Guía del profesor: Crecimiento y decrecimiento continuos

Usa A = Pe^(rt) y A = Pe^(-kt) para modelar la capitalización continua, el crecimiento de bacterias y la desintegración radiactiva, y compara con la capitalización anual.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones exponenciales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Usar $A = Pe^{rt}$ para calcular cantidades que crecen de forma continua
Usar $A = Pe^{-kt}$ para modelar el decrecimiento continuo e interpretar el signo del exponente
Comparar la capitalización continua y la anual con la misma tasa y explicar la diferencia
Hallar el valor inicial $P$ a partir de una cantidad futura conocida
Calcular potencias de $e$ en la calculadora y redondear según se pida

Requisitos previos

• Introducción a las funciones exponenciales: la forma $f(x) = a \cdot b^x$
• Crecimiento exponencial: factor de crecimiento $1 + r$ y $A = A_0(1 + r)^t$
• La base natural e: $e \approx 2{,}71828$ como límite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
• Convertir porcentajes en decimales y la jerarquía de operaciones

Iniciadores de discusión

1. Si un banco capitaliza cada segundo en lugar de cada día, ¿ganarás mucho más dinero? ¿Por qué?
2. ¿Por qué un exponente negativo hace más pequeña una cantidad? ¿Qué significa $e^{-1}$ ?
3. ¿Qué oferta elegirías: 6% con capitalización anual o 5,85% con capitalización continua? ¿Cómo puedes decidirlo?
4. ¿Por qué crees que los científicos prefieren la base $e$ a la base 10 para el crecimiento y el decrecimiento?

Conceptos erróneos comunes

La capitalización continua hace crecer el dinero sin límite o lo duplica mucho más rápido

Remediación: Calcular uno junto a otro $1000(1{,}05)$ , $1000\left(1 + \frac{0{,}05}{12}\right)^{12}$ y $1000e^{0{,}05}$ : 1050, unos 1051,16 y unos 1051,27. La ganancia de capitalizar más a menudo es real, pero pequeña.

El signo menos en $e^{-kt}$ hace que la cantidad sea negativa

Remediación: Mostrar que $e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488$ sigue siendo positivo: un exponente negativo da un número entre 0 y 1, así que la cantidad disminuye pero nunca baja de cero.

La tasa del exponente se puede usar como porcentaje

Remediación: Pedir a los estudiantes que calculen $e^{5}$ y $e^{0{,}05}$ y preguntar cuál tiene sentido como factor de crecimiento de un año para un interés del 5%.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar el valor de $e^{rt}$ en cada problema para que los estudiantes se centren en plantear $P \times e^{rt}$
• Empezar con exponentes enteros como $e^{1}$ y $e^{2}$
• Usar una tabla de tres columnas: $P$ , $e^{rt}$ , $A$

Para estudiantes de nivel:

• Comparar capitalización anual, mensual y continua para el mismo depósito
• Resolver problemas en los que se pide el valor inicial $P$
• Elegir entre dos ofertas de ahorro calculando los factores de crecimiento de un año

Para estudiantes avanzados:

• Mostrar numéricamente que $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ se acerca a $e^{r}$ cuando $n$ crece
• Estimar el tiempo de duplicación de $Pe^{0{,}07t}$ con una tabla de valores y compararlo con la regla del 70
• Relacionar $Pe^{-kt}$ con el período de semidesintegración: hallar $k$ cuando se da el período, probando valores

Alineación con estándares

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece en un porcentaje constante por intervalo unitario
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en un contexto
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Usar las propiedades de las potencias para interpretar expresiones de funciones exponenciales y clasificarlas como crecimiento o decrecimiento
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Crear ecuaciones con una incógnita y usarlas para resolver problemas, también con funciones exponenciales

Recursos de la lección

activityLa carrera de la capitalización
Los grupos calculan 1000 dólares al 6% durante 10 años con capitalización anual, mensual, diaria y continua, y comparan
worksheet¿Crecimiento o decrecimiento?
Leer el signo del exponente en modelos como $50e^{-0{,}3t}$ y calcular valores con la calculadora
visualDos curvas
Dibujar $P(1 + r)^t$ y $Pe^{rt}$ en los mismos ejes para ver lo cerca que están y cuál queda por encima

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

En la lección sobre la base natural

e

viste que capitalizar cada vez más a menudo,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, se acerca a

e \approx 2{,}71828

. Cuando una cantidad crece de forma continua (en cada instante, no una vez al año), usamos

e

como base.

