Guía del profesor: Problemas de aplicación de funciones exponenciales

Resuelve problemas reales con funciones exponenciales usando un método de 5 pasos: interés compuesto, depreciación, difusión viral, vida media y crecimiento continuo.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones exponenciales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Aplicar un método de 5 pasos para plantear y resolver problemas exponenciales
Elegir el modelo correcto: interés compuesto, crecimiento continuo, período de semidesintegración o la forma general $a \cdot b^t$
Hallar el factor de crecimiento o de decrecimiento a partir de un porcentaje o de una tabla de valores
Decidir a partir de una tabla si un patrón es lineal o exponencial
Interpretar $a$ y $b$ en contexto y valorar si un resultado es razonable

Requisitos previos

• Introducción a las funciones exponenciales: la forma $f(x) = a \cdot b^x$
• Crecimiento exponencial: factor de crecimiento $1 + r$ e interés compuesto
• Decrecimiento exponencial: factor de decrecimiento $1 - r$ y depreciación
• Problemas de período de semidesintegración: el modelo $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
• Crecimiento y decrecimiento continuos: el modelo $P \cdot e^{rt}$ con $e \approx 2{,}71828$

Iniciadores de discusión

1. Un banco ofrece un 6% con capitalización anual y otro un 5,9% con capitalización mensual. ¿Cómo decidirías cuál es mejor?
2. ¿Por qué un coche pierde más dinero el primer año que el quinto, si el porcentaje es el mismo?
3. Una publicación duplica las veces que se comparte cada hora. ¿Puede seguir así una semana entera? ¿Qué lo frenaría?
4. ¿Qué palabras de un enunciado te indican que debes multiplicar por un factor en lugar de sumar siempre la misma cantidad?

Conceptos erróneos comunes

Una bajada del 15% al año significa multiplicar por 0,15

Remediación: Pregunta: "Si de cada 100 dólares pierdes 15, ¿cuántos dólares te quedan?" Escribe $100 - 15 = 85$ , así que el factor es $0{,}85$ . Después comprueba que tras un año queda gran parte del valor inicial.

El exponente siempre es el número de años

Remediación: Haz que cuenten los periodos en voz alta: "mensual durante 10 años son 120 meses", "vida media de 6 horas en 18 horas son 3 vidas medias". Escribe el exponente en periodos, no en años.

Toda tabla creciente es exponencial

Remediación: Da dos tablas crecientes, una con diferencias constantes y otra con cocientes constantes. Los alumnos calculan diferencias y cocientes y clasifican cada una.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar el organizador de 5 pasos con la fórmula ya elegida en el paso 3
• Empezar con factores enteros (duplicar, triplicar, reducir a la mitad) antes que con porcentajes
• Pedir que escriban a mano los 3 o 4 primeros periodos antes de usar la fórmula

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar interés compuesto, depreciación y vida media en una misma serie
• Comparar capitalización anual, trimestral y mensual para el mismo depósito
• Clasificar tablas como lineales o exponenciales y escribir el modelo

Para estudiantes avanzados:

• Hallar el factor de crecimiento a partir de dos datos, como $b^2 = 1{,}44$
• Comparar una oferta con capitalización continua con otra mensual
• Escribir su propio problema y una solución incorrecta para que la corrija un compañero

Alineación con estándares

HSF-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)
Distinguir entre situaciones que se modelizan con funciones lineales y con funciones exponenciales
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construir funciones lineales y exponenciales a partir de una gráfica, una descripción o dos pares de valores (también leídos de una tabla)
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en un contexto
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Crear ecuaciones con una incógnita y usarlas para resolver problemas, incluidas las que surgen de funciones exponenciales

Recursos de la lección

visualCalculadora de interés compuesto
Cambia el periodo de capitalización y observa cómo la mensual supera a la anual en 10 años
activity¿Qué modelo? Clasificar tarjetas
Los alumnos clasifican 12 situaciones breves en lineal, crecimiento exponencial, decrecimiento exponencial y continuo
worksheetOrganizador de 5 pasos
Una plantilla con una casilla por paso: leer, identificar, modelo, calcular, comprobar

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un problema exponencial describe una cantidad que cambia por el mismo factor en cada periodo de tiempo de igual duración. Tu tarea es convertir el enunciado en un modelo de la forma

y = a \cdot b^{t}

donde

a

es el valor inicial y

b

es el factor de crecimiento (

b > 1

) o el factor de decrecimiento (

0 < b < 1

El método de 5 pasos sirve para todos los problemas de esta lección:

1.Leer: encuentra el valor inicial, la tasa o el factor, el tiempo y las unidades.
2.Identificar: ¿crecimiento o decrecimiento? Halla el factor $b$ (para una tasa $r$ : $b = 1 + r$ o $b = 1 - r$ ).
3.Escribir el modelo: elige la fórmula adecuada y sustituye los números.
4.Calcular: evalúa con la calculadora y redondea como pide el problema.
5.Comprobar: ¿es razonable el resultado (mayor o menor que el valor inicial?) y está en las unidades correctas?

