Volver a la guía del profesor Ver todas las fichas
Ocultar soluciones

Asigna este tema en línea, gratis

Un cuestionario de clase de 10 preguntas: los alumnos responden en el móvil con corrección inmediata y tú ves cada resultado en directo. Sin cuentas de alumno.

Quien se atasque puede practicar con ayuda paso a paso: abrir la lección interactiva

Mathorio

Soluciones

Problemas de aplicación de funciones exponenciales

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

  1. 1.
    Un móvil pierde el 15% de su valor cada año. ¿Qué factor bb usas en el modelo V(t)=a⋅btV(t) = a \cdot b^t?
    1. a)0,15
    2. b)1,15
    3. c)0,85
    4. d)85

    Respuesta: 0,85

    Decrecimiento: b=1−r=1−0,15=0,85b = 1 - r = 1 - 0{,}15 = 0{,}85. Cada año se conserva el 85% del valor. 0,150{,}15 es la tasa, no el factor, y 1,151{,}15 sería crecimiento.

  2. 2.
    El número de peces de un lago se modeliza con P(t)=1200⋅1,04tP(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t, con tt en años. ¿Qué te indica el número 1,041{,}04?
    1. a)La población crece un 4% cada año
    2. b)La población crece un 104% cada año
    3. c)La población crece en 4 peces cada año
    4. d)Al principio hay 1,04 peces

    Respuesta: La población crece un 4% cada año

    1,04=1+0,041{,}04 = 1 + 0{,}04, así que la población se multiplica por 1,041{,}04 cada año: crece un 4% al año. El valor inicial es a=1200a = 1200 peces.

  3. 3.
    Cada lista muestra los valores de una cantidad para t=0,1,2,3t = 0, 1, 2, 3. ¿Qué lista sigue un modelo exponencial?
    1. a)5; 10; 15; 20
    2. b)5; 8; 11; 14
    3. c)5; 10; 20; 40
    4. d)5; 9; 13; 17

    Respuesta: 5; 10; 20; 40

    En 5;10;20;405; 10; 20; 40 cada valor es 22 veces el anterior (cociente constante), así que es exponencial. Las otras listas suman siempre la misma cantidad (+3+3, +5+5, +4+4), así que son lineales.

  4. 4.
    Inviertes 2000 dólares al 6% de interés anual con capitalización trimestral. ¿Qué modelo da la cantidad AA después de tt años?
    1. a)A=2000⋅1,015tA = 2000 \cdot 1{,}015^{t}
    2. b)A=2000⋅1,064tA = 2000 \cdot 1{,}06^{4t}
    3. c)A=2000⋅1,24tA = 2000 \cdot 1{,}24^{t}
    4. d)A=2000⋅1,0154tA = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}

    Respuesta: A=2000⋅1,0154tA = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}

    A=2000(1+0,064)4t=2000⋅1,0154tA = 2000\left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^{4t} = 2000 \cdot 1{,}015^{4t}. La primera opción aplica la tasa anual en cada trimestre, la tercera olvida que hay 4t4t trimestres, y 1,241{,}24 no es un factor de esta cuenta.

  5. 5.
    Un coche comprado por 20000 dólares pierde el 10% de su valor cada año. Cuatro alumnos calcularon su valor después de 4 años. ¿Qué resultado es correcto?
    1. a)12000
    2. b)29282
    3. c)2
    4. d)13122

    Respuesta: 13122

    20000⋅0,94=20000⋅0,6561=1312220000 \cdot 0{,}9^4 = 20000 \cdot 0{,}6561 = 13122. 2928229282 usa 1,11{,}1 (crecimiento), 1200012000 resta 20002000 cada año (lineal), y 22 usa el factor 0,10{,}1.

  6. 6.
    Un vídeo tiene 500 visualizaciones y el número de visualizaciones se duplica cada día. ¿Cuántas tiene después de 6 días?

    Respuesta: 32000

    V(6)=500⋅26=500⋅64=32000V(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32000 visualizaciones.

  7. 7.
    Una sustancia tiene un período de semidesintegración de 5 horas. Una muestra empieza con 80 mg. ¿Cuántos mg quedan después de 20 horas?

    Respuesta: 5

    205=4\frac{20}{5} = 4 períodos de semidesintegración: 80⋅(12)4=8016=580 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{80}{16} = 5 mg (80→40→20→10→580 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5).

  8. 8.
    Ingresas 1000 dólares al 8% de interés anual con capitalización trimestral. ¿Cuánto hay en la cuenta después de 5 años? Redondea al céntimo.

    Respuesta: 1485.95

    A=1000⋅1,0220≈1000⋅1,485947≈1485,95A = 1000 \cdot 1{,}02^{20} \approx 1000 \cdot 1{,}485947 \approx 1485{,}95 dólares.

  9. 9.
    Se invierten 1500 dólares al 5% anual con capitalización continua. Usa e0,5≈1,6487e^{0{,}5} \approx 1{,}6487. ¿Cuánto vale la inversión después de 10 años? Redondea al dólar.

    Respuesta: 2473

    A=1500⋅e0,5≈1500⋅1,6487=2473,05A = 1500 \cdot e^{0{,}5} \approx 1500 \cdot 1{,}6487 = 2473{,}05, así que unos 2473 dólares.