Crecimiento continuo:

A = P e^{rt}

Decrecimiento continuo:

A = P e^{-kt}

donde:

$P$ es el valor inicial (en $t = 0$ )
$r$ es la tasa de crecimiento continua y $k$ la tasa de decrecimiento continua, ambas escritas como decimales ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ es el tiempo, en la misma unidad que la tasa (años, horas, días)
$A$ es la cantidad después del tiempo $t$

El signo del exponente indica la dirección: un exponente positivo significa crecimiento, un exponente negativo significa decrecimiento. También puedes escribir el decrecimiento como

A = Pe^{rt}

con una tasa negativa, por ejemplo

r = -0{,}03

En la calculadora puedes escribir

e^{x}

directamente como e^(x), por ejemplo e^0.5

\approx 1{,}6487

. En una calculadora sencilla sin tecla

e

, escribe 2.71828^x en su lugar.

Ejemplos resueltos

Depositas 1000 dólares en una cuenta que paga un 5% de interés con capitalización continua. ¿Cuánto hay en la cuenta después de 10 años? Redondea al centavo.

Identificar los valores

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Valores identificados

Calcular el exponente $rt$

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

Calcular $e^{0{,}5}$ con la calculadora

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Multiplicar por $P$

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Respuesta: Después de 10 años la cuenta tiene unos 1648,72 dólares.

Errores comunes

Escribir la tasa como porcentaje en el exponente: $1000 e^{5 \times 10}$

Por qué está mal: La fórmula necesita la tasa en forma decimal. $e^{50}$ es un número gigantesco (unos $5 \times 10^{21}$ ), algo que no tiene sentido para una cuenta de ahorro.

Correcto: Convierte primero: $5\% = 0{,}05$ , así que $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Olvidar el signo menos en el decrecimiento: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Por qué está mal: Sin el signo menos el exponente es positivo y la cantidad crece hasta unos 145,77 gramos, más que los 80 gramos iniciales.

Correcto: El decrecimiento necesita un exponente negativo: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Multiplicar antes de elevar a la potencia: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Por qué está mal: El exponente solo afecta a $e$ , no a $P$ . Según la jerarquía de operaciones, las potencias van antes que la multiplicación.

Correcto: Calcula primero $e^{rt}$ y luego multiplica por $P$ . En la calculadora: 1000 × e^(0.05 × 10), con paréntesis alrededor del exponente.

Usar $(1 + r)^t$ cuando el problema dice capitalización continua

Por qué está mal: $(1 + r)^t$ es capitalizar una vez por periodo. La capitalización continua siempre da un poco más con la misma tasa.

Correcto: Busca las palabras continua o tasa continua: significan $Pe^{rt}$ . Una vez al año significa $P(1 + r)^t$ .

Por qué es importante

Muchos procesos no esperan al final del año para cambiar: cambian en cada momento.

Finanzas: algunas cuentas de ahorro y préstamos capitalizan los intereses de forma continua, y $Pe^{rt}$ es el límite superior de lo que puede dar cualquier forma de capitalización con la misma tasa
Biología: las bacterias de un laboratorio se dividen todo el tiempo, no según un horario, así que su crecimiento se modela con $e$
Física y medicina: los átomos radiactivos se desintegran en momentos aleatorios y un medicamento sale de la sangre poco a poco, y ambos siguen $Pe^{-kt}$
Ciencias en general: casi todas las fórmulas de crecimiento o decrecimiento en química, física y economía se escriben con base $e$

Cuando sepas leer

Pe^{rt}

, podrás comparar ofertas de bancos, predecir resultados de laboratorio y entender cómo los científicos fechan objetos antiguos.

Aplicaciones del mundo real

Banca: ahorro con capitalización continua

Los bancos comparan ofertas con la capitalización más generosa posible, que es la continua. Muestra el techo de lo que puede rendir una tasa.

Ejemplo:

Al 5% con capitalización continua, 1 dólar se convierte en $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ dólares en un año, así que la tasa anual efectiva es de un 5,13%, algo más que el 5%.

1Inténtalo tú mismo

Pones 4000 dólares en una cuenta al 4,5% con capitalización continua y los dejas 4 años.

¿Cuánto hay en la cuenta después de 4 años? Redondea al dólar.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biología: bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos modelan un cultivo de bacterias con alimento abundante mediante $N(t) = N_0 e^{rt}$, donde $r$ es la tasa de crecimiento continua por hora.