Repaso de fórmulas (de las lecciones anteriores):

Interés compuesto, $n$ veces al año: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
Crecimiento o decrecimiento continuo: $A = P \cdot e^{rt}$
Período de semidesintegración $T$ : $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Ejemplos resueltos

Ingresas 5000 dólares en una cuenta de ahorro que paga un 6% de interés anual, con capitalización mensual. ¿Cuánto dinero hay en la cuenta después de 10 años?

Leer: anota las cantidades

$P = 5000$ dólares, $r = 0{,}06$ , $n = 12$ (mensual), $t = 10$ años → Valor inicial, tasa, periodos por año y tiempo encontrados

Identificar el factor por mes

$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ → Crecimiento, factor $1{,}005$ por mes

Escribir el modelo

$A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ → $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Calcular

$1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$ , así que $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ → $A \approx 9096{,}98$

Comprobar

Con capitalización anual sale $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$ . La mensual debe dar algo más, y así es. → Razonable, en dólares

Respuesta: Después de 10 años la cuenta tiene unos 9096,98 dólares.

Errores comunes

Usar $r$ y $t$ en lugar de $\frac{r}{n}$ y $nt$ en el interés compuesto

Por qué está mal: Con capitalización mensual el banco paga $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ cada mes, 120 veces en 10 años. Escribir $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ o $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ confunde el periodo.

Correcto: Tasa por periodo $\frac{r}{n}$ , número de periodos $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$ .

Usar la tasa como factor, por ejemplo $b = 0{,}15$ para una pérdida del 15%

Por qué está mal: Perder un 15% significa que se conserva el 85% del valor. $24000 \cdot 0{,}15^5$ es casi cero, y ningún coche pierde tanto en 5 años.

Correcto: Decrecimiento: $b = 1 - r = 0{,}85$ . Crecimiento: $b = 1 + r$ . El factor es lo que queda (o lo que tienes) después de un periodo.

Usar $t$ en lugar de $\frac{t}{T}$ cuando el periodo no es 1

Por qué está mal: "Se triplica cada 2 horas" o "vida media de 6 horas" significa que el factor actúa una vez cada 2 o 6 horas, no cada hora. $40 \cdot 3^{10}$ es demasiado grande.

Correcto: Cuenta primero los periodos: exponente $= \frac{\text{tiempo}}{\text{duración de un periodo}}$ , por ejemplo $3^{10/2} = 3^5$ .

Saltarse la comprobación del resultado

Por qué está mal: Un resultado de decrecimiento mayor que el valor inicial, o uno de crecimiento menor, indica siempre un factor o un exponente equivocado.

Correcto: Paso 5 siempre: el crecimiento termina por encima de $a$ , el decrecimiento entre $0$ y $a$ , y las unidades coinciden con la pregunta.

Por qué es importante

Los modelos exponenciales son el lenguaje del dinero, la medicina, la tecnología y la naturaleza. Saber plantearlos tú mismo te permite comprobar afirmaciones en lugar de creértelas sin más:

Ahorros y préstamos: la diferencia entre capitalizar cada año o cada mes es dinero real a 10 o 20 años
Comprar un coche o un móvil: la depreciación te dice cuánto valdrá cuando lo vendas
Salud: la vida media le dice a una médica cuánto medicamento queda en tu cuerpo al cabo de unas horas
Redes sociales: las publicaciones virales se multiplican por un factor en cada periodo, por eso explotan tan rápido
Ciencias: las poblaciones, los materiales radiactivos y los objetos que se enfrían siguen leyes exponenciales

Esta lección reúne todo lo del tema de funciones exponenciales. El método de 5 pasos es siempre el mismo; solo cambia la fórmula del paso 3.

Aplicaciones del mundo real

Ahorrar para la universidad

Los bancos capitalizan los intereses cada año, cada trimestre, cada mes o cada día. La fórmula $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ te permite comparar ofertas antes de elegir.

Ejemplo:

1000 dólares al 4% con capitalización trimestral durante 3 años: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ dólares.

1Inténtalo tú mismo

Ingresas 4000 dólares en una cuenta que paga un 6% de interés anual, con capitalización trimestral, durante 2 años.

¿Cuánto dinero hay en la cuenta después de 2 años (al céntimo)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ con $P = 4000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$ , $t = 2$ :

Bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos modelizan el crecimiento que ocurre en todo momento, no a saltos, con el crecimiento continuo $A = P \cdot e^{rt}$.