  10. 10.
    Una tabla da y=80y = 80 para t=0t = 0, y=120y = 120 para t=1t = 1, y=180y = 180 para t=2t = 2 e y=270y = 270 para t=3t = 3. Decide si es lineal o exponencial y halla el valor exacto de yy para t=5t = 5.

    Respuesta: 607.5

    Las diferencias 40,60,9040, 60, 90 no son constantes, pero todos los cocientes valen 1,51{,}5: exponencial, y=80⋅1,5ty = 80 \cdot 1{,}5^t. Entonces y(5)=80⋅1,55=80⋅7,59375=607,5y(5) = 80 \cdot 1{,}5^5 = 80 \cdot 7{,}59375 = 607{,}5.

  11. 11.
    Un portátil cuesta 1200 dólares y pierde el 20% de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 3 años?

    Respuesta: 614.4

    1. ¿Cuál es el factor de decrecimiento bb por año? 0.8
    2. Calcula 0,830{,}8^3. 0.512
    3. ¿Cuál es el valor después de 3 años? 614.4
  12. 12.
    El lunes, 4 alumnos conocen un nuevo reto de baile. Cada día se triplica el número de alumnos que lo conocen. ¿Cuántos lo conocen 4 días después?

    Respuesta: 324

    1. ¿Cuál es el factor de crecimiento bb por día? 3
    2. Calcula 343^4. 81
    3. ¿Cuántos alumnos conocen el reto después de 4 días? 324
  13. 13.
    Inviertes 3000 dólares al 5% de interés anual con capitalización semestral (dos veces al año). ¿Cuánto tienes después de 6 años? Redondea al céntimo.

    Respuesta: 4034.67

    1. ¿Cuál es la tasa por semestre, rn\frac{r}{n}, en forma decimal? 0.025
    2. ¿Cuántos semestres hay en 6 años (ntnt)? 12
    3. Calcula 3000⋅1,025123000 \cdot 1{,}025^{12} al céntimo. 4034.67
  14. 14.
    Un material radiactivo tiene un período de semidesintegración de 5 años. Una muestra tiene 640 g. ¿Cuántos gramos quedan después de 15 años?

    Respuesta: 80

    1. ¿Cuántos períodos de semidesintegración pasan en 15 años (tT\frac{t}{T})? 3
    2. ¿Cuánto vale (12)3\left(\frac{1}{2}\right)^3 en forma decimal? 0.125
    3. ¿Cuántos gramos quedan? 80
  15. 15.
    Un paciente recibe 500 mg de un medicamento. La cantidad en la sangre decrece de forma continua a una tasa del 10% por hora, así que A(t)=500⋅e−0,1tA(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}. Usa e−0,2≈0,8187e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187. ¿Cuántos mg quedan después de 2 horas? Redondea al mg.

    Respuesta: 409

    1. ¿Cuánto vale el exponente rtrt para t=2t = 2? -0.2
    2. ¿Qué valor usas para e−0,2e^{-0{,}2} (4 decimales)? 0.8187
    3. ¿Cuántos mg quedan después de 2 horas (al mg)? 409
  16. 16.
    El banco A paga un 5% anual con capitalización anual. El banco B paga un 5% anual con capitalización mensual. Ingresas 10000 dólares durante 3 años. ¿Cuánto más paga el banco B? Redondea cada cantidad al céntimo.

    Respuesta: 38.47

    1. ¿Cuánto paga el banco A después de 3 años? 11576.25
    2. ¿Cuánto paga el banco B después de 3 años? 11614.72
    3. ¿Cuánto más paga el banco B? 38.47
  17. 17.
    Un pueblo tenía 2000 habitantes. Dos años después tenía 2880. Supón un crecimiento exponencial P(t)=2000⋅btP(t) = 2000 \cdot b^t (tt en años). Halla bb, la tasa de crecimiento anual y la población después de 4 años (redondeada a habitantes enteros).

    Respuesta: 4147

    1. ¿Cuánto vale b2=28802000b^2 = \frac{2880}{2000}? 1.44
    2. ¿Cuánto vale bb (positivo)? 1.2
    3. ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual en porcentaje (escribe solo el número)? 20
    4. Calcula P(4)=2000⋅1,24P(4) = 2000 \cdot 1{,}2^4 y redondea a habitantes enteros. 4147
  18. 18.
    El valor de un coche es V(t)=18000⋅0,88tV(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t dólares, tt años después de comprarlo. Interpreta el modelo y halla después de cuántos años enteros el valor baja por primera vez de 10000 dólares.

    Respuesta: 5

    1. ¿Cuál fue el precio de compra del coche? 18000
    2. ¿En qué porcentaje baja el valor cada año (escribe solo el número)? 12
    3. ¿Cuánto vale V(2)=18000⋅0,882V(2) = 18000 \cdot 0{,}88^2? 13939.2
    4. ¿Después de cuántos años enteros el valor está por primera vez por debajo de 10000? 5
Lección interactiva con soluciones paso a paso y más práctica (gratis): mathorio.com/es/learn/pre-calculus/exponential-functions/exponential-word-problems