Decrecimiento exponencial

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué función muestra un decrecimiento exponencial?
1. a) $y = 40 \cdot 0{,}75^t$
2. b) $y = 40 \cdot 1{,}2^t$
3. c) $y = 40 \cdot 3^t$
4. d) $y = 40 + 0{,}75t$
Respuesta: $y = 40 \cdot 0{,}75^t$
En $y = 40 \cdot 0{,}75^t$ la base es $0{,}75$ , y $0 < 0{,}75 < 1$ , así que es decrecimiento (un $25\%$ por periodo). $1{,}2$ y $3$ son bases de crecimiento, y $40 + 0{,}75t$ es lineal, no exponencial.
2.
Una cantidad disminuye un $15\%$ cada año. ¿Cuál es el factor de decrecimiento $b$ ? Escríbelo como decimal.
Respuesta: 0.85
$b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Cada año se conserva el $85\%$ de la cantidad.
3.
¿En qué porcentaje disminuye $f(t) = 500 \cdot 0{,}6^t$ en cada periodo?
1. a)6%
2. b)60%
3. c)0,4%
4. d)40%
Respuesta: 40%
$r = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 = 40\%$ . La función conserva el $60\%$ y pierde el $40\%$ en cada periodo.
4.
La función 1 es $y = 150 \cdot 1{,}04^t$ y la función 2 es $y = 150 \cdot 0{,}96^t$ . ¿Cuál muestra decrecimiento?
Respuesta: 2
1. ¿Cuál es la base de la función 1? 1.04
2. ¿Cuál es la base de la función 2? 0.96
3. ¿En qué porcentaje disminuye la función 2 en cada periodo? Escribe solo el número. 4
4. ¿Qué función muestra decrecimiento? Escribe 1 o 2. 2
5.
Un modelo exponencial tiene factor de decrecimiento $0{,}93$ . ¿Cuál es la tasa de decrecimiento en porcentaje? Escribe solo el número (por ejemplo, 5 para el $5\%$ ).
Respuesta: 7
$r = 1 - 0{,}93 = 0{,}07 = 7\%$ . La cantidad pierde un $7\%$ por periodo.
6.
Un portátil cuesta 1000 dólares y pierde el $20\%$ de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 2 años (en dólares)?
Respuesta: 640
1. ¿Cuál es el factor de decrecimiento? 0.8
2. Calcula $0{,}8^2$ 0.64
3. Multiplica: $1000 \cdot 0{,}64$ 640
7.
Un móvil cuesta 600 dólares y pierde el $20\%$ de su valor cada año. ¿Qué expresión da su valor después de $t$ años?
1. a) $600 \cdot 1{,}2^t$
2. b) $600 \cdot 0{,}8^t$
3. c) $600 - 0{,}2t$
4. d) $600 \cdot 0{,}2^t$
Respuesta: $600 \cdot 0{,}8^t$
Perder el $20\%$ significa conservar el $80\%$ , así que el valor es $600 \cdot 0{,}8^t$ . $0{,}2^t$ conservaría solo el $20\%$ , $1{,}2^t$ es crecimiento y $600 - 0{,}2t$ es lineal.
8.
Analiza el modelo $f(t) = 2000 \cdot 0{,}7^t$ y calcula $f(2)$ .
Respuesta: 980
1. ¿Cuál es el valor inicial? 2000
2. ¿Cuál es el factor de decrecimiento? 0.7
3. ¿Cuál es la tasa de decrecimiento en porcentaje? Escribe solo el número. 30
4. Calcula $f(2)$ 980
9.
Una cantidad pierde el $20\%$ en cada periodo. ¿Qué porcentaje de la cantidad inicial queda después de 4 periodos? Escribe solo el número, con dos decimales.
Respuesta: 40.96
$0{,}8^4 = 0{,}4096$ , así que queda el $40{,}96\%$ de la cantidad inicial, sea cual sea.
10.
Un coche se compra por 20000 dólares y pierde el $10\%$ de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 3 años (en dólares)?
Respuesta: 14580
1. ¿Cuál es el factor de decrecimiento? 0.9
2. Calcula $0{,}9^3$ 0.729
3. Multiplica: $20000 \cdot 0{,}729$ 14580
11.