Ejemplo:

Un cultivo de 1000 células que crece de forma continua un 2% por hora durante 10 horas: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ células.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con 800 células y crece de forma continua a una tasa del 3% por hora. Usa $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ .

¿Cuántas células hay aproximadamente después de 10 horas (redondeando a la unidad)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $A = P \cdot e^{rt}$ con $P = 800$ , $r = 0{,}03$ , $t = 10$ :

La cafeína en tu cuerpo

Médicos y farmacéuticos usan la vida media para decidir cada cuánto se toma un medicamento. La cafeína tiene una vida media de unas 5 horas en un adulto.

Ejemplo:

Un café de 100 mg a las 8:00 todavía deja $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg a las 13:00.

3Inténtalo tú mismo

Una bebida energética contiene 160 mg de cafeína. Supón una vida media de 5 horas.

¿Cuánta cafeína queda después de 10 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ con $N_0 = 160$ , $T = 5$ , $t = 10$ :

Puntos clave

1Todo problema exponencial encaja en $y = a \cdot b^{t}$ : $a$ es el valor inicial y $b$ el factor por periodo
2Usa los 5 pasos: leer, identificar crecimiento o decrecimiento y el factor, escribir el modelo, calcular, comprobar
3Una tasa $r$ da el factor $b = 1 + r$ para crecimiento y $b = 1 - r$ para decrecimiento
4Interés compuesto: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ; continuo: $A = P \cdot e^{rt}$ ; período de semidesintegración: $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
5Si el factor actúa una vez cada $T$ unidades de tiempo, el exponente es $\frac{t}{T}$
6En una tabla, diferencias constantes indican lineal y cocientes constantes indican exponencial

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé si un problema es exponencial y no lineal?

Busca expresiones como "por ciento al año", "se duplica", "se triplica", "se reduce a la mitad" o "vida media": el cambio es un factor. Si el enunciado dice "aumenta 50 cada año", el cambio es una cantidad fija, así que es lineal. En una tabla, comprueba los cocientes entre valores consecutivos.

¿Cuándo uso $e^{rt}$ en lugar de $(1 + r)^t$ ?

Usa

e^{rt}

solo cuando el problema diga que el crecimiento o el decrecimiento es continuo (o que la capitalización es continua). Si habla de años, meses, trimestres o no dice nada de capitalización, usa

(1 + r)^t

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

Mi calculadora no tiene tecla $e$ . ¿Qué hago?

Usa el valor que da el problema, como

e^{0{,}4} \approx 1{,}4918

, o escribe

2{,}71828

en lugar de

e

. La calculadora de esta lección tiene

e

, así que allí puedes escribir e^0.4 directamente. Con 5 decimales de

e

, tu resultado redondea al mismo céntimo o al mismo número entero en los problemas de esta lección.

¿Por qué importa el paso 5 si el cálculo está bien?

La mayoría de las respuestas incorrectas vienen del planteamiento, no de las cuentas: un factor

0{,}15

en lugar de

0{,}85

, o

t

en lugar de

\frac{t}{2}

. Preguntarte "¿debería ser mayor o menor que el valor inicial?" detecta esos errores en pocos segundos.

Glosario

Modelo exponencial: Una fórmula $y = a \cdot b^{t}$ que describe una cantidad que cambia por el mismo factor $b$ en cada periodo de igual duración
Factor de crecimiento / de decrecimiento: El número $b$ por el que multiplicas en cada periodo: $b = 1 + r$ para crecimiento, $b = 1 - r$ para decrecimiento
Interés compuesto: Interés que se suma al saldo $n$ veces al año, de modo que los intereses posteriores también se ganan sobre los anteriores
Depreciación: La pérdida de valor de un objeto (coche, móvil, máquina) con el tiempo, a menudo un porcentaje fijo al año
Período de semidesintegración (vida media): El tiempo $T$ que tarda una cantidad que decrece en reducirse a la mitad
Crecimiento continuo: Crecimiento que ocurre en cada instante, modelizado con $A = P \cdot e^{rt}$

Tarjeta de fórmulas

Modelo exponencial general

y = a \cdot b^{t}

$a$ = valor inicial, $b$ = factor por periodo ($b = 1 + r$ crecimiento, $b = 1 - r$ decrecimiento), $t$ = número de periodos.

Interés compuesto

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = cantidad inicial, $r$ = tasa anual en forma decimal, $n$ = capitalizaciones por año, $t$ = años.

Crecimiento o decrecimiento continuo

A = P \cdot e^{rt}

$r > 0$ para crecimiento, $r < 0$ para decrecimiento, $e \approx 2{,}71828$.

Período de semidesintegración

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = cantidad inicial, $T$ = período de semidesintegración, $t$ = tiempo transcurrido (misma unidad que $T$).

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