo mejor (alrededor del 6,02% anual), para cualquier depósito. Una tasa continua más baja puede superar a una tasa anual más alta.

15.

Se invierten 5000 dólares al 8% durante 10 años. Usa

1{,}08^{10} \approx 2{,}158925

y

e^{0{,}8} \approx 2{,}225541

. ¿Cuántos dólares más da la capitalización continua que la anual? Redondea al dólar.

Respuesta: 333

Continua: $5000 \times 2{,}225541 \approx 11127{,}71$ . Anual: $5000 \times 2{,}158925 \approx 10794{,}63$ . Diferencia: $11127{,}71 - 10794{,}63 = 333{,}08 \approx 333$ dólares.

16.

Quieres invertir 2000 dólares durante 10 años. El banco A paga un 5% con capitalización anual y el banco B un 4,9% con capitalización continua. Usa

1{,}05^{10} \approx 1{,}6289

y

e^{0{,}49} \approx 1{,}6323

. Redondea cada cantidad al dólar. ¿Cuántos dólares más da el mejor banco?

Respuesta: 7

Banco A: ¿cuánto es $2000 \times 1{,}6289$ , redondeado al dólar? 3258
Banco B: ¿cuánto es $2000 \times 1{,}6323$ , redondeado al dólar? 3265
El banco B es mejor. ¿Por cuántos dólares? 7

17.

Una muestra de 500 gramos de una sustancia radiactiva se desintegra de forma continua al 2% anual. Usa

e^{-1} \approx 0{,}3679

. ¿Cuántos gramos quedan después de 50 años? Redondea al gramo.

Respuesta: 184

¿Cuál es el exponente $-0{,}02 \times 50$ ? -1
¿Qué porcentaje de la muestra queda? Redondea a un decimal y escríbelo sin el signo %. 36.8
¿Cuántos gramos quedan, redondeado al gramo? 184

18.

Un cultivo empieza con 1000 bacterias y crece de forma continua al 30% por hora. Usa

e^{0{,}6} \approx 1{,}8221

y

e^{1{,}2} \approx 3{,}3201

. ¿Por qué factor crece el cultivo de la hora 2 a la hora 4? Halla primero el número de bacterias después de 2 horas y después de 4 horas (número entero) y luego da el factor con dos decimales.

Respuesta: 1.82

¿Cuántas bacterias hay después de 2 horas? ( $1000e^{0{,}6}$ ) 1822
¿Cuántas bacterias hay después de 4 horas? ( $1000e^{1{,}2}$ ) 3320
¿Por qué factor crece el cultivo de la hora 2 a la hora 4? (dos decimales) 1.82