¿Qué afirmación sobre $y = 80 \cdot 0{,}75^t$ NO es verdadera?
1. a)El valor inicial es 80
2. b)Llega a 0 después de 4 periodos
3. c)Después de un periodo, y = 60
4. d)Disminuye un 25% en cada periodo
Respuesta: Llega a 0 después de 4 periodos
El valor inicial es $80$ , la tasa es $1 - 0{,}75 = 25\%$ , y $80 \cdot 0{,}75 = 60$ . Pero $80 \cdot 0{,}75^4 \approx 25{,}31$ , no $0$ : un decrecimiento exponencial nunca llega a cero.
12.
Una paciente toma 500 mg de un medicamento. El cuerpo elimina el $10\%$ de la cantidad que queda cada hora. ¿Cuántos miligramos quedan después de 5 horas? Redondea al miligramo entero.
Respuesta: 295
1. ¿Cuál es el factor de decrecimiento? 0.9
2. Calcula $0{,}9^5$ , redondeado a cuatro decimales 0.5905
3. Multiplica por 500 y redondea al miligramo entero 295
13.
Una máquina vale 10000 dólares. Modelo A: pierde 1500 dólares al año. Modelo B: pierde el $15\%$ al año. ¿Qué modelo da el valor más alto después de 5 años?
1. a)Modelo B (unos 4437)
2. b)Los dos dan el mismo valor
3. c)Modelo A (2500)
4. d)Los dos valen 0
Respuesta: Modelo B (unos 4437)
Modelo A: $10000 - 7500 = 2500$ . Modelo B: $10000 \cdot 0{,}85^5 \approx 10000 \cdot 0{,}4437 \approx 4437$ . El modelo exponencial es mayor, porque sus pérdidas anuales se reducen.
14.
Un café está a $85°C$ en una habitación a $20°C$ . En un modelo sencillo, la diferencia entre el café y la habitación se reduce un $10\%$ cada minuto. ¿Qué temperatura tiene el café después de 3 minutos, en °C? Redondea a una cifra decimal.
Respuesta: 67.4
Diferencia: $65 \cdot 0{,}9^3 = 65 \cdot 0{,}729 = 47{,}385$ . Temperatura: $20 + 47{,}385 = 67{,}385 \approx 67{,}4°C$ .
15.
Una máquina cuesta 12000 dólares. Plan A: pierde 1500 dólares al año. Plan B: pierde el $20\%$ al año. Después de 4 años, ¿cuántos dólares más vale con el plan A que con el plan B?
Respuesta: 1084.8
1. ¿Cuál es el valor con el plan A después de 4 años? 6000
2. Calcula $0{,}8^4$ 0.4096
3. ¿Cuál es el valor con el plan B después de 4 años? 4915.2
4. ¿Cuánto más alto es el plan A? 1084.8
16.
El valor de una bicicleta baja de 400 a 324 en 2 años, perdiendo el mismo porcentaje cada año. ¿Cuál es la disminución porcentual anual? Escribe solo el número.
Respuesta: 10
$b^2 = \frac{324}{400} = 0{,}81$ , así que $b = 0{,}9$ . La tasa de decrecimiento es $1 - 0{,}9 = 0{,}1 = 10\%$ . Comprobación: $400 \to 360 \to 324$ .
17.
Una moto cuesta 1000 dólares y pierde el $20\%$ de su valor cada año. ¿Después de cuántos años completos vale por primera vez menos de 450 dólares?
Respuesta: 4
1. ¿Valor después de 1 año? 800
2. ¿Valor después de 2 años? 640
3. ¿Valor después de 3 años? 512
4. ¿Valor después de 4 años? 409.6
5. ¿Después de cuántos años completos el valor baja por primera vez de 450? 4
18.
Un paciente recibe 800 mg de un medicamento. Cada hora el cuerpo elimina el $40\%$ de la cantidad que todavía queda. ¿Cuántos miligramos quedan después de 3 horas y qué porcentaje de la dosis es?
Respuesta: 172.8
1. ¿Cuál es el factor de decrecimiento? 0.6
2. Calcula $0{,}6^3$ 0.216
3. ¿Cuántos miligramos quedan? 172.8
4. ¿Qué porcentaje de la dosis queda? Escribe solo el número. 21.6