Guía del profesor: Decrecimiento exponencial

Aprende cómo una cantidad disminuye en un porcentaje constante, usa la fórmula y = a(1 - r)^t y resuelve problemas de depreciación, medicamentos y enfriamiento.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones exponenciales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Escribir modelos de decrecimiento exponencial de la forma $y = a(1 - r)^t$ a partir de una disminución porcentual
Distinguir la tasa de decrecimiento del factor de decrecimiento y pasar de uno a otro
Reconocer crecimiento o decrecimiento a partir de la base de una función exponencial
Calcular valores y el porcentaje restante después de $n$ periodos en contextos de depreciación, medicamentos y enfriamiento
Comparar la disminución lineal y la exponencial y explicar por qué sus gráficas son distintas

Requisitos previos

• Introducción a las funciones exponenciales: la forma $f(x) = a \cdot b^x$
• Crecimiento exponencial: factor de crecimiento $1 + r$ y aumento porcentual
• Pasar porcentajes a números decimales
• Calcular potencias con la calculadora

Iniciadores de discusión

1. Una tienda dice que un móvil 'pierde el 20 % cada año'. ¿No valdrá nada después de 5 años? ¿Por qué?
2. ¿Por qué un coche nuevo pierde más dinero en su primer año que en el quinto?
3. ¿Preferirías que una deuda bajara 100 dólares al mes o un 10 % al mes? ¿Depende la respuesta del tamaño de la deuda?
4. ¿Por qué un médico podría decirte que tomes un medicamento cada 8 horas en vez de una vez al día?
5. ¿Se te ocurre algo que decrezca de forma exponencial pero nunca llegue del todo a cero?

Conceptos erróneos comunes

Una disminución del 15 % significa que la base es 0,15

Remediación: Pregunta '¿qué parte queda?' después de un periodo. Con 100 unidades y una pérdida del 15 %, quedan 85, así que el multiplicador es 0,85. Haz que los alumnos digan 'pierdo 15, conservo 85' antes de escribir ninguna fórmula.

Una disminución porcentual quita la misma cantidad en cada periodo

Remediación: Construye dos tablas lado a lado desde 1000: restar 200 cada año o multiplicar por 0,8 cada año. Los alumnos ven que las pérdidas porcentuales se reducen (200, 160, 128...) mientras que las lineales se mantienen.

El decrecimiento exponencial termina en cero después de suficientes periodos

Remediación: Usa el visualizador de sucesiones con razón 0,8 y muchos términos. Cada barra es el 80 % de la anterior, así que nunca puede ser cero. Relaciónalo con la asíntota horizontal $y = 0$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con factores que den números sencillos (0,5; 0,8; 0,9) y tablas cortas antes de usar la fórmula
• Usar la frase 'pierdo r, conservo 1 - r' y una tabla de dos columnas (perdido, conservado) en cada problema
• Permitir una calculadora con expresiones preparadas como 1000 × 0,8^3

Para estudiantes de nivel:

• Modelar problemas de depreciación, medicamentos y enfriamiento con $y = a(1 - r)^t$
• Calcular el porcentaje restante después de $n$ periodos
• Comparar una disminución lineal y una exponencial y averiguar cuándo una supera a la otra

Para estudiantes avanzados:

• Hallar la tasa de decrecimiento a partir de dos datos usando raíces, por ejemplo $b^2 = 0{,}81$
• Investigar cuánto se tarda en perder la mitad del valor (anticipo del período de semidesintegración)
• Investigar cómo se relaciona el modelo sencillo de enfriamiento con la ley de enfriamiento de Newton

Alineación con estándares

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece en un porcentaje constante por unidad de intervalo
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Usar las propiedades de las potencias para interpretar expresiones de funciones exponenciales y clasificarlas como crecimiento o decrecimiento exponencial
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en un contexto

Recursos de la lección

visualBarras de decrecimiento geométrico
Visualizador de sucesiones con primer término 100 y razón 0,8: los alumnos ven cómo cada barra se reduce un 20 % y leen el porcentaje restante
activityDepreciación en el concesionario
Los grupos reciben precios de coches y tasas de pérdida anuales, construyen tablas de decrecimiento y deciden qué coche conserva mejor su valor
activity¿Lineal o exponencial?
Clasificación de tarjetas con tablas y descripciones en disminución de cantidad fija o de porcentaje fijo
worksheetEl decrecimiento en la vida diaria
Problemas de depreciación, medicamentos y enfriamiento con el redondeo indicado

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Hay decrecimiento exponencial cuando una cantidad disminuye en el mismo porcentaje en cada periodo de igual duración. Lo que se pierde es cada vez menos, porque cada nueva pérdida es un porcentaje de lo que queda.

y = a(1 - r)^t

Donde:

$a$ = valor inicial (la cantidad en $t = 0$ )
$r$ = tasa de decrecimiento, el porcentaje que se pierde en cada periodo, escrito como decimal ( $15\% \to r = 0{,}15$ )
$1 - r$ = factor de decrecimiento $b$ , la parte que se conserva en cada periodo ( $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ )
$t$ = número de periodos

En la forma general

y = a \cdot b^t

la base indica el tipo:

$b > 1$ : crecimiento exponencial
$0 < b < 1$ : decrecimiento exponencial

Después de

t

periodos, la fracción que queda es

(1 - r)^t

, sin importar cuál sea la cantidad inicial.