Ejemplo:

Un cultivo de 1000 bacterias que crece a una tasa continua del 30% por hora tiene $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bacterias después de 2 horas.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo de laboratorio empieza con 2000 bacterias y crece de forma continua al 40% por hora.

¿Cuántas bacterias hay después de 5 horas? Redondea a un número entero.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Medicina: trazadores radiactivos

Los hospitales usan sustancias radiactivas como el yodo 131 para diagnóstico y tratamiento. La cantidad que queda sigue $A = Pe^{-kt}$, así los médicos saben cuánto queda cada día.

Ejemplo:

El yodo 131 se desintegra de forma continua a un 8,6% diario aproximadamente. Después de 1 día, $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ , así que queda alrededor del 91,8% de la muestra.

3Inténtalo tú mismo

Un hospital recibe 100 mg de yodo 131, que se desintegra de forma continua a una tasa del 8,6% diario.

¿Cuánto queda después de 10 días? Redondea a un decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Puntos clave

1Crecimiento continuo: $A = Pe^{rt}$ ; decrecimiento continuo: $A = Pe^{-kt}$ , con las tasas en forma decimal
2Un exponente positivo significa crecimiento y un exponente negativo significa decrecimiento
3En la calculadora, escribe $e^{x}$ como e^(x) (sin tecla $e$ , como 2.71828^x) y pon paréntesis alrededor del exponente
4Con la misma tasa y el mismo tiempo, la capitalización continua siempre da un poco más que la anual
5Para hallar el valor inicial, divide: $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Despejar el tiempo $t$ requiere logaritmos, que verás en lecciones posteriores

Preguntas frecuentes

¿Por qué usamos $e$ para el crecimiento continuo?

Capitalizar

n

veces al año a una tasa

r

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Cuando

n

se hace cada vez más grande, esta expresión se acerca a

e^{rt}

. Por eso

e

es lo que se obtiene cuando el crecimiento ocurre en cada instante.

¿Cuánto más da realmente la capitalización continua?

No mucho más, pero siempre más. Al 5% durante un año, la capitalización anual multiplica por

1{,}05

y la continua por

e^{0{,}05} \approx 1{,}0513

. En periodos largos y con cantidades grandes la diferencia se nota.

¿ $A = Pe^{-kt}$ es lo mismo que $A = Pe^{rt}$ con $r$ negativo?

Sí. Algunos libros escriben el decrecimiento con una tasa positiva

k

y un signo menos, y otros usan una sola fórmula

Pe^{rt}

con

r

negativo, por ejemplo

r = -0{,}03

. Las dos dan el mismo resultado.

¿Cómo calculo cuánto tiempo se tarda en llegar a una cantidad?

Hay que despejar

t

A = Pe^{rt}

, y para eso se necesita el logaritmo natural

\ln

. Lo aprenderás en las lecciones de logaritmos. Mientras tanto puedes estimar

t

probando valores en una tabla.

Glosario

Crecimiento continuo: Aumento que ocurre en cada instante, modelado por $A = Pe^{rt}$ con $r > 0$
Decrecimiento continuo: Disminución que ocurre en cada instante, modelada por $A = Pe^{-kt}$ con $k > 0$
Capitalización continua: Intereses que se suman en cada instante; el límite de capitalizar cada vez más a menudo
Tasa continua: La tasa $r$ o $k$ del exponente, escrita como decimal ( $4\% = 0{,}04$ )
Número $e$ (de Euler): La constante $e \approx 2{,}71828$ , base natural del crecimiento y el decrecimiento continuos
Valor inicial: El valor de partida $P$ en el instante $t = 0$

Tarjeta de fórmulas

Crecimiento continuo

A = P e^{rt}

$P$ = valor inicial, $r$ = tasa de crecimiento continua (decimal), $t$ = tiempo, $A$ = cantidad después del tiempo $t$.

Decrecimiento continuo

A = P e^{-kt}

$k$ = tasa de decrecimiento continua (decimal, positiva). El signo menos hace que la cantidad disminuya.

Capitalización anual (para comparar)

A = P(1 + r)^t

Intereses que se suman una vez al año. Da un poco menos que $Pe^{rt}$ con la misma tasa.

Valor inicial

P = \frac{A}{e^{rt}}

Divide la cantidad final entre el factor de crecimiento $e^{rt}$.

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Banca: ahorro con capitalización continua

Biología: bacterias en el laboratorio

Medicina: trazadores radiactivos

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Crecimiento continuo

Decrecimiento continuo

Capitalización anual (para comparar)

Valor inicial

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