Ejemplos resueltos

Para cada función, decide si muestra crecimiento o decrecimiento y halla el cambio porcentual por periodo: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ y $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$ .

Mira la base de $f$

$b = 0{,}92$ y $0 < 0{,}92 < 1$ → $f$ muestra decrecimiento

Halla la tasa de decrecimiento de $f$

$r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ → $f$ pierde un $8\%$ por periodo

Mira la base de $g$

$b = 1{,}03 > 1$ , así que $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ → $g$ crece un $3\%$ por periodo

Lee los valores iniciales

$f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ y $g(0) = 50$ → Valores iniciales $300$ y $50$

Respuesta: $f$ es un decrecimiento exponencial del $8\%$ por periodo (empieza en $300$ ); $g$ es un crecimiento exponencial del $3\%$ por periodo (empieza en $50$ ).

Errores comunes

Usar la tasa de decrecimiento como base: escribir $25000 \cdot 0{,}15^t$ para una pérdida del $15\%$

Por qué está mal: $0{,}15^t$ conserva solo el $15\%$ cada año, es decir, una pérdida del $85\%$ anual. La base debe ser la parte que se conserva.

Correcto: Factor de decrecimiento $= 1 - r$ . Una disminución del $15\%$ da $25000 \cdot 0{,}85^t$ .

Restar la misma cantidad en cada periodo: 'el 20 % de 1000 es 200, así que después de 5 años el valor es 0'

Por qué está mal: Eso es pensamiento lineal. La pérdida de cada año es el $20\%$ del valor actual, no del valor original, así que las pérdidas se reducen.

Correcto: Multiplica por $0{,}8$ cada año: $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$ . Después de 5 años quedan $327{,}68$ .

Calcular $a \cdot 1 - r^t$ en lugar de $a(1 - r)^t$

Por qué está mal: El exponente afecta a todo el factor de decrecimiento. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$ , pero $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$ .

Correcto: Calcula primero $1 - r$ , después elévalo a $t$ y al final multiplica por $a$ .

Creer que una cantidad que decrece acaba valiendo exactamente cero

Por qué está mal: Al multiplicar un número positivo por un factor como $0{,}8$ siempre se obtiene un número positivo.

Correcto: En el modelo $y = a(1 - r)^t$ los valores se acercan cada vez más a $0$ (asíntota horizontal $y = 0$ ) pero nunca lo alcanzan.

Por qué es importante

El decrecimiento exponencial describe muchas cosas que disminuyen con el tiempo:

Depreciación: un coche o un móvil nuevo pierde cada año un porcentaje de su valor, así que pierde más dinero al principio
Medicamentos: el cuerpo elimina cada hora un porcentaje fijo de un fármaco, y eso decide cada cuánto hace falta una dosis
Enfriamiento: una bebida caliente se enfría rápido al principio y luego cada vez más despacio al acercarse a la temperatura ambiente
Luz y sonido: cada metro de agua o de pared absorbe un porcentaje de la luz o del sonido que lo atraviesa

Conocer la fórmula del decrecimiento te permite predecir valores, comparar ofertas (una cantidad fija menos al año o un porcentaje menos) y entender por qué algunas cosas nunca llegan del todo a cero.

Aplicaciones del mundo real

Depreciación de móviles y portátiles

Los aparatos electrónicos pierden cada año un porcentaje de su valor. Las webs de segunda mano y las aseguradoras usan modelos de decrecimiento para estimar cuánto vale un aparato usado.

Ejemplo:

Un portátil de 1000 dólares que pierde el $30\%$ al año vale $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ dólares después de 2 años.

1Inténtalo tú mismo

Un móvil nuevo cuesta 1200 dólares y pierde el $25\%$ de su valor cada año.

¿Cuánto vale el móvil después de 2 años?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la fórmula del decrecimiento: $1200 \cdot 0{,}75^2$

Dosis de medicamentos

Los médicos y farmacéuticos usan el decrecimiento exponencial para saber cuánto fármaco queda en el cuerpo y cuándo toca la siguiente dosis.

Ejemplo:

Si el cuerpo elimina el $15\%$ de un fármaco cada hora, después de 4 horas $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ , así que queda aproximadamente el $52{,}2\%$ de la dosis.

2Inténtalo tú mismo

Un paciente toma 200 mg de un medicamento. El cuerpo elimina el $30\%$ de la cantidad que queda cada hora.

¿Cuántos miligramos quedan después de 4 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: $200 \cdot 0{,}7^4$

Bebidas que se enfrían

Los ingenieros y los técnicos de alimentos modelan el enfriamiento con un decrecimiento: la diferencia de temperatura entre un objeto y la habitación se reduce un porcentaje cada minuto.

Ejemplo:

Café a $90°C$ en una habitación a $20°C$ : si la diferencia de $70$ se reduce un $10\%$ por minuto, después de 1 minuto es $63$ , así que el café está a $83°C$ .

3Inténtalo tú mismo

Una taza de té está a $80°C$ en una habitación a $20°C$ . En un modelo sencillo la diferencia de temperatura se reduce un $20\%$ cada minuto.

¿Qué temperatura tiene el té después de 3 minutos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: $20 + 60 \cdot 0{,}8^3$

Puntos clave

1El decrecimiento exponencial sigue $y = a(1 - r)^t$ : la cantidad pierde el mismo porcentaje en cada periodo
2La tasa de decrecimiento $r$ es el porcentaje perdido; el factor de decrecimiento $1 - r$ es la parte que se conserva (una disminución del $15\%$ da $0{,}85$ )
3En $y = a \cdot b^t$ , una base $0 < b < 1$ indica decrecimiento y $b > 1$ indica crecimiento
4Después de $t$ periodos la fracción que queda es $(1 - r)^t$ ; multiplica por $100\%$ para obtener el porcentaje restante
5La disminución lineal resta siempre la misma cantidad y puede llegar a cero; la exponencial pierde cada vez menos y solo se acerca a cero
6Redondea solo al final e indica el redondeo (al centavo, a una cifra decimal)

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre la tasa de decrecimiento y el factor de decrecimiento?

La tasa de decrecimiento

r

es lo que pierdes en cada periodo (por ejemplo

15\% = 0{,}15

). El factor de decrecimiento es lo que conservas:

1 - r = 0{,}85

. El factor de decrecimiento es el número que va en la base de la potencia.

¿Cómo distingo el crecimiento del decrecimiento solo mirando la fórmula?

Mira la base

b

y = a \cdot b^t

. Si

b > 1

, la cantidad crece (por ejemplo,

1{,}04

significa

+4\%

). Si

0 < b < 1

, decrece (por ejemplo,

0{,}96

significa

-4\%

¿Una cantidad que decrece llega alguna vez a cero?

En el modelo, no. En cada periodo se conserva una fracción fija de un número positivo, así que el resultado sigue siendo positivo. La gráfica se acerca cada vez más a la recta

y = 0

, su asíntota horizontal. En la vida real se deja de contar cuando la cantidad es demasiado pequeña para importar.

¿Qué es el período de semidesintegración?

El período de semidesintegración (o vida media) es el tiempo que tarda en quedar exactamente la mitad de la cantidad. Es un caso especial del decrecimiento exponencial con su propia fórmula y se estudia en la lección Problemas de período de semidesintegración.

Glosario

Decrecimiento exponencial: Una disminución en el mismo porcentaje en periodos iguales, modelada por $y = a(1 - r)^t$
Tasa de decrecimiento: El porcentaje que se pierde por periodo, escrito como decimal $r$ (por ejemplo $0{,}15$ para el $15\%$ )
Factor de decrecimiento: La parte que se conserva en cada periodo, $b = 1 - r$ , con $0 < b < 1$
Valor inicial: La cantidad $a$ en el instante $t = 0$
Depreciación: La pérdida de valor de un objeto, como un coche o un móvil, con el paso del tiempo
Asíntota horizontal: La recta $y = 0$ a la que se acerca la gráfica de un decrecimiento sin llegar nunca a tocarla

Tarjeta de fórmulas

Fórmula del decrecimiento exponencial

y = a(1 - r)^t

$a$ = valor inicial, $r$ = tasa de decrecimiento en forma decimal, $1 - r$ = factor de decrecimiento, $t$ = número de periodos.

Factor de decrecimiento a partir del porcentaje

b = 1 - r

Una disminución del $p\%$ por periodo da $b = 1 - \frac{p}{100}$. Ejemplo: $15\% \to 0{,}85$.

Porcentaje restante

(1 - r)^t \times 100\%

El porcentaje de la cantidad inicial que queda después de $t$ periodos, sea cual sea la cantidad inicial.

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Depreciación de móviles y portátiles

Dosis de medicamentos

Bebidas que se enfrían

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Fórmula del decrecimiento exponencial

Factor de decrecimiento a partir del porcentaje